4. Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ausgestattet mit einem (0,2)-Tensorfeld g, genannt Fundamentaltensor oder Metrik, für das in jedem Punkt P die Bilinearform g(P) ein Skalarprodukt ist. Wenn nur gefordert wird, dass die g(P) beschreibenden Matrizen symmetrisch und regulär sind, handelt es sich um eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Insbesondere ist es eine Lorentz-Mannigfaltigkeit, wenn diese Matrizen durch Hauptachsentransformation in Diagonalform mit einer 1 und sonst -1 in der Hauptdiagonalen gebracht werden können. Eine glatte Fläche ist orientiert, wenn eine Seite gegenüber der anderen ausgezeichnet ist. Die Kleinsche Flasche und das Möbius-Band sind nicht orientierbar. Entsprechend lässt sich, wenn möglich, eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit orientieren. Für Lorentz-Mannigfaltigkeiten gibt es auch noch den Begriff der Zeitorientierung. Die Raumzeit ist eine vierdimensionale orientierte und zeitorientierte Lorentz-Mannigfaltigkeit. Ihre Tangentenvektoren x lassen sich je nach dem Vorzeichenverhalten von g(P)(x,x) in zeitartig, raumartig und lichtartig einteilen. Als Beispiele werden die Schwartzschild-Raumzeit und die Einstein-deSitter-Raumzeit behandelt.