18. Schwache Lösungen

In diesem Kapitel werden schwache Lösungen für stochastische Differentialgleichungen (SDEs) mit festen Koeffizienten untersucht. Ein zentrales Element ist das Martingalproblem nach Stroock und Varadhan, das die Konstruktion einer Verteilung betrifft, bezüglich derer der kanonische Prozess ein Semimartingal mit Drift und Kovarianzmatrix ist. Es wird gezeigt, dass die Lösung des Martingalproblems äquivalent zur schwachen Lösbarkeit der entsprechenden SDE ist. Die analytischen Ergebnisse zur Fundamentallösung parabolischer partieller Differentialgleichungen (PDEs) liefern eine Lösung für das Martingalproblem unter Hölder-Regularitäts- und gleichmäßigen Elliptizitätsannahmen für die Koeffizienten. Unter diesen Annahmen werden Existenz und Eindeutigkeit im schwachen Sinne für SDEs bewiesen, zusammen mit starken Markov-, Feller- und anderen Regularitätseigenschaften der Trajektorien der Lösung. Zudem werden breitere Ergebnisse von prominenten Mathematikern wie Skorokhod, Stroock, Varadhan, Krylov, Veretennikov und Zvonkin präsentiert. Ein weiteres Ergebnis des Kapitels ist die Regularisierung durch Rauschen, die starke Eindeutigkeit für SDEs mit beschränkter Hölder-Drift garantiert. Die Ergebnisse dieses Kapitels markieren den Endpunkt der Untersuchung von Konstruktionsmethoden für Diffusionen, deren historische Motivationen in einem früheren Abschnitt dargestellt wurden. Der Text bietet eine detaillierte und mathematisch fundierte Analyse der schwachen Lösbarkeit von SDEs und zeigt die Anwendung des Martingalproblems in diesem Kontext auf. Die Ergebnisse sind von großer Bedeutung für die stochastische Analysis und die Theorie der partiellen Differentialgleichungen.