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2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

10. Running Off the Page

verfasst von : Randolph Nelson

Erschienen in: A Brief Journey in Discrete Mathematics

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

The analysis in this chapter illustrates Temple’s observation regarding the necessity for creative imagination in mathematics. A simple expression is all that is needed to develop the theory of continued fractions which leads to a deep theorem of Lagrange and also leads to an optimal way to approximate real numbers as rational fractions.

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Fußnoten
1
These results have been seen before, see equations (5.​19) and (5.​27).
 
2
Later in equation (10.50) on page 152 integers n i and d i are shown to be co-prime.
 
3
A quick proof establishes this fact. Suppose that \(\sqrt {\beta } = c/d\) for integers c and d. This implies that d 2β = c 2. Since β is not square, there must be a prime p with an odd exponent in its factorization. All of the exponents in the prime factorizations of c 2 and d 2, however, are even. This implies that p has an odd exponent in d 2β and an even exponent in c 2 which means they cannot be equal. This contradicts the claim that \(\sqrt {\beta }\) is rational.
 
4
Such numbers are called quadratic irrational numbers.
 
5
This follows from the fact that if they had a common multiple, so that n i = am and d i = bm, then n id i−1 − n i−1d i = m(ad i−1 + bn i−1) = ±1. This implies that m must divide 1 forcing m = 1.
 
Metadaten
Titel
Running Off the Page
verfasst von
Randolph Nelson
Copyright-Jahr
2020
Buch
A Brief Journey in Discrete Mathematics

Print ISBN: 978-3-030-37860-8

Electronic ISBN: 978-3-030-37861-5

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-37861-5_10