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2022 | Buch

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Schöne Sätze der Mathematik

Ein Überblick mit kurzen Beweisen

verfasst von: Jörg Neunhäuserer

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Buch finden Sie Perlen der Mathematik aus 2500 Jahren, beginnend mit Pythagoras und Euklid über Euler und Gauß bis hin zu Poincaré und Erdös. Sie erhalten einen Überblick über schöne und zentrale mathematische Sätze aus neun unterschiedlichen Gebieten und einen Einblick in große elementare Vermutungen.

Die Vielfalt an schönen Resultaten bietet eine einzigartige mathematisch-allgemeinbildende Lektüre auf akademischem Niveau.

Die Beweise in diesem Buch sind möglichst einfach und kurz gehalten und vermitteln Ihnen wesentliche Ansätze, Ideen und Strategien ohne große Vorkenntnisse vorauszusetzen. Die verwendeten Begriffe werden zumeist im Text eingeführt und zu grundlegenden Begriffen steht Ihnen zusätzlich ein Anhang zur Verfügung.

Als Student der Mathematik oder Naturwissenschaften können Sie das Buch verwenden, um Ihre Perspektive zu erweitern und Ihre mathematische Bildung zu vertiefen. Hochschullehrer können jedes Kapitel des Buches zur Ausgestaltung eines Proseminars heranziehen. Wenn Sie einfach nur an Mathematik interessiert sind, und die Analysis und Lineare Algebra ein wenig kennen, wird Sie dieses Buch in das Reich der reinen Mathematik entführen.

Die vorliegende dritte Auflage ist vollständig durchgesehen und um etliche Themen ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Mengenlehre

Zusammenfassung

Die Mengenlehre bildet gleichsam die Grundlage und die Sprache der modernen Mathematik. Sie wurde von Georg Cantor (1845–1918) entwickelt, der eine Menge als eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen definiert. Die Mengenlehre erlaubt die eindeutige Definition mathematischer Objekte, die präzise Formulierung von mathematischen Sätzen und die Formalisierung von Beweisen in vielen Gebieten der Mathematik.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 2. Diskrete Mathematik

Zusammenfassung

Die diskrete Mathematik beschäftigt sich hauptsächlich mit endlichen, aber auch mit abzählbar unendlichen Objekten, die sich nicht stetig ändern, sondern unterschiedlich separierte Werte annehmen. Obwohl ein Teil der diskreten Mathematik aus „klassischen“ Resultaten besteht, gewann das Gebiet in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts mit der Möglichkeit der raschen digitalen Datenverarbeitung neue Bedeutung.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 3. Geometrie

Zusammenfassung

Seit den Werken von Thales (etwa 624–546 v. Chr.), Pythagoras (570–500 v. Chr.), Euklid (etwa 365–300 v. Chr.) und Archimedes (287–212 v. Chr.) in der Antike ist die Geometrie eine der Kerndisziplinen der Mathematik.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 4. Analysis

Zusammenfassung

Der Ausgangspunkt der Analysis ist die von Leibniz (1646–1716) und Newton (1643–1727) im 17. Jahrhundert entwickelte Infinitesimalrechnung. Die grundlegenden Begriffe des Grenzwerts und damit der Stetigkeit, der Differenzierbarkeit und der Integrierbarkeit von Funktionen wurden hierbei noch weitgehend intuitiv verwendet.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 5. Topologie

Zusammenfassung

Die Topologie ist ein recht junges Gebiet der Mathematik, das um die vorletzte Jahrhundertwende mit Konzepten aus Mengenlehre, Geometrie und Analysis entstand. Eine entscheidende Rolle kommt hierbei insbesondere den Werken von Poincaré (1854–1912) und Hausdorff (1868–1942) zu.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 6. Algebra

Zusammenfassung

Die Algebra befasst sich, allgemein gesprochen, mit den Eigenschaften der Rechenoperationen auf Mengen unter Verwendung von Variablen und gehört damit zu den grundlegenden Gebieten der Mathematik.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 7. Zahlentheorie

Zusammenfassung

Die Zahlentheorie gilt als die Königsdisziplin der Mathematik und weist eine Vielzahl von Beziehungen zu anderen Teilgebieten der Mathematik auf. Der erste und zentrale Gegenstand zahlentheoretischer Forschung sind die ganzen Zahlen. Je nach den eingesetzten Methoden unterscheidet man hierbei die elementare und die analytische Zahlentheorie. Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen Zahlen hinaus und betrachtet die Lösungen algebraischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 8. Wahrscheinlichkeitstheorie

Zusammenfassung

Die Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung und Untersuchung zufälliger Ereignisse. Die mathematische Präzisierung des Begriffs der Wahrscheinlichkeit gelang erst Kolmogorow (1903–1987). Eine Vorstufe der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie findet sich aber schon bei Pascal (1623–1662) und Fermat (1607–1665), wobei hier kombinatorische Überlegungen im Vordergrund stehen.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 9. Dynamische Systeme

Zusammenfassung

Die Theorie der dynamischen Systeme beschäftigt sich mit der Analyse von mathematischen Modellen zeitabhängiger Prozesse. In kontinuierlicher Zeit sind dies die Lösungen von Differenzialgleichungen und in diskreter Zeit die Iterationen einer Abbildung. Die moderne Theorie der dynamischen Systeme geht auf das Werk von Ljapunow (1857–1918), , Poincaré (1854–1912), und Birkhoff (1884–1944) zurück und stellt das asymptotische und qualitative Verhalten eines dynamischen Systems in den Vordergrund. Je nach der verwendeten Methode unterscheidet man heute die topologische Dynamik, die differenzierbare Dynamik und die Ergodentheorie, d. h. die stochastische Analyse dynamischer Systeme.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 10. Vermutungen

Zusammenfassung

Die Lektüre dieses Buches hat dem Leser, wie wir hoffen, gezeigt, dass die Mathematik der letzten zweieinhalb Jahrtausende viele wirkliche schöne wahre Sätze hervorgebracht hat, die sich mit akzeptablem Aufwand formulieren und beweisen lassen. Auch die Mathematik des 20. Jahrhunderts hat, wie wir gesehen haben, eine Reihe solcher Sätze zu bieten. In diesem Abschnitt ist es unser Anliegen, aufzuzeigen, dass trotz allen Fortschritts mathematischer Forschung viele sehr elementare mathematische Probleme noch offen sind. Wir präsentieren 14 schöne Vermutungen, die sich zwar mit akzeptablem Aufwand formulieren lassen, deren Beweis aber fundamental neue mathematische Ideen und Methoden zu erfordern scheint. Wir können nicht einmal ausschließen, dass sich zeigen wird, dass die eine oder andere der Vermutungen unabhängig von den derzeit verwendeten Axiomensystemen der Mathematik ist und ein Beweis oder eine Widerlegung neue Axiome erfordern muss.

Jörg Neunhäuserer

Kapitel 11. Anhang

Zusammenfassung

Der Leser findet hier eine Zusammenstellung der Grundbegriffe der naiven Mengenlehre. Mengen sind durch ihre Elemente charakterisiert. Wir schreiben \(x\in A\), wenn x ein Element von A ist, und \(x\not \in A\), wenn dies nicht der Fall ist.

Jörg Neunhäuserer

Backmatter

Titel: Schöne Sätze der Mathematik
verfasst von: Jörg Neunhäuserer
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-65830-7
Print ISBN: 978-3-662-65829-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-65830-7