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Erschienen in:

2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

Segre and the Foundations of Geometry: From Complex Projective Geometry to Dual Numbers

verfasst von : Aldo Brigaglia

Erschienen in: From Classical to Modern Algebraic Geometry

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

In 1886 Corrado Segre wrote to Felix Klein about his intention to study ‘géométrie projective pure’, completing and developing the work of von Staudt. He would continue this research project throughout the whole of his scientific life. In 1889, following a suggestion of Segre, Mario Pieri published his translation of the Geometrie der Lage, and from 1889 to 1890 Segre published four important papers, “Un nuovo campo di ricerche geometriche”, in which he completely developed complex projective geometry, considering new mathematical objects such as antiprojectivities and studying the Hermitian forms from a geometrical point of view with the related ‘hyperalgebraic varieties’. Segre developed the same ideas in 1892 in a new paper published in the Matematische Annalen, in which he also considers the so-called “bicomplex numbers” and provided the first example of a projective geometry on an algebra with zero-divisors. In 1891, during one of his celebrated courses in higher geometry, Segre asked his students to find a system of independent axioms for projective hyperspatial geometry. Fano, Enriques, Pieri and Amodeo, who wrote important papers, followed this proposal.

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“Fu appunto pel corso di Geometria Proiettiva che ero incaricato di fare quest’anno nell’Università di Torino che imaginai questo metodo” (Segre 1886b). In actual fact, Segre’s interest in some aspects of the foundations of geometry might be traced back to his degree thesis. For example, the definition (albeit somewhat inexact) of vector space, the concept of isomorphism, the idea of the point as an undefined concept. I will not go into these aspects here. I refer the interested reader to Avellone et al. (2002).

On von Staudt’s work, see for example Freudenthal (1981) and Nabonnand (2008).

For more on this work, see Avellone et al. (2002).

Perhaps it is worthwhile to note that an analogous process—that is, regarding a deepening of the topics related to the foundations of geometry born of the reflections that arose within an introductory course in geometry—would develop a few years later with the course in geometry given in Bologna by Federigo Enriques. For more about this course and its reflections in the articulation of his views relative to the foundations of geometry, see Ciliberto and Gario (1861). The close ties between didactic requirements and foundational necessities remained characteristic of Italian geometry for a long time.

Fu appunto pel corso di Geometria Proiettiva che ero incaricato di fare quest’anno nell’Università di Torino che imaginai questo metodo. Il chiar. prof. Sannia introduce pure questa teoria nelle Lezioni di Geometria Proiettiva che egli sta pubblicando … di ciò e della corrispondenza che intorno ad essa abbiamo avuto e che non mi fu certo inutile nel pensare questo lavoro gli faccio qui i miei ringraziamenti. Appunto grazie alla pubblicazione di quel trattato posso qui risparmiarmi di dare alla mia esposizione un carattere affatto elementare, posso cioè omettere di entrare in dettagli troppo minuti (Segre Opere, v. 2, 211).

… durante la stampa, incominciata nell’Ottobre 1885, il desiderio, anzi il bisogno di esporre alcune teorie fondamentali nel modo più nuovo e più rigoroso, facesse crescere il volume sino a più che 600 pagine; il che, insieme ad altre gravi cagioni, … menò a lungo la pubblicazione dell’opera. Ciò mi costringe a porre un termine alla pubblicazione stessa, senza aver potuto svolgere tutto intero il programma che mi ero proposto … riserbo all’accennata ristampa la prefazione, nella quale conto entrare in particolari … su quanto debbo alla corrispondenza col ch. ^o Prof. C. Segre (Sannia 1891, XI−XII).

Segre’s contributions emerge amply in Sannia’s correspondence with Federico Amodeo, Segre’s student in Turin. These letters can be found in Palladino and Palladino (2006), which also contains a lengthy introduction that also deals with the development of Sannia’s text.

I think that the divergences between Segre’s and Peano’s mathematical ideas, at least before 1891, have been largely overstated. In my opinion, the controversy in 1891 cannot br reduced to a polemic of Peano against the alleged lack of rigour in Segre’s works (as in the biography in the website of the Mac Tutor University).

Il solo modo rigoroso d’introdurre ad esempio i punti all’infinito come enti geometrici, sì da poterne far uso nei ragionamenti, è di definirli non già come punto d’intersezione di rette parallele, cioè di rette che non hanno punti d’intersezione (come fanno in sostanza quasi tutti gli autori), ma bensì come sinonimo di direzioni, oppure, se si vuole di stelle di rette parallele. La considerazione che si suol usare del fatto che quando due rette di un piano tendono a diventar parallele il loro punto d’intersezione s’allontana indefinitamente non può servire che per giustificare la scelta della locuzione punto all’infinito, ma non per definirla, se si vuole, come si deve volere … che esso significhi un ente geometrico. Del resto si può con quanta cura vada fatta l’introduzione degli elementi all’infinito (argomento in cui persino lo Staudt, scrittore accuratissimo, lascia qualche cosa a desiderare) nelle importanti Vorlesungen über neuere Geometrie del Pasch (Segre Opere, v. 2, 210).

Non mi pare che le poche pagine dedicate dal Reye … agli elementi imaginari contengano, com’egli dice, i principii fondamentali della teoria di Staudt. In fatti egli definisce gli elementi imaginari appunto come i due elementi uniti di una proiettività di forme di 1 ^a specie sovrapposte reali, la quale non abbia elementi uniti (reali). Tale definizione, che anche altri autori usano, mi pare assolutamente da rigettare, perché contiene evidentemente in sé qualche cosa di assurdo, e nello stesso tempo introduce gli elementi imaginari come una locuzione che non sta per significare alcun ente geometrico. Essa rassomiglia alla seguente definizione che alcuni danno di una coppia di punti imaginari coniugati di una retta: la coppia dei punti d’intersezione di questa con un circolo che non lo incontri. Ma non così faceva Staudt. Questi definisce … un elemento imaginario … come una involuzione ellittica su una forma fondamentale di 1 ^a specie insieme con uno dei due versi della forma; e si badi bene, è l’involuzione stessa … che egli chiama elemento imaginario e non già un suo elemento doppio, poiché per ipotesi essa non ha elementi doppi. Quindi l’elemento imaginario costituisce secondo Staudt un vero ente geometrico (reale, benché non sia della stessa specie di enti che l’elemento reale omonimo) intorno a cui è lecito ragionare e che si può quindi prendere come oggetto di studio (Segre Opere, v. 2, 209).

Je suis en train d’écrire un travail en italien de géométrie projective pure sur la théorie des couples d’éléments imaginaires. La théorie que Staudt a donnée dans ses Beiträge est compliquée par la séparation qu’il a faite des éléments imaginaires conjugués; cette complication est ce qui fait qu’on n’a pas encore introduit cette théorie dans les traités de géométrie projective. Mais je remarque que dans ceux-ci il suffirait d’introduire les éléments imaginaires par couples: et alors je suis parvenu à donner à la théorie toute la simplicité désirable (en renonçant à la séparation), en conservant la définition de Staudt mais par des considérations qui me semblent nouvelles (Luciano and Roero 2012).

Mon admiration pour la Geom. d. Lage (et Beiträge) de Staudt va avoir la satisfaction d’en voir paraître une version italienne (pour à-présent, seulement de la G. d. L.): ce que ma maladie aux yeux ne me permettait pas de faire, un jeune géomètre qui est ici, M. Mario Pieri, le fera (Luciano and Roero 2012).

Trattare tutta la geometria di posizione da sé, senza introdurre concetti metrici che le sarebbero estranei, costituì un grande progresso, poiché se è vero che in varie scienze debbono prestarsi scambievoli aiuti e che molte grandi scoperte son derivate appunto dal collegare fra loro dottrine apparentemente molto disparate, non è men vero che risultati altrettanto importanti si son visti … quando … si è cercato di ridurre i postulati, i metodi e gli strumenti di ricerca al minor numero possibile (Staudt 1889, XI).

As is known, Pieri published his first work on the foundations five years later, in 1894.

Molte delle proposizioni contenute in questo paragrafo e nei successivi paragrafi 2 e 3 sono date senza dimostrazione, perché veri postulati: su di essi e fondata tutta quanta l’opera (Staudt 1889, 1).

L’importanza di una nuova dottrina è tanto maggiore quanto più capace è essa di venir estesa e quanto più importanti sono le ricerche che ne derivano. … Così nelle ricerche che ora si vanno facendo nella geometria projettiva degli spazi superiori come quasi tutta l’opera di S[taudt] si possa, senza mutare la natura dei metodi, estendere a quella scienza. … Infine osserveremo che recentemente si è riusciti a proseguire quell’opera cominciando a fare per la trattazione sintetica delle curve piane d’ordine superiore (coi loro elementi immaginari) ciò che S[taudt] aveva fatto per le curve e le superficie di 2° ordine; e di più, molto di più, si vedrà fatto tra breve, sempre seguendo le orme di quel grande (Staudt 1889, XIII).

An observation of Enriques has always struck me as being a keen interpretation that clearly distinguishes the interest of the algebraic geometers in the foundations from those of the logicians: il concetto della geometria astratta ha ricevuto un grande sviluppo, divenendo poi (dopo Segre) un ordinario istrumento di lavoro nelle mani dei geometri italiani contemporanei (the concept of abstract geometry has received a great development, becoming (after Segre) an ordinary tool for working in the hands of contemporary Italian geometers) (Enriques 1922, 139−40).

It should be recalled that, viewed on Riemann’s sphere, chains are constituted of circular circumferences (or by lines) and that among the anti-projectivities, the ones that are involuted are the well-known circular inversions (or reflections in the case of lines) of which the chains are the fixed points.

Un’antiproiettività fra due forme semplici è … una corrispondenza univoca e continua non projettiva tale che a gruppi armonici corrispondono gruppi armonici … Essa è individuata da 3 coppie di elementi omologhi. Due tetradi omologhe in essa hanno … birapporti complessi coniugati … Il prodotto di due corrispondenze antiprojettive è una projettività. Il prodotto di due corrispondenze, di cui una sia projettiva e l’altra antiprojettiva, è un’antiprojettività (Segre Opere, v. 2, 250).

The term “hyperquadric” is introduced here with a meaning that is different from what today is commonly understood in the sense of a set of isotropic vectors of a (real) bilinear form of a hyperspace.

Here I am giving Segre’s results in modern language; at the time that Segre was writing the term “Hermitian form” was not in use; however, the analytical expressions that he uses are exactly the ones relative to those forms. Instead, I will not give all of the geometric rationalisations from which Segre, in pure von Staudt style, derives the analytical forms; this would require a lengthy treatment that goes far beyond the scope of this present discussion.

Già in certe ricerche analitiche recenti si [ha] un esempio particolare di cose che qui si tratteranno geometricamente. Negli studi … sulle funzioni di una variabile complessa le catene semplici descritte da questa, cioè i circoli che le rappresentano nel piano o nella sfera su cui la variabile vien distesa sono usati frequentemente: in particolare essi furono adoperati nelle ricerche delle funzioni che non mutano per un gruppo di trasformazioni lineari della variabile, e in particolare in quelle geniali e profonde del sig. Poincaré sulle funzioni fuchsiane e kleiniane … Ed effettivamente nelle ricerche sulle funzioni di due variabili complesse fatte in questi ultimi anni dai sig. ⁱ Picard e Poincaré e specialmente in quelle del primo sulle funzioni che egli chiamò iperfuchsiane, si trovano usate le iperconiche, definite in modo diverso dal nostro … Il sig. Picard si trova così condotto necessariamente a qualche ricerca sulla riduzione della (3) a forma canonica i cui risultati nella trattazione geometrica appariranno evidenti (Segre Opere, v. 2, 246−247).

Aggiungerò che le forme del tipo (3)… a coefficienti complessi interi si sono pure già introdotti nella teoria dei numeri grazie ai sig. ⁱ Hermite, Picard ed altri (Segre Opere, v. 2, 247).

Queste ricerche … non hanno trovato sinora il largo appoggio sul quale egli forse faceva assegnamento. Le innovazioni o generalizzazioni penetrano lentamente nella scienza, a meno che esse non portino una economia di pensiero nello studio di quei problemi che, in un determinato periodo, attirano l’attenzione dei ricercatori (Castelnuovo 1924).

Non è forse inopportuno di rilevare che gli argomenti accennati i questa Nota non offrono solo interessi, sì geometrici che analitici e specialmente algebrici, per se stessi, ma possono fornire molteplici aiuti a parecchie teorie matematiche. Dovunque compaiono variabili complesse accanto a cui si debbano considerare le coniugate, o, ciò che fa lo stesso, dovunque accade di dover considerare, nelle variabili complesse o nelle loro funzioni, staccatamente le due componenti reali: quindi in generale nella teoria delle funzioni di una o più variabili complesse (ad esempio di quelle automorfe); nelle questioni strettamente connesse a quella teoria, delle rappresentazioni conformi, delle superfici minime, ecc.; in certe moderne ricerche sulla teoria dei numeri (interi complessi) e di particolari gruppi di sostituzioni … (Segre Opere, v. 2, 340).

Colgo quest’occasione per richiamare la Sua attenzione anche sulle mie Note (che Ella ha) intitolate “Un nuovo campo di ricerche geom.” e “Le rappresentaz.ⁱ reali delle forme complesse …” perché se Ella, proseguendo le sue ricerche aritmetiche passerà alle forme di Hermite, troverà forse qualche punto di contatto con quei miei lavori. Infatti io studio ivi, fra gli altri enti iperalgebrici, quelli che chiamo iperconiche, ecc. che sono rappresentati analiticamente da equazioni di Hermite; e che così danno l’equivalente geometrico delle forme di Hermite: come le coniche, ecc. danno l’immagine geometrica delle forme di Dirichlet (ternarie, ecc.). Né il Fricke né il Bianchi non hanno ancora approfittato di questi miei lavori, ma io sono persuaso che un profitto se ne possa trarre studiando le questioni aritmetiche con sussidi geometrici (Letter from Segre to Hurwitz, 29 June 1894, in Luciano and Roero (2012).

In this present work I will only mention the topic. A group of historians of mathematics in Palermo is currently carrying out a more detailed examination of Segre’s contributions to those studies.

Tali corpi furono studiati in generale dal sig. Weierstrass, i cui risultati vennero pubblicati … solo recentemente [1884] … Questa pubblicazione fu tosto seguita … da altre … dei sig. Schwarz (1884), Dedekind (1885), Holder (1886) (Segre Opere, v. 2, 385).

Il punto fondamentale in cui i numeri complessi generali a più unità … si staccano dagli ordinari numeri complessi ad una sola unità imaginaria è quello che …, mentre pei numeri complessi ordinari un prodotto s’annulla solo quando s’annulla uno dei suoi fattori, nei campi più generali esistono dei numeri particolari non nulli, i quali moltiplicati per convenienti numeri parimenti non nulli danno zero (Segre Opere, v. 2, 386).

About this course, see Conte (2002).

Trovare quali sono quei postulati che caratterizzano sinteticamente l’S _r (Giacardi 2002, Quaderni. 3, 27).

Non è ancora stato assegnato e discusso (che io sappia) un sistema di postulati indipendenti che serva a caratterizzare lo spazio lineare ad n dimensioni, sì che se ne possa dedurre la rappresentazione dei punti di questo con coordinate. Sarebbe conveniente che qualche giovane si occupasse di tale questione (che non sembra difficile) (Segre 1891a).

I will not go more deeply into these works here; see Avellone et al. (2002).

This work is particularly known for having led to the dispute with Peano. Here I will not discuss this polemic, but only with the references to problems relative to foundations.

Questi indirizzi puri sono veramente della massima importanza. È infatti fuor di dubbio che il matematico non può essere pienamente soddisfatto della conoscenza di una verità se non quando è riuscito a dedurla con la massima semplicità e naturalezza dal minor numero possibile di proposizioni note, di postulati indipendenti, evitando ogni ipotesi, ogni mezzo di dimostrazione che non appaia necessario per lo scopo. Così facendo si raggiungono spesso coi vantaggi scientifici anche vantaggi didattici, in quanto che dallo studioso si esigerà minor copia di cognizioni preliminari (Segre Opere, v. 4, 396).

On Mario Pieri and his mathematical work we can see various works of E. Marchisotto, in particular (Marchisotto and Smith 2007) and, with specific regard to the links between Pieri and the work of von Staudt, (Marchisotto 2006).

Per la varietà lineare complessa non si conosce ancora un sistema di attributi e caratteri intrinseci, atti a qualificarla in maniera, che ne derivi senz’altro la rappresentabilità dei suoi punti per coordinate omogenee complesse. Il presente saggio si propone appunto l’analisi del concetto di varietà lineare complessa: cercando di istituire su nuovi principi una Geometria Projettiva complessa – o dottrina geometrica degli immaginari – esente non solo da qualsivoglia considerazione algebrica; ma sciolta eziandio da ogni vincolo deduttivo con l’ordinaria Geometria Projettiva reale. E ancora: Staudt … si propose di stabilire la Geometria Projettiva su fondamenta proprie, esclusa ogni dipendenza dalla Geometria elementare. E così può domandarsi una Geometria Projettiva complessa indipendente dalla Geometria Projettiva reale (Pieri 1905, 190–191).

On the work of Study relative to Lie groups, see Hawkins (2000).

Coolidge never concealed his debt to and admiration of the Italian School of geometry. In Coolidge (1931, X) the dedication reads: “To the Italian geometers, dead and living”.

This obviously refers to the orthogonality with respect to a Hermitian form and its interpretation in real four-dimensional space.

Seguendo la tendenza ad ampliare il campo geometrico, si possono anche studiare delle varietà più generali: ottenute cioè considerando staccatamente, come variabili indipendenti, le due componenti reali di ogni coordinata complessa; e ponendo dei legami tra le varie componenti reali. Se questi legami sono algebrici, si hanno le così dette varietà iperalgebriche, intorno a cui ho pubblicato verso il 1890 alcune ricerche. Fra di esse vi sono le imagini geometriche di quelle forme quadratiche di Hermite a variabili complesse coniugate, che si sono presentate tanto spesso in questi anni, collegandosi ai gruppi di sostituzioni lineari ed alle funzioni automorfe. Così le forme di Hermite nel campo quaternario rappresentano delle corrispondenze fra punti e piani molto analoghe alla polarità rispetto a una quadrica. … Fra le varietà iperalgebriche si trovan pure quelle composte dai punti reali di una varietà algebrica (Segre Opere, v. 4, 464).

Per una trattazione più diffusa e completa di tali questioni e di tantissime altre analoghe rimandiamo il lettore alle belle Memorie di Segre (Comessatti 1912, 7).

In my opinion it would be interesting to see a more complete recognition of the influence of Segre’s points of view on Comessatti, the most important Italian algebraic geometer who dealt with the problem of reality. On his work see Ciliberto and Pedrini (1994).

Dalla geometria complessa ero passato a quella reale. Ma debbo però avvertire che l’astrazione, che ripetutamente ho messo in evidenza come un carattere della geometria moderna, ha avuto anche l’effetto di moltiplicare, per così dire, le geometrie complesse. Da un lato si può avere l’opportunità di considerare certi enti geometrici come punti di nuova natura, aventi per coordinate numeri complessi di specie superiore. Così nello studio delle varietà iperalgebriche, fin nei problemi più semplici che nascono dalla considerazione dei rami reali di una curva algebrica, si son presentati spontaneamente dei punti bicomplessi. D’altra parte, come strumenti di ricerca, si sa bene, fin dai lavori di Grassmann e di Hamilton, che varie sorte di numeri complessi possono servire utilmente in geometria. … In questi ultimi anni, seguendo un antico accenno di Clifford, si sta considerando in particolare i tre sistemi di numeri complessi a due unità a + be, in cui il quadrato dell’unità e vale −1, +1, 0. Essi rappresentano in un certo senso le tre geometrie, iperbolica, ellittica, parabolica. Quelli con e ² = 0 ebbero applicazioni importanti, specialmente nella geometria della retta … Nella Geometrie der Dynamen dello Study ne è fatto ampio uso (Segre Opere v. 4, 466).

Segre himself says: queste premesse sono ben note (these premises are well known) and refers to several of the earlier works, in particular to Study and his school.

For a modern treatment of the subject, not unlike that of Segre, see Yaglom (1966).

Ora da qualche settimana ho ripreso antiche questioni sugli enti imaginari nelle forme di 1 ^a, di 2 ^a, …specie, sulla loro rappresentaz.^e in forme reali, (i p. ⁱ del piano nei p. ⁱ reali di S ₄, ecc.) e ho trovato e trovo dei risultati che spero ti interesseranno. In certi punti si può dire che continuo i Beiträge di Staudt (scrivimi che impressione ricevi da questi) (Letter from Segre to Castelnuovo, dated September, 6, 1889), the letters are edited by P. Gario in the website http://archivi-matematici.lincei.it/.

… hanno avuto in modo diretto od indiretto importanti riflessi, dapprima forse però d'entità inferiore a quanto l'A. non ne aspettasse (B. Segre 1964, 15).

Dans la définition de C. Segre, la nature de l’élément générateur ou “point” demeure tout à fait indéterminée (Zeuthen and Pieri 1915, 327).

La géométrie projective complexe, considéré comme discipline autonome, …, c’est principalement développée à la suite des travaux de Juel et surtout de C. Segre. Ce dernier géomètre a montré l’importance des transformations antiprojectives … à côté des transformations projectives, qu’on avait seules considérées auparavant. Parmi les antiprojectivités, les antiinvolutions et les antipolarités font intervenir des êtres géométriques dont le rôle ne le cède en rien à celui joué par les quadriques et les complexes linéaires, envisagés comme éléments de base des polarités proprement dites (Cartan 1931).

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Titel: Segre and the Foundations of Geometry: From Complex Projective Geometry to Dual Numbers
verfasst von: Aldo Brigaglia
Verlag: Springer International Publishing
Buch: From Classical to Modern Algebraic Geometry
Print ISBN: 978-3-319-32992-5

Electronic ISBN: 978-3-319-32994-9

Copyright-Jahr: 2016
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-32994-9_4

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