Riemannsche Mannigfaltigkeiten

In diesem Kapitel wollen wir eine „innere Geometrie“ ohne Benutzung eines umgebenden Raumes

ℝ

n

+1

erklären, und zwar nicht nur lokal, sondern auch global. Damit werden die Betrachtungen von Kapitel 4 fortgesetzt. Die entscheidenden Hilfsmittel sind einerseits in lokaler Hinsicht eine „erste Fundamentalform“ohne Verwendung eines umgebenden Raumes

ℝ

n

+1

(analog zur inneren Geometrie in Kapitel 4) und andererseits in globaler Hinsicht der Begriff der „Mannigfaltigkeit“. Dabei geht der lokale Begriff im wesentlichen zurück auf Riemanns berühmten Habilitationsvortrag

1

, was die heutigen Bezeichnungen

Riemannsche Geometrie, Riemannsche Mannigfaltigkeit, Riemannscher Raum

erklärt

2

. Motiviert ist das an dieser Stelle für uns einerseits durch die innere Geometrie von Flächen einschließlich des Satzes von Gauß-Bonnet und andererseits durch das natürliche Vorkommen von solchen Räumen, die nicht oder nicht in naheliegender Weise als Hyperfläche in einen

ℝ

n

eingebettet werden können, wie z. B. die Poincaré-Halbebene als Modell der nichteuklidischen Geometrie. Bei den in der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachteten Raumzeiten von 3 + 1 Dimensionen schließlich gibt es, jedenfalls in natürlicher Weise, keinen umgebenden Raum. Man muß daher alle relevanten Größen rein innergeometrisch erklären.