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2016 | Buch

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Schadenversicherungsmathematik

verfasst von: Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus Schmidt, Klaus Schröter

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das vorliegende Buch gibt einen Überblick über die Grundlagen der Schadenversicherungsmathematik: Risikomodelle, Tarifierung, Reservierung, Risikoteilung. Dabei liegt der Schwerpunkt auf der Darstellung und Erklärung der einzelnen Fragestellungen und der zugehörigen mathematischen Modelle und Methoden. Dementsprechend werden Beweise nur ausgeführt, wenn sie für das Verständnis hilfreich sind. Das Buch enthält zahlreiche Aufgaben mit Musterlösungen.

Das Buch ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die die Autoren zur Vorbereitung auf die Prüfung der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV) zum Grundwissen Schadenversicherungsmathematik gehalten haben. Die Aufgaben beruhen auf Prüfungen der DAV und wurden für dieses Buch überarbeitet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung

Zusammenfassung

Der Begriff Schadenversicherung ist ein Oberbegriff für eine Vielzahl von Versicherungszweigen. Die Schadenversicherung umfasst alle Zweige der Sachversicherung (die sich entweder auf versicherte Sachen wie Hausrat, Wohngebäude, Kraftfahrzeug oder auf Schadenursachen wie Erdbeben, Feuer, Frost, Hagel, Sturm, Überschwemmung oder auf beides beziehen), aber sie umfasst auch Versicherungszweige wie die Betriebsunterbrechungsversicherung oder die Transportversicherung sowie sämtliche Arten der Haftpflichtversicherung.

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Teil I Risikomodelle

Frontmatter

1 Grundlagen

Zusammenfassung

Wir betrachten einen Bestand von Risiken und den Gesamtschaden des Bestandes, der sich in einem zukünftigen Versicherungsjahr einstellt.

In diesem Kapitel stellen wir einige allgemeine Überlegungen zum Gesamtschaden eines Bestandes an.

Wir beginnen mit einer Diskussion der Bedeutung der Verteilung des Gesamtschadens für die Bestimmung einer ausreichenden Prämie für den Bestand und der Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gegebene Prämie für den Bestand nicht ausreichend ist (Abschnitt 1.1). Wir untersuchen dann am Beispiel der Ungleichung von Cantelli den Zusammenhang zwischen der Bestimmung einer ausreichenden Prämie und der Wahrscheinlichkeit des Ruins (Abschnitt 1.2) und geben einige Verfahren zur Approximation der Verteilung des Gesamtschadens an (Abschnitt 1.3).

Abschließend beschreiben wir mit der individuellen und der kollektiven Betrachtungsweise zwei grundlegende Möglichkeiten der Darstellung des Gesamtschadens, die es gestatten, Eigenschaften der Verteilung des Gesamtschadens aus denen der Verteilung der Schadenhöhen und der Anzahl der Schäden abzuleiten (Abschnitt 1.4).

Diese beiden Möglichkeiten der Darstellung des Gesamtschadens sind Gegenstand der nachfolgenden Kapitel, in denen wir die Eigenschaften des Gesamtschadens in einem individuellen Modell (Kapitel 2) und im kollektiven Modell (Kapitel 3–5) untersuchen.

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

2 Individuelles Modell

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir den Gesamtschaden eines Bestandes unter der individuellen Betrachtungsweise. Dabei betrachten wir drei Stufen der Modellierung:

Im individuellen Grundmodell wird keine Annahme an die gemeinsame Verteilung der jährlichen Schadenhöhen der einzelnen Risiken getroffen.
Im individuellen Modell wird angenommen, dass die jährlichen Schadenhöhen der einzelnen Risiken unabhängig (und damit auch unkorreliert) sind.
Im individuellen Modell für einen homogenen Bestand wird angenommen, dass die jährlichen Schadenhöhen der einzelnen Risiken nicht nur unabhängig sondern auch identisch verteilt sind.

Wir betrachten diese drei Stufen der Modellierung simultan, um die Auswirkungen der Verschärfung der Modellannahmen zu verdeutlichen.

Für jedes dieser Modelle bestimmen wir zunächst die ersten Momente des Gesamtschadens (Abschnitt 2.2) und präzisieren dann am Beispiel der Ungleichung von Cantelli den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit des Ruins und der Bestimmung einer ausreichenden Prämie (Abschnitt 2.3). Für das individuelle Modell geben wir außerdem einige Ergebnisse über die Verteilung des Gesamtschadens (Abschnitt 2.4). Abschließend stellen wir für das individuelle Modell für einen homogenen Bestand einige Überlegungen zur Asymptotik bei wachsender Größe des Bestandes an (Abschnitt 2.5).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

3 Kollektives Modell

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir den Gesamtschaden eines Bestandes unter der kollektiven Betrachtungsweise. Dabei sind nur die Schäden des Bestandes von Interesse, nicht aber die Risiken, die diese Schäden verursachen.

Wir beginnen mit der Definition des kollektiven Modells (Abschnitt 3.1) und bestimmen die Momente (Abschnitt 3.2) und die Verteilung (Abschnitt 3.3) des Gesamtschadens im kollektiven Modell. Als nächstes untersuchen wir eine Klasse von Verteilungen der Schadenzahl (Abschnitt 3.4), für die sich im Fall von ganzzahligen Schadenhöhen die Verteilung des Gesamtschadens rekursiv berechnen lässt (Abschnitt 3.5).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

4 Anwendungen des kollektives Modells

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir einige Anwendungen des kollektiven Betrachtungsweise und insbesondere des kollektiven Modells.

Als eine erste Anwendung betrachten wir die Modellierung der Versicherungsleistung für ein Risiko, das eine zufällige Anzahl von Schäden erzeugt und durch ein kollektives Modell beschrieben werden kann. (Abschnitt 4.1).

Wir stellen dann mit der Transformation (Abschnitt 4.2), der Verdünnung (Abschnitt 4.3) und der Zerlegung (Abschnitt 4.4) eines kollektiven Modells allgemeine Prinzipien zur Konstruktion neuer kollektiver Modelle dar, die ihrerseits vielfältige Anwendungen besitzen.

Im gesamten Abschnitt sei \( \langle N, \{X_j\} _{j \in N} \rangle \)ein kollektives Modell mit dem Gesamtschaden \( S=\sum_{j=1}^N X_j \).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

5 Verallgemeinerungen des kollektiven Modells

Zusammenfassung

Das kollektive Modell besitzt mit dem abstrakten kollektiven Modell und dem dynamischen kollektiven Modell zwei äußerst nützliche Verallgemeinerungen.

Wir betrachten zunächst das abstrakte kollektive Modell, in dem die Schadenh öhen durch allgemeine Schadenvariable ersetzt werden (Abschnitt 5.1), und geben dann eine kurz Einführung in das dynamische kollektive Modell, in dem ein Risiko oder ein Bestand von Risiken im zeitlichen Verlauf beschrieben wird (Abschnitt 5.2).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

6 Klausuraufgaben

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Teil II Tarifierung

Frontmatter

7 Grundlagen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel stellen wir die Grundlagen der Tarifierung in der Schadenversicherung bereit. Wir erklären zunächst die in der Tarifierung verwendenden Begriffe (Abschnitt 7.1) und insbesondere die verschiedenen Bestandteile der Prämie (Abschnitt 7.2). Nach einer kurzen Einführung in die Ziele der Tarifierung (Abschnitt 7.3) stellen wir die wichtigsten Prämienprinzipien dar (Abschnitt 7.4). Abschließend diskutieren wir für den Fall einer Aufteilung der Risiken eines Bestandes in mehrere Risikoklassen einige Methoden zur Schätzung der erwarteten Schadenhöhen der Einzelschäden in den einzelnen Risikoklassen (Abschnitt 7.5).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

8 Daten und Tarifierungsstatistiken

Zusammenfassung

Dieses Kapitel befasst sich mit dem Charakteristikum der Schadenversicherung, das darin besteht, dass – in Abgrenzung zu der Lebensversicherung – große Mengen heterogener Daten zu analysieren, in geeigneten Tarifierungsstatistiken zu erfassen, aufzubereiten und weiter zu verarbeiten sind. Wir betrachten zunächst Risikomerkmale und Tarifmerkmale (Abschnitt 8.1) und die wichtigsten Kennzahlen der Schadenversicherung (Abschnitt 8.2). Es folgt eine Einführung in ein weiteres Spezifikum der Schadenversicherung, nämlich das Problem besonders großer Schäden (Abschnitt 8.3); dabei geht es nicht um diese Großschäden selbst, sondern darum, dass die verschiedenen statistischen Verfahren auf diese Ausreißer unter Umständen sehr empfindlich und unangemessen reagieren. Am Ende dieses Kapitels betrachten wir eine spezielle Aufbereitung von Schadendaten in Form von Prioritätenstatistiken (Abschnitt 8.4).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

9 Modelle und Statistiken

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir einen Bestand, der in mehrere Risikoklassen aufgeteilt ist, und untersuchen verteilungsfreie und stochastische Modelle der Tarifierung sowie verteilungsfreie und stochastische Ausgleichsverfahren, die dazu dienen, die Nettorisikoprämie für alle Risiken einer gegebenen Tarifzelle aus den Daten dieser Tarifzelle und denen der benachbarten Tarifzellen zu bestimmen. Wir geben zunächst eine Einführung in multiplikative und additive Tarifierungsmodelle (Abschnitt 9.1) und stellen dann für multiplikative Tarifierungsmodelle mehrere verteilungsfreie Ausgleichsverfahren (Abschnitt 9.2) und ein stochastisches Ausgleichsverfahren (Abschnitt 9.3) dar.

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

10 Selektion von Risiken

Zusammenfassung

Dieses Kapitel führt zunächst kurz in die Thematik der Selektionseffekte ein (Abschnitt 10.1) und befasst sich dann mit der in der Praxis der Schadenversicherung häufig anzutreffenden Beitragsrückerstattung für den Fall der Schadenfreiheit (Abschnitt 10.2). Anschließend wird die Modellierung eines heterogenen Bestandes durch einen zufälligen Strukturparameter betrachtet und es werden verschiedene Methoden der sekundären Prämiendifferenzierung (Erfahrungstarifierung) dargestellt; dabei behandeln wir die Bestimmung von Bayes–Prämien (Abschnitt 10.3) und Credibility–Prämien (Abschnitt 10.4) sowie die Gestaltung von Bonus–Malus Systemen (Abschnitt 10.5).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

11 Klausuraufgaben

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Teil III Reservierung

Frontmatter

12 Grundlagen

Zusammenfassung

Gegenstand der Schadenreservierung ist die Prognose der zukünftigen Versicherungsleistungen für alle Schäden eines Bestandes, die eingetreten, aber noch nicht abschließend reguliert sind.

In diesem einführenden Kapitel zur Schadenreservierung diskutieren wir die Notwendigkeit der Bildung von Reserven (Abschnitt 12.1), die verwendeten Datenarten und die Struktur dieser Daten (Abschnitt 12.2) und den Nutzen, der sich aus der Verwendung stochastischer Modelle ergibt (Abschnitt 12.3).

In den nachfolgenden Kapiteln untersuchen wir dann spezielle Verfahren und Modelle der Schadenreservierung.

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

13 Abwicklungsmuster und Schadenquoten

Zusammenfassung

Die Verwendung von Abwicklungsdreiecken in der Schadenreservierung ist nur dann sinnvoll, wenn man annehmen kann, dass die Abwicklung der Schäden für alle Anfalljahre ähnlich verläuft. Diese zunächst vage Annahme kann auf unterschiedliche Weise durch die Wahl eines stochastischen Modells für die gemeinsame Verteilung aller Zuwächse oder Schadenstände präzisiert werden.

Eine Ähnlichkeit der Anfalljahre hinsichtlich der Abwicklung der Schäden ist insbesondere dann gegeben, wenn entweder die Abwicklungsgeschwindigkeit oder aber die Endschadenquote bezüglich einem Volumenmaß für alle Anfalljahre im Wesentlichen gleich ist. In diesem Fällen kann man annehmen, dass ein Abwicklungsmuster existiert (Abschnitt 13.1) oder eine anfalljahrunabh ängige erwartete Endschadenquote vorliegt (Abschnitt 13.2) oder dass sogar beide Bedingungen erfüllt sind (Abschnitt 13.3). In allen drei Fällen liegt ein (unvollständiges) stochastisches Modell vor, in dem nur Annahmen an die Struktur der Erwartungswerte aller Zuwächse oder Schadenstände getroffen werden.

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

14 Basisverfahren und Bornhuetter–Ferguson Prinzip

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir die Basisverfahren der Schadenreservierung.

Wir betrachten zunächst drei Verfahren, die auf einem Abwicklungsmuster für Anteile, Quoten oder Faktoren beruhen. Dabei beginnen wir mit dem Chain–Ladder Verfahren (Abschnitt 14.1) und untersuchen dann seine Verallgemeinerungen zum Loss–Development Verfahren (Abschnitt 14.2) und zum Bornhuetter–Ferguson Verfahren (Abschnitt 14.3).

Wir betrachten sodann zwei Verfahren, die auf dem Abwicklungsmuster für Schadenquotenzuwächse beruhen und damit neben einem Abwicklungsmuster für Anteile, Quoten oder Faktoren auch Volumenmaße für die Anfalljahre und eine anfalljahrunabhängige Endschadenquote voraussetzen. Dabei beginnen wir mit dem additiven Verfahren (Abschnitt 14.4) und untersuchen dann seine Verallgemeinerung zum Cape–Cod Verfahren (Abschnitt 14.5).

Es stellt sich heraus, dass unter all diesen Verfahren das Bornhuetter–Ferguson Verfahren eine zentrale Stellung einnimmt. Diese Beobachtung führt auf das Bornhuetter–Ferguson Prinzip (Abschnitt 14.6), das zum einen eine einheitliche Darstellung aller hier behandelten Basisverfahren gestattet und zum anderen die Möglichkeit bietet, neue Verfahren zur Schadenreservierung zu konstruieren.

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

15 Modelle mit Korrelationsstruktur

Zusammenfassung

Abwicklungsmuster sind elementare stochastische Modelle, die auf Annahmen an die Erwartungswerte der Schadenstände oder Zuwächse beruhen und eine erste Begründung vieler Verfahren der Schadenreservierung liefern.

In diesem Kapitel betrachten wir Modelle, in denen neben Annahmen an die Erwartungswerte auch Annahmen an die Varianzen und Kovarianzen der Schadenstände oder Zuwächse getroffen werden. In diesen Modellen ist es möglich, Aussagen über die Optimalität bestimmter Prädiktoren zu treffen und deren erwarteten quadratischen Prognosefehler zu bestimmen.

Wir betrachten zunächst ein Modell für das additive Verfahren (Abschnitt 15.1) und ein weitgehend analoges Modell für das Chain–Ladder Verfahren (Abschnitt 15.2). Abschließend betrachten mit dem Poisson–Modell ein sehr spezielles Modell für das Chain–Ladder Verfahren, in dem die gemeinsame Verteilung aller Zuwächse bis auf die Parameter vollständig spezifiziert ist (Abschnitt 15.3).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

16 Anwendungsbezogene Fragen

Zusammenfassung

Mit den Basisverfahren stehen vielfältige Werkzeuge zur Reservierung bereit, und die erste Frage, die sich bei einem gegebenen Bestand stellt, ist sicherlich die, welches dieser Verfahren denn nun anzuwenden ist. Da die einzelnen Verfahren unterschiedliche Arten der Information verwenden, ist es in jedem Fall hilfreich, deren Einfluss auf die Prädiktoren zu untersuchen. Dabei erweist sich das Bornhuetter–Ferguson Prinzip als nützlich und es kann herangezogen werden, um vielleicht nicht unbedingt ein bestimmtes Verfahren auszuwählen, sondern um für jede Zielgröße einen bestmöglichen Prädiktor zu finden und die mit diesem Prädiktor verbundene Unsicherheit einzuschätzen (Abschnitt 16.1).

Außerdem stellt sich das Problem, einzelne ungewöhnlich hohe oder niedrige Abwicklungsdaten (Abschnitt 16.2) oder Kalenderjahreffekte (Abschnitt 16.3) in angemessener Form zu berücksichtigen. Ein anderes Problem besteht darin, dass oft auch für das älteste in den Abwicklungsdaten verwendete Anfalljahr die Abwicklung noch nicht abgeschlossen ist; in diesem Fall werden durch die üblichen Verfahren nicht alle Abwicklungsjahre erfasst und Prädiktoren für die letzten Abwicklungsjahre müssen auf eine andere Weise bestimmt werden (Abschnitt 16.4).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

17 Klausuraufgaben

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Teil IV Risikoteilung

Frontmatter

18 Grundlagen und Formen der Risikoteilung

Zusammenfassung

Werden Risiken nicht ganz sondern nur zum Teil übernommen oder werden Teile übernommener Risiken abgegeben, so spricht man von Risikoteilung. Risiken können dabei

unter Versicherungsnehmern (VN) und Versicherungsunternehmen (VU),
unter Erstversicherern (EV) und Rückversicherern (RV) oder
unter Rückversicherern

geteilt werden.

In diesem Kapitel wollen wir uns mit den Formen der Risikoteilung befassen und Gründe angeben, warum eine Risikoteilung wichtig und zweckmäßig sein kann.

Für die Rückversicherung verwenden wir die Begriffe und Bezeichnungen, wie sie in Liebwein [2009] zu finden sind.

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

19 Auswirkungen der Risikoteilung

Zusammenfassung

Wann ist welche Form der Risikoteilung zweckmäßig?
Wie soll der Selbstbehalt gewählt werden?
Wie ist bei nichtproportionaler Risikoteilung die Prämie zu bestimmen?

Das sind nur ein paar Fragen, die sich in Zusammenhang mit der Risikoteilung stellen. Um einige Fragen beantworten zu können, wollen wir zunächst untersuchen, wie sich die Risikoteilung auf die Verteilung und die Kennzahlen der Schadenvariablen auswirkt. Dabei soll die wahrscheinlichkeitstheoretische Analyse getrennt nach transferierten Risiken und Selbstbehalten erfolgen.

Im Mittelpunkt stehen dabei die Schadenanzahlverteilung PN, die Schadenhöhenverteilung PX bzw. PZ und die Gesamtschadenverteilung PS. Bei den Kennzahlen wollen wir uns auf die ersten Momente wie Erwartungswert und Varianz bzw. daraus abgeleitete Größen wie Standardabweichung und Variationskoeffizient beschränken. Wir wollen insbesondere untersuchen, wie sich die Gefährlichkeit eines Risikos, gemessen durch den Variationskoeffizienten, verändert. Es gibt natürlich weitere Risikomaße, die von Interesse wären, hier aber nicht aufgeführt werden.

Da sich sehr viele Ähnlichkeiten zwischen der Risikoteilung in der Erstversicherung auf der einen Seite und der Rückversicherung auf der anderen Seite gezeigt haben, wollen wir in diesem Kapitel nur eine Aufteilung nach Art der Risikoteilung vornehmen.

So werden wir den oben gestellten Fragen zunächst für die proportionale (Abschnitt 19.1) und anschließend für die nichtproportionale Risikoteilung (Abschnitt 19.2) nachgehen. Abschließend wird mit Hilfe der Entlastungseffektfunktion die risikogerechte Aufteilung des Gesamtschadens in Abhängigkeit vom Selbstbehalt untersucht (Abschnitt 19.3). Den Anteil am Gesamtschaden, den ein an der Risikoteilung beteiligter Risikoträger zu übernehmen hat, bezeichnet man als Schadenlast des Risikoträgers.

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

20 Prämienkalkulation für Rückversicherungsverträge

Zusammenfassung

In der proportionalen Rückversicherung beteiligt sich der Rückversicherer proportional an den Schadenzahlungen des Erstversicherers. Folglich steht ihm auch der entsprechende Anteil des vom Erstversicherer erhobenen Originalbeitrags zu, abzüglich eventueller Vergütungen, die der Rückversicherer aus Kostenbeteiligungsgründen gewährt (Abschnitt 20.1).

In der nichtproportionalen Rückversicherung wird das Originalrisiko nicht geteilt, sondern der Rückversicherungsschutz beinhaltet vertraglich festgelegte Schadenzahlungen. Die Preisfindung erfordert eine eigenständige Kalkulation. Abhängig von der vorhandenen Schadenerfahrung und der Struktur des Layers werden unterschiedliche Quotierungsverfahren wie das Exposure–Verfahren, die Burning–Cost Quotierung, das Extrapolationsverfahren und das Payback–Verfahren eingesetzt (Abschnitt 20.2).

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

21 Klausuraufgaben

Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Backmatter

Titel: Schadenversicherungsmathematik
verfasst von: Heinz-Willi Goelden
Klaus Th. Hess
Martin Morlock
Klaus Schmidt
Klaus Schröter
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-48860-7
Print ISBN: 978-3-662-48859-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-48860-7