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2021 | Buch

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Schritt für Schritt zum Staatsexamen Mathematik

Theorie und Praxis zur ersten Staatsprüfung Grund-, Mittel- und Realschullehramt

verfasst von: Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch bietet, was sich jeder Prüfungskandidat des Staatsexamens im Fach Mathematik für das Lehramt an Grund-, Mittel- oder Realschulen wünscht: Egal, ob der rasche Blick auf eine Definition oder die Suche nach einem anschaulichen Beispiel, mit dem formale Sätze verständlich werden.

Die prüfungsrelevanten Themen für das Staatsexamen in Mathematik (nicht-vertieft) werden sinnvoll gegliedert und inhaltlich aufbereitet. In daran anschließenden Beispielaufgaben werden Prüfungsaufgaben Schritt für Schritt vorgerechnet und immer wiederkehrende Kniffe speziell hervorgehoben. So dient das Buch nicht nur als übersichtliches Kompendium über die Prüfungsinhalte, sondern ermöglicht auch die systematische Aneignung von häufig benötigten Rechentricks, wiederkehrenden Beweis- und zielführenden Lösungsstrategien. Jedem Thema sind zahlreiche gelöste Examensaufgaben zugeordnet, die eine direkte Anwendung der Inhalte ermöglichen.

Eine umfangreiche Sammlung kompletter Prüfungsjahrgänge inklusive der zugehörigen Lösungen runden das Buch mit über 200 gelösten Examensaufgaben ab, das so zur unverzichtbaren Hilfe bei der Vorbereitung auf die Staatsexamensprüfungen im Fach Mathematik wird.

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Analysis

Frontmatter

Kapitel 1. Grundlagen

Zusammenfassung

Cantor beschrieb 1895 Mengen als „Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ’Elemente’ von M genannt werden) zu einem Ganzen“. Diese Auffassung von Mengen führt auf Antinomien, also auf zunächst unauflösbare Widersprüche.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 2. Folgen

Zusammenfassung

Den Ausgangspunkt aller weiteren Kapitel der reellen Analysis stellt der Folgenbegriff dar, z.B. bei der Definition von Stetigkeit. Unter einer Folge versteht man dabei vereinfacht ausgedrückt eine geordnete Auflistung von Elementen einer Menge. Die einzelnen Elemente nennt man dabei Folgenglieder.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 3. Reihen

Zusammenfassung

Eine wichtige Operation, die mit Folgen durchgeführt werden kann, ist ihr gliedweises Aufsummieren – man spricht dann von Reihen. Bei endlich vielen Summanden a₁,…,a_n ist klar, dass die Summe a₁ +⋯+a_n einen endlichen Wert hat. Bei unendlich vielen Summanden hingegen kann die Summe sowohl endlich als auch unendlich sein.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 4. Differentialrechnung in ℝ

Zusammenfassung

Der Stetigkeitsbegriff kann ausgehend vom Grenzwertbegriff definiert werden. Wir definieren also zunächst Grenzwerte und unterscheiden dabei verschiedene Fälle.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 5. Differentialrechnung in ℝn

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die Differentialrechnung reeller Funktionen f : D→ℝ (für D⊂ℝ offen) auf Funktionen f : D→ℝ^m mit D⊂ℝⁿ für m, n ∈ℕ erweitert. Dabei werden wir überwiegend den Spezialfall n = 2, m = 1 betrachten.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 6. Integrationstheorie

Zusammenfassung

Oft wird die Integration als die Umkehrung der Differentiation bezeichnet. Konzeptuell sind die Ableitung und das Integral aber verschieden: Während die Ableitung einer Funktion lokal als ein Grenzwert definiert ist, bedeutet Integralbestimmung auch Produktsummenbildung.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 7. Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Gleichungen bestehend aus Funktionen, ihren Ableitungen, den abhängigen Variablen sowie Konstanten nennt man Differentialgleichungen. Die Lösungsmenge sind dann nicht Teilmengen von Zahlenmengen, wie ℝ oder ℂ, sondern enthalten differenzierbare Funktionen. Differentialgleichungen werden in verschiedenen Kontexten zur Beschreibung zeitlich veränderlicher Systeme genutzt, z.B. in der Physik.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Lineare Algebra

Frontmatter

Kapitel 8. Matrizen

Zusammenfassung

Den Matrizen kommt in der Linearen Algebra eine große Bedeutung zu. Sie werden häufig definiert als „n×m“-Tabellen mit Einträgen aus einem Körper . Aus dieser Definition lässt sich ihre Bedeutung für die Mathematik und darüber hinaus aber nicht erahnen.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 9. Vektorräume

Zusammenfassung

In der Schule definiert man Vektoren oft als Repräsentanten von Pfeilen mit gleicher Länge – dem Betrag des Vektors –, einer Richtung und einer Orientierung. Richtig ist: Vektoren im zweioder dreidimensionalen Anschauungsraum können als Pfeile visualisiert werden. Die Wahrheit ist aber, dass der Begriff Vektor sehr viel allgemeiner ist. Eine Funktion kann ein Vektor sein, auch eine Matrix oder eine komplexe Zahl können Vektoren sein. Vektoren sind also konkret Elemente aus gewissen Mengen, die mit gewissen Verknüpfungen ausgestattet sind, denn bekannterweise lassen sich Vektoren addieren und skalieren. Kurz und prägnant sagt man dann: Elemente eines Vektorraums nennt man Vektoren.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 10. Lineare Abbildungen

Zusammenfassung

Ein gängiges Prinzip in der Mathematik ist es, mathematische Objekte zu untersuchen, indem man sie mit anderen Objekten vergleicht. Diese Vergleiche geschehen über Abbildungen zwischen ihnen, denen gewisse Eigenschaften zugeschrieben werden können. Für die Kardinalität von \({\mathbb{Q}}\) etwa denke man an eine Bijektion t : \({\mathbb{N}}\) \(\to \) \({\mathbb{Q}}\), die auf die Gleichmächtigkeit beider Mengen \({\mathbb{N}}\) und \({\mathbb{Q}}\) schließen lässt.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 11. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Ein lineares Gleichungssystem in \(\mathcal{m}\) Variablen \(x\)₁; :::;\(x\)_m \(\in \) K ist eine Menge von \(\mathcal{n}\) \(\in \) \({\mathbb{N}}\) linearen Gleichungen der Gestalt

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 12. Geometrie

Zusammenfassung

In Kapitel 9 haben wir uns mit Vektorräumen beschäftigt. Um in diesen Vektorräumen geometrische Betrachtungen anstellen zu können, ist es zunächst einmal notwendig, einen Längenbegriff zu definieren. Ein weiterer offener Punkt, der hinsichtlich der Vektorraumstruktur unbefriedigend ist, ist der einer Multiplikation ʘ : V × V → \({\mathbb{K}}\) von Vektoren, die wir bisher nur mit Skalaren multipliziert haben.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 13. Quadriken

Zusammenfassung

Wir haben bisher stets lineare Gleichungen.

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Staatsexamensaufgaben

Frontmatter

Kapitel 14. Analysis

Zusammenfassung

■

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 15. Lineare Algebra

Zusammenfassung

■

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 16. Aufgabenverzeichnis

Zusammenfassung

∎

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Kapitel 17. Satzverzeichnis

Zusammenfassung

∎

Joaquin M. Veith, Philipp Bitzenbauer

Backmatter

Titel: Schritt für Schritt zum Staatsexamen Mathematik
verfasst von: Joaquin M. Veith
Philipp Bitzenbauer
Copyright-Jahr: 2021
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-62948-2
Print ISBN: 978-3-662-62947-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-62948-2

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