Schwache Konvergenz

In vielen Fällen erweist sich der Konvergenzbegriff bezüglich der Norm als zu restriktiv. Wir werden daher in diesem Abschnitt einen schwächeren Konvergenzbegriff einführen, mit dessen Hilfe sich zum Beispiel Minimumprobleme unter weitaus schwächeren Voraussetzungen lösen lassen. So hatten wir in 2.2 den Projektionssatz in Hilberträumen bewiesen und anschließend bemerkt, dass die gleiche Aussage in allgemeinen Banachräumen nicht zu erwarten ist. Die Schwierigkeit liegt darin, aus einer Minimalfolge eine konvergente Teilfolge auszuwählen, was bezüglich der Normkonvergenz unmöglich ist, da Kugeln in unendlichdimensionalen Räumen nicht präkompakt sind (siehe 2.9). Wir werden sehen (siehe 6.9), dass die Folgenkompaktheit jedoch bezüglich der schwachen Konvergenz gewährleistet ist, jedenfalls für die Klasse der reflexiven Räume (siehe 6.8). Die Stetigkeit der Norm geht dann zwar verloren, aber sie bleibt immerhin noch unterhalbstetig (siehe 6.3.3). Dies wird wesentlich in den Existenzaussagen 6.14 und 6.16 benutzt. Die Klasse der reflexiven Räume spielt daher zwischen der Klasse der Hilberträume und der Klasse der allgemeinen Banachräume eine herausragende Rolle in den Anwendungen.