Sensitivitätsanalysen zur Quantifizierung von Unsicherheiten in zeitdiskreten dynamischen Mikrosimulationsmodellen

Wie in Kapitel 2 dargelegt, erfordern dynamische Mikrosimulationen eine detaillierte methodische Differenzierung, da viele Entscheidungen während der Modellentwicklung getroffen werden müssen (Burgard et al. 2020a). Diese Entscheidungen können zu erheblichen strukturellen Unterschieden zwischen Modellen führen. In der Regel gilt: Je umfassender die Population abgebildet und das Verhalten der Individuen für die Fortschreibung berücksichtigt wird, desto komplexer wird die Gesamtstruktur und desto zahlreicher und heterogener die potenziellen Unsicherheitsquellen.

In dynamischen Mikrosimulationsmodellen lassen sich verschiedene Arten von Unsicherheit identifizieren, die jedoch oft nicht klar voneinander abzugrenzen sind: Monte-Carlo-Unsicherheit, methodologische Unsicherheit, strukturelle Unsicherheit, Parameterunsicherheit und die Unsicherheit der Basispopulation (Bilcke et al. 2011; Sharif et al. 2012, 2017; Lappo 2015).

Monte-Carlo-Unsicherheit (MC-Unsicherheit) resultiert aus den stochastischen Prozessen, die in den meisten Mikrosimulationen vorkommen. Da Zustandsänderungen auf Wahrscheinlichkeiten basieren, entstehen bei wiederholten Simulationen unterschiedliche Ergebnisse (Burgard et al. 2020b,a). Stochastische Prozesse werden auch in statischen Modellen verwendet, z. B. in Behavioural-Modellen (Siehe dazu: Li 2011; O’Donoghue 2021), um individuelles Verhalten als Reaktion auf politische Maßnahmen abzubilden. Fehlende Variablen in der Basispopulation können durch modellbasierte Schätzungen ergänzt werden, was ebenfalls stochastische Unsicherheit erzeugt. Die zufälligen Schwankungen werden als Monte-Carlo-Varianz (MC-Varianz) bezeichnet (Gentle 2006; Robert und Casella 2013). Um die MC-Unsicherheit zu reduzieren, sollten Simulationen mehrfach durchgeführt und die Ergebnisse gemittelt werden (Van Imhoff und Post 1998; Dowling et al. 2002; Burgard et al. 2020a). Je mehr Wiederholungen, desto genauer kann diese Art der Unsicherheit abgeschätzt werden. Es gibt jedoch in diesem Kontext keine allgemein akzeptierte Definition für Konvergenz, sodass die Anzahl der Simulationsläufe den Forschenden obliegt.

Methodologische Unsicherheit bezieht sich auf normative Entscheidungen bei der Modellumsetzung, wie die Wahl der Entscheidungseinheiten (Individuen oder Haushalte) oder die Fokussierung auf bestimmte Subpopulationen (Bilcke et al. 2011). Solche Entscheidungen wie auch die Operationalisierung von Zielgrößen beeinflussen das Modell erheblich. Obwohl immer Individualdaten vorliegen, ist es für Analysen notwendig, bestimmte Zielgrößen auszuwählen, weshalb methodologische Entscheidungen getroffen werden müssen.

Strukturelle Unsicherheit resultiert aus dem Aufbau des Modells und den in diesem Kontext getroffenen methodischen Entscheidungen, wie der Auswahl der Basispopulation, der Modellierungsansätze für Zustandsänderungen und der finalen Zusammensetzung des Simulationsmodells (Bilcke et al. 2011; Sharif et al. 2012). Unterschiede in der Wahl der Übergangswahrscheinlichkeiten oder Modellierungsansätze können ebenfalls zur strukturellen Unsicherheit gezählt werden (Briggs et al. 2012).

Parameterunsicherheit entsteht durch die Schätzung der Modellparameter, die üblicherweise auf Stichprobendaten basieren (Sharif et al. 2012). In dynamischen Modellen, die meistens Regressionsmethoden nutzen, hängt die Unsicherheit auch von der Stichprobengröße und -qualität ab. Parameter, die auf subjektiven Annahmen – beispielsweise aus Erfahrungen – anstatt auf empirischen Daten beruhen, stellen wiederum eine Form der subjektiven Unsicherheit dar (Sharif et al. 2012).

Die Unsicherheit der Basispopulation wird oft zur methodologischen Unsicherheit gezählt, kann jedoch auch als eigene Kategorie betrachtet werden (Sharif et al. 2012; Bilcke et al. 2011). Sie bezieht sich auf Unsicherheiten, die durch den Auswahlprozess des Ausgangsdatensatzes und durch den Erhebungsprozess bei Stichproben entstehen. Bei synthetischen Populationen kommen zusätzliche Unsicherheiten durch den Erstellungsprozess und die zugrunde liegenden Modellierungen hinzu. In diesem Fall lassen sich alle aufgeführten Unsicherheitsquellen auch im Erstellungsprozess der Basispopulation identifizieren.

Für statische Mikrosimulationsmodelle existieren vereinzelt Ansätze zur Schätzung von Konfidenzintervallen für ausgewählte Zielgrößen (Lappo 2015; Goedemé et al. 2013). Diese stützen sich wiederum auf etablierte Methoden der Varianzschätzung (Woodruff 1971; Shao und Tu 1995; Wolter 2007; Münnich 2008), wobei der Fokus auf der Stichprobenunsicherheit der Basispopulation liegt. Eine generelle Übertragbarkeit auf andere Datensätze ist jedoch nicht immer gegeben. In dynamischen Mikrosimulationen setzt sich die Gesamtunsicherheit aus verschiedenen Quellen zusammen, wodurch herkömmliche Verfahren – auch aufgrund der Modellkomplexität – nicht mehr anwendbar sind (Sharif et al. 2012; Lappo 2015).

Mittlerweile existieren auch praktikable Ansätze zur Schätzung von Konfidenzintervallen in dynamischen Modellen. Diese zielen nicht darauf ab, die gesamte Unsicherheit zu messen, sondern fokussieren sich auf die Unsicherheit, die aus der Parameterschätzung der zugrundeliegenden Modelle resultiert. Die Parameterunsicherheit wird dabei durch wiederholte Ziehung der Modellparameter aus einer multivariaten Verteilung erfasst, die aus der geschätzten Varianz-Kovarianz-Matrix der Modelle abgeleitet wird (Creedy et al. 2007; Sharif et al. 2012; Richardson et al. 2018). Diese Verfahren können folglich als Varianten des parametrischen Bootstraps interpretiert werden (Davison und Hinkley 1997).

Eine alternative Methode zur Unsicherheitsmessung bieten Sensitivitätsanalysen. Diese quantifizieren nicht direkt die Unsicherheit des Outputs über Konfidenzintervalle, sondern analysieren den Einfluss verschiedener Inputfaktoren auf die Zielgrößen. Entsprechend lassen sich Sensitivitätsanalysen als Methode zur Messung des Einflusses von verschiedenen Ursachen der Unsicherheit im Modellinput auf die Unsicherheit des Modelloutputs beschreiben (Saltelli et al. 2008, S. 1). Sensitivitätsanalysen werden daher häufig zur Bewertung der Unsicherheit zusammengesetzter Indikatoren (Composite Indicators) genutzt (Münnich und Seger 2014; Articus et al. 2021; Güdemann und Münnich 2021).

Im Kontext von Mikrosimulationen wird die Anwendung von Sensitivitätsanalysen in unterschiedlichen Bereichen vorgeschlagen. So bieten sie die Möglichkeit, die Stabilität der Simulationsergebnisse zu überprüfen (Dowling et al. 2002). Auch werden sie als Validierungstechnik zur Evaluation von Simulationsergebnissen unter extremen Annahmen und Parametern der Modelle vorgeschlagen (Brown et al. 2011). Rutter et al. (2011) empfehlen die Anwendung zur Überprüfung der Plausibilität, insbesondere im Falle nicht direkt beobachtbarer Parameter. Sofern Grund zur Annahme für fehlerhafte Simulationsverläufe besteht, können Sensitivitätsanalysen helfen, die verantwortlichen Komponenten zu identifizieren (National Research Council 1991, S. 159). Die SAGE-Forschungsgruppe nennt als Anwendungsfelder die Messung des Einflusses verschiedener Parameter auf den Simulationsoutput und die Analyse makroökonomischer Indikatoren (Zaidi und Rake 2001). Auch in Kombination mit Verfahren zur Anpassung von Übergangswahrscheinlichkeiten (sogenannte Alignment-Methoden) lässt sich diese Form der Analyse anwenden, insbesondere wenn politische Maßnahmen hinsichtlich verschiedener Szenarien, beispielsweise zu Geburten und Sterbefällen, untersucht werden sollen (Harding et al. 2010; Burgard et al. 2020b). Darüber hinaus können Simulationsergebnisse unter verschiedenen Szenarien und Unsicherheiten über Sensitivitätsindizes grafisch veranschaulicht werden (Marois et al. 2017; Burgard et al. 2020b).

Im Vergleich zu alternativen Methoden der Unsicherheitsmessung sind Sensitivitätsanalysen enorm flexibel: Sie ermöglichen die Definition und Quantifizierung unterschiedlichster Einflussfaktoren, einschließlich unsicherer Modellparameter, Datenerstellungsmethoden oder vollständig annahmebasierter Einflussgrößen. Voraussetzung ist lediglich, dass die Unsicherheiten als Faktoren definiert und unabhängig implementiert werden können.

Modelle werden generell als Strukturen und Hypothesen betrachtet, die dazu dienen, Phänomene der realen Welt zu untersuchen (Saisana et al. 2005). Nachfolgend entspricht das Modell einem Mikrosimulationsmodell, das wiederum als Funktion \(f(\cdot)\) definiert wird. Das Ergebnis der Funktion sei ein beliebiger univariater Zielwert \(\theta^{(s)}\) für die simulierte Periode s. Durch die Zerlegung der Varianz des Zielwertes können die Einflussstärken der K-dimensionalen paarweise unabhängigen Inputfaktoren \(\boldsymbol{\mathcal{Z}}=\{\mathcal{Z}_{1},\dots,\mathcal{Z}_{k},\dots,\mathcal{Z}_{K}\}\) identifiziert werden (Sobol 1993). Die Inputfaktoren können sich wiederum aus unterschiedlichen Bestandteilen zusammensetzen. So lassen sich beispielsweise verschiedene Szenarien, Modelle, Parameter und Datenquellen als Faktoren definieren, um einen funktionalen Zusammenhang zwischen Zielwert und Inputfaktoren herzustellen (Saltelli et al. 2008, S. 159). Bei dynamischen Modellen muss zusätzlich die Simulationsperiode s eingebunden werden:

Die gesamte oder unkonditionierte Varianz des Zielwertes \(\operatorname{Var}(\theta^{(s)})\) wird zunächst zerlegt in konditionierte Varianzen \(V_{k}^{(s)}\) und Wechselwirkungseffekte zweiter (\(V_{k,l}^{(s)}\)) und höherer Ordnung:

Aus diesen Effekten lassen sich die Haupt- und Interaktionseffekte als Anteil der jeweiligen Effekte an der Gesamtvarianz bestimmen. Die Haupteffekte (oder Sensitivitätsindizes erster Ordnung) \(S_{k}^{M(s)}\) geben somit den relativen Einfluss des k-ten Faktors auf die Variation des Zielwertes zur Simulationsperiode s an:

Die Haupteffekte befinden sich entsprechend im Intervall [0,1]. Je höher der Wert des Haupteffekts, desto relevanter ist der Einfluss des dazugehörigen Faktors auf den Zielwert (Saltelli et al. 2008, S. 161 f.). Interaktionseffekte beschreiben wiederum den gemeinsamen Einfluss mehrerer Faktoren (sogenannte interagierende Faktoren), sofern die Summe der Haupteffekte ungleich dem Einfluss beider Faktoren ist. Der Interaktionseffekt von \(\mathcal{Z}_{k}\) und Faktor \(\mathcal{Z}_{l}\) kann ebenfalls über den relativen Anteil an der Gesamtvarianz bestimmt werden:

Die Summe aller Haupteffekte und der Interaktionseffekte zweiter und höherer Ordnung ergibt immer 1:

Die Analyse der Interaktionseffekte wird bei vielen Einflussfaktoren schnell unübersichtlich, da die Anzahl der Interaktionen exponentiell mit der Faktorenzahl (\(2^{K}-1\) bei K Faktoren) steigt (Iooss und Lemaître 2015). Daher konzentriert man sich oft auf die Haupteffekte. Totaleffekte ermöglichen jedoch eine erweiterte Betrachtung, indem sie die Haupteffekte und alle Interaktionseffekte eines Faktors zusammenfassen:

Totaleffekte lassen sich verstehen als die Summe aller Haupteffekte und aller Interaktionseffekte, die vom jeweiligen Faktor beeinflusst werden.

Für ausführlichere Informationen zur Zerlegung der Varianzkomponenten und die Anwendung von Sensitivitätsanalysen sei auf Sobol (1993), Saisana et al. (2005), Saltelli et al. (2008), Lamboni et al. (2010) und Iooss und Lemaître (2015) verwiesen.

Für Sensitivitätsanalysen in Mikrosimulationen müssen Zielwerte und Inputfaktoren definiert werden. Die Zielwerte \(\theta^{(s)}\) sind univariat und können von einfachen Größen bis hin zu komplexen Indikatoren reichen. Bei mehreren Zielgrößen erfolgt eine separate Analyse für jeden Wert.

Sensitivitätsanalysen bieten hohe Flexibilität bei der Auswahl unabhängiger Inputfaktoren, wodurch viele Unsicherheitsquellen quantifiziert werden können (z. B. alternative Datenstrukturen, Schätzmethoden, Kalibrierungstechniken, Zukunftsszenarien). Für jeden Inputfaktor wird mindestens eine Alternative definiert, und Unsicherheiten lassen sich über Konfidenzintervalle abbilden. Die Simulation wird anschließend für jede Modifikation durchgeführt. Bei fünf Faktoren mit zwei Modifikationen ergeben sich so 32 Simulationsläufe (\(2^{5}=32\)), um alle Kombinationen zu berücksichtigen.

Für die meisten statischen Mikrosimulationen genügt es, die Simulation für jede Kombination an modifizierten Inputgrößen nur einmal auszuführen, sofern die Auswirkungen deterministischer Natur sind und keine stochastische Komponente Einfluss auf die Ergebnisse hat. Die Haupteffekte summieren sich mit den Interaktionseffekten immer zu 1 auf, da der Einfluss ausschließlich auf die eingebauten Veränderungen des Modells zurückzuführen ist:

Sobald jedoch stochastische Prozesse, wie in dynamischen Modellen üblich, Teil einer Simulation sind, ist es notwendig, die Simulation wiederholt durchzuführen. Die Anzahl erforderlicher Simulationen erhöht sich um den Faktor der Anzahl an Wiederholungen. Bei Sensitivitätsanalysen kann die zufällige Wiederholung als eigener Faktor S_r definiert werden. Entsprechend der Definition von Sensitivitätsindizes ergibt die Summe aller Effekte wieder 1: Aus diesem Grund bleiben der Haupteffekt \(S_{r}^{(s)}\) sowie alle mit der Wiederholung in Interaktion stehenden Effekte \(S_{1,r}^{(s)},S_{2,r}^{(s)},\dots,S_{1,\dots,K,r}^{(s)}\) bei der weiteren Analyse der Effekte üblicherweise unberücksichtigt (Lamboni et al. 2010). In diesem Fall summieren sich die Haupt- und Interaktionseffekte nicht länger zu 1 auf. Insbesondere bei dynamischen Mikrosimulationen kann der resultierende Wert der stochastischen Unsicherheit hilfreiche Informationen liefern. So können die Einflussstärken der zu untersuchenden Inputfaktoren in direkte Relation zur Monte-Carlo-Variation gesetzt werden. Die MC-Unsicherheit ist demnach grundsätzlich ein Inputfaktor jeder Sensitivitätsanalyse im Kontext stochastischer Systeme.

In zeitdiskreten dynamischen Mikrosimulationen, bei denen die Basispopulation über einen definierten Zeitraum fortgeschrieben wird, können Sensitivitätsindizes \(S_{k}^{(s)}\) für jede Periode berechnet und über die Zeit verglichen werden. Da die Normalisierung periodenspezifisch erfolgt, können Haupt- und Totaleffekte jedoch ein verzerrtes Bild der tatsächlichen Einflussstärken im Zeitverlauf vermitteln. Um die periodenspezifischen Einflüsse korrekt zu analysieren, sollten daher die Varianzkomponenten stets ausgewiesen werden. Die Haupteffekte \(S_{k}^{(s)}\), die den Anteil der konditionierten Varianz darstellen, werden mit der entsprechenden Gesamtvarianz \(\mathrm{Var}(\theta^{(s)})\) multipliziert. Folglich reicht der Wertebereich der Varianzkomponenten \(V_{k}^{(s)}\) von 0 bis \(\mathrm{Var}(\theta^{(s)})\).

Um die Anwendung von Sensitivitätsanalysen für dynamische Mikrosimulationen zu veranschaulichen, wird nachfolgend eine konkrete Umsetzung zur Messung von Modell- und Parameterunsicherheit vorgenommen. Die Simulation wird auf der Basispopulation für die kreisfreie Stadt Trier aus dem Mikrosimulationsmodell des Projekts Regionale Mikrosimulationen und Indikatorensysteme (REMIKIS) umgesetzt. Dieser Datensatz beinhaltet circa 105.000 Personen in 55.000 Haushalten zum Ausgangsjahr 2011 (Burgard et al. 2019, 2020b). Zur einfacheren Umsetzung und zur Beschränkung der Rechendauer wird jedoch nicht die gesamte REMIKIS-Simulationsstruktur, sondern eine reduzierte Variante mit wenigen Modulen und vereinfachten Modellen herangezogen. Eine Beschreibung des gesamten Modells findet sich in Burgard et al. (2020b). Das Modell besteht aus insgesamt fünf Modulen und simuliert Mortalität, Geburten, Partnerschaften, Pflegebedürftigkeit und Erwerbstätigkeit. Alle Ereignisse werden über logistische Regressionsmodelle, die auf Daten der Scientific Use Files des deutschen Mikrozensus der Jahre 2012 und 2013 geschätzt wurden, simuliert (Forschungsdatenzentren der Statistischen Ämter des Bundes und der Länder 2012, 2013). Ausgenommen sind Sterbefälle, deren Wahrscheinlichkeiten auf der Sterbetafel für Deutschland für die Jahre 2011 bis 2013 basieren (Statistisches Bundesamt 2020). Da die Schätzungen der Wahrscheinlichkeiten nicht auf Regressionsmodellen basieren, wird dieses Modul im weiteren Verlauf nicht berücksichtigt. Die Koeffizienten aller verwendeten Modelle sind in Tab. 1 aufgeführt.

Für die Analyse der Unsicherheit werden zum einen die Modellunsicherheit der vier in Tab. 1 aufgeführten Regressionsmodelle und zum anderen die Unsicherheit einzelner Parameter innerhalb ausgewählter Modelle untersucht. Wie bereits beschrieben, ist die Grundvoraussetzung für die Implementierung von Faktoren bei Sensitivitätsanalysen, dass diese unabhängig voneinander implementierbar sind. Hierdurch ergeben sich auch Einschränkungen bei der Quantifizierung von Unsicherheit, da im Gegensatz zu anderen Verfahren der Unsicherheitsmessung (bspw. Konfidenzintervallschätzung über parametrischen Bootstrap) die Abhängigkeitsstrukturen einzelner Komponenten nicht berücksichtigt werden können.

Für den Vergleich der Unsicherheit verschiedener Modelle werden Unsicherheitsintervalle für die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die Approximation der Konfidenzintervalle findet nicht auf den Wahrscheinlichkeiten direkt, sondern auf den linearen Prädiktoren \(\textbf{X}^{(s)}\hat{\beta}\) statt. Dafür wird zunächst die Varianz der Prädiktoren über bestimmt, wobei \(\hat{\mathbf{\Sigma}}\) der geschätzten Varianz-Kovarianz-Matrix der Regressionskoeffizienten entspricht (Kutner et al. 2004, S. 602 f.). Für das Basis-Szenario werden die geschätzten Wahrscheinlichkeiten über die geschätzten (unveränderten) Koeffizienten aus Tab. 1 berechnet. Um die Unsicherheit in Form unabhängiger Faktoren einzubinden, werden die Übergangswahrscheinlichkeiten modifiziert: Einmal wird die Obergrenze (\(\hat{\pi}^{(s)up}\)) und einmal die Untergrenze (\(\hat{\pi}^{(s)lo}\)) des 95%-Konfidenzintervalls der logarithmierten Odds-Ratio verwendet:

Hierbei steht z für das 95%-Perzentil der Standardnormalverteilung. Zwar bildet die alleinige Betrachtung der Unter- und Obergrenzen der vorhergesagten Werte die komplexen Zusammenhänge zwischen Koeffizienten nur eingeschränkt ab, dennoch ermöglicht dieses Vorgehen, die Gesamtunsicherheit von Modellen so darzustellen, dass sie in Sensitivitätsanalysen einfließen kann. Je geringer die Modellunsicherheit, desto enger fallen die Konfidenzintervalle der linearen Prädiktoren und somit auch die Wahrscheinlichkeiten aus. Zur Analyse wird die Mikrosimulation in jeder Kombination mit den unveränderten und mit den nach Formel 9 modifizierten Wahrscheinlichkeiten durchgeführt. Als Inputfaktoren werden die vier verschiedenen Modelle aus Tab. 1 definiert, innerhalb derer jeweils drei unterschiedliche Modifikationen durchgeführt werden.

Um die Einflüsse einzelner Koeffizienten über Sensitivitätsanalysen quantifizieren zu können, werden die dazugehörigen Konfidenzintervallgrenzen als Input definiert. Die resultierenden Wahrscheinlichkeiten bei modifizierten Koeffizienten werden über

berechnet. Dabei ist \(\hat{se}(\hat{\beta}_{p})\) die geschätzte Standardabweichung des p-ten Koeffizienten \(\hat{\beta}_{p}\). In der Notation impliziert \(-p\) den Ausschluss der p-ten Spalte der Modellmatrix. Hier werden analog zur Modifizierung der geschätzten Wahrscheinlichkeiten, die geschätzten Parameter modifiziert.

Neben den Einflussfaktoren müssen zur Umsetzung von Sensitivitätsanalysen univariate Zielwerte definiert werden. Für die nachfolgende Analyse werden insgesamt drei verschiedene Zielwerte unterschiedlicher Komplexität definiert.

Als einfacher Zielwert wird die Anzahl erwerbstätiger Personen \((\hat{\tau}^{(s)})\) herangezogen, als zusammengesetzte Werte der Anteil Erwerbstätiger (\(\hat{\theta}^{(s)}\)) und die Relation der pflegebedürftigen Personen zur Anzahl Erwerbstätiger (\(\hat{\varrho}^{(s)}\)). Die Zielwerte sind in Tab. 2 aufgeführt. Durch diese Auswahl kann der Einfluss einzelner Modelle und Parameter bei Zielwerten, die sowohl direkt als auch indirekt von der Unsicherheit betroffen sind, systematisch analysiert werden.

Nachfolgend werden neben den Haupt- und Totaleffekten auch die Varianzkomponenten betrachtet, um ein umfassenderes Bild der tatsächlichen Einflussstärken zu erhalten. Die Ergebnisse der Sensitivitätsanalyse werden in diesem Abschnitt graphisch und für die Simulationsperioden 20, 40 und 60 tabellarisch dargestellt.

Zunächst wird der Einfluss der verschiedenen Modelle auf die Anzahl der Erwerbstätigen (\(\hat{\tau}^{(s)}\)) analysiert. Die entsprechenden Ergebnisse sind in Tab. 3 und Abb. 1 dargestellt. Zu Beginn zeigt sich, dass das Erwerbstätigkeitsmodell erwartungsgemäß den stärksten relativen Einfluss auf die Anzahl der Erwerbstätigen ausübt. Die Haupteffekte bleiben nach einem anfänglichen Anstieg bis zur Periode 19 weitgehend stabil und bewegen sich in einem Bereich von 0,91 bis 0,92. Danach nimmt ihr Einfluss merklich ab, während der Einfluss des Geburtenmodells stark zunimmt. Diese Entwicklung setzt sich bis zum Ende des Simulationszeitraums fort.

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Der Grund für den verzögerten Anstieg des Geburtenmodells liegt in der zeitverzögerten Wirkung der Geburtenzahlen auf die erwerbstätige Bevölkerung. Langfristig hat das Geburtenmodell aufgrund des Multiplikationseffekts jedoch besonders starken Einfluss: Nicht geborene Kinder der Vergangenheit können in der Zukunft keine Eltern werden. Zwischen den Perioden 25 und 40 zeigt sich zudem ein allmählicher Anstieg des bis dahin kaum wahrnehmbaren Effekts des Partnerschaftsmodells.

Nach 60 Perioden liegt der Haupteffekt des Partnerschaftsmodells bei \(0{,}043\) und ist damit mehr als doppelt so groß wie der Effekt des Erwerbstätigkeitsmodells. Die Interaktionseffekte bleiben hingegen über die gesamte Simulationsdauer hinweg äußerst gering und sind in Abb. 1 kaum sichtbar. Daraus ergeben sich nur sehr geringe Abweichungen zwischen Haupt- und Totaleffekten.

Die Sensitivitätsindizes für den Anteil der Erwerbstätigen (\(\hat{\theta}^{(s)}\)), die in Tab. 4 und Abb. 2 dargestellt sind, unterscheiden sich deutlich von \(\hat{\tau}^{(s)}\). Bereits in den ersten Perioden zeigt das Geburtenmodell einen starken Einfluss, der bis zur Periode 19 kontinuierlich zunimmt und mit einem Haupteffekt von 0,53 den dominierenden Faktor darstellt. Anschließend sinkt sein relativer Einfluss bis zur Periode 40 so stark ab, dass er in Abb. 2 mit einem Wert von \(0{,}002\) kaum noch sichtbar ist. Ab Periode 40 steigt der Einfluss des Geburtenmodells erneut deutlich an, sodass es ab Periode 49 wieder den dominanten Einfluss ausübt. Dieses wellenförmige Muster zeigt sich beim Erwerbstätigkeitsmodell in umgekehrter Form: Während dessen anfänglich starker Einfluss abnimmt, erreicht er nach einer Erholungsphase ab Periode 20 mit einem Höchstwert von 0,87 in Periode 40 seinen Höhepunkt, bevor die Effekte zum Ende der Simulation wieder zurückgehen. Der Einfluss des Partnerschaftsmodells ist insgesamt geringer, weist jedoch eine ähnliche, abgeschwächte Entwicklung wie das Geburtenmodell auf. Der Vergleich mit \(\hat{\tau}^{(s)}\) verdeutlicht die unterschiedlichen Einflussverläufe der Modelle trotz ähnlich erscheinender Zielgrößen. Besonders auffällig ist dabei der starke Rückgang des relativen Einflusses des Geburtenmodells.

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Diese Entwicklung lässt sich durch die Zusammensetzung von \(\hat{\theta}^{(s)}\) aus der Anzahl der Erwerbstätigen und der Gesamtbevölkerung erklären. Ein Rückgang der Geburten beeinflusst unmittelbar die Einwohnerzahl negativ, während die Anzahl der Erwerbstätigen kurzfristig kaum betroffen ist. Mittelfristig und langfristig jedoch führt der Rückgang der Geburten auch zu einer kleineren Erwerbsbevölkerung, was wiederum den Anteil der Erwerbstätigen reduziert.

Nach 40 Simulationsperioden zeigt sich: Trotz deutlich unterschiedlicher Bevölkerungs- und Erwerbstätigenzahlen entsteht kein erkennbarer Unterschied im Anteil der Erwerbstätigen, unabhängig von der Geburtenentwicklung. Ein Vergleich der Varianzkomponenten bestätigt, dass der Einfluss des Geburtenmodells auf diesen Zielwert sowohl relativ als auch absolut abnimmt und ab Periode 40 gänzlich verschwindet. Gleichzeitig nimmt der absolute Einfluss des Geburtenmodells ab Periode 40 stark zu. Die Varianzkomponenten des Erwerbstätigkeitsmodells weisen hingegen deutlich geringere Schwankungen auf als die Haupteffekte und bleiben über die Zeit stabiler.

Die Ergebnisse für den Zielwert \(\hat{\varrho}^{(s)}\) zeigen wiederum ein komplett anderes Bild (siehe Tab. 5 und Abb. 3): Über den gesamten Simulationshorizont hinweg dominiert der Einfluss des Pflegemodells, der jedoch gegen Ende des Simulationshorizonts deutlich abnimmt. Ab Periode 40 verstärkt sich der Einfluss des Geburtenmodells deutlich, sodass der Haupteffekt nach 60 Perioden mit 0,44 nahezu dem des Pflegemodells entspricht. Der Einfluss des Erwerbstätigkeitsmodells ist hingegen sehr gering, gleiches gilt für den Einfluss des Partnerschaftsmodells. Während die Haupteffekte – mit Ausnahme des Geburtenmodells – in den späteren Perioden tendenziell abnehmen, zeigen die Varianzkomponenten der Modelle einen fortlaufenden Anstieg.

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Die nachfolgende Auswertung der Parameterunsicherheit konzentriert sich auf die Analyse der Parameter der Modelle für Pflegebedürftigkeit und Geburten mit dem Anteil Erwerbstätiger (\(\hat{\theta}^{(s)}\)) als Zielwert. Da pflegebedürftige Personen, pflegende Personen und junge Eltern eine deutlich geringere Wahrscheinlichkeit haben, am Erwerbsleben teilzuhaben, kann hier argumentativ ein kausaler Zusammenhang zwischen unsicheren Modellparametern und Zielwert hergestellt werden. Dies deckt einen interessanten und wesentlichen Teil der Simulation ab. Die Analyse weiterer Unsicherheiten und möglicher Zielwerte stellt in dieser Simulation jedoch keinen zusätzlichen Nutzen im Sinne einer beispielhaften Demonstration dar. Der Achsenabschnitt der Modelle wird in den Tabellen und Abbildungen als Koef. 1 bezeichnet, die weiteren Koeffizienten entsprechend der Reihenfolge der erklärenden Variablen aus Tab. 1 (Koef. 2: Alter, Koef. 3: Alter², usw.).

Wie in Tab. 6 und Abb. 4 dargestellt, wird der Zielwert \(\hat{\theta}^{(s)}\) hauptsächlich vom Achsenabschnitt (Koef. 1) und Parametern für das Alter (Koef. 2 und Koef. 3) beeinflusst. Die verbleibenden Koeffizienten sind dabei so geringfügig, dass sie in der Abbildung nicht sichtbar sind. Über alle Perioden zeigt Koef. 2 die größten Haupteffekte. In den ersten Perioden hat Koef. 1 den zweitstärksten Einfluss, bis dieser ab Periode 34 von Koef. 3 übertroffen wird.

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Ab Periode 30 nehmen die Haupteffekte stark ab, begleitet von einem Anstieg der Interaktionseffekte. Danach steigen die Haupteffekte wieder, während die Interaktionseffekte zurückgehen. Im Gegensatz zu den stabilen Haupteffekten bis Periode 30 zeigen die Varianzkomponenten ein verändertes Muster: Bis Periode 19 steigen sowohl die Gesamtvarianz als auch die Einzelkomponenten stark an, bevor sie wieder sinken und später erneut zunehmen. Anders als bei den Sensitivitätsanalysen zur Modellunsicherheit treten hier deutliche Interaktionseffekte auf, die bis zur Mitte des Zeitraums ansteigen und ab Periode 50 wieder abnehmen, während die Varianzkomponenten ab Periode 45 relativ stabil bleiben.

Deutlich geringere Haupteffekte zeigen sich bei der Analyse des Pflegemodells, wie Tab. 7 und Abb. 5 verdeutlichen. Bereits bei der Modellunsicherheitsanalyse wurden nur minimale Einflüsse des Pflegemodells auf die Variation von \(\hat{\theta}^{(s)}\) festgestellt. Die hohe stochastische Unsicherheit wird hier durch die weiße Fläche in den Haupteffekten und die rote Fläche in den Varianzkomponenten sichtbar. Ähnlich wie bei den Koeffizienten des Geburtenmodells beschränken sich die Effektstärken auf drei Koeffizienten (Koef. 1, 2 und 3) sowie die Interaktionseffekte.

Die Haupteffekte von Koef. 4 und Koef. 5 sind äußerst gering. Zu allen Perioden hat Koef. 2 den größten relativen Einfluss auf die Varianz. Der durch die Koeffizienten erklärte Anteil der Variation liegt über alle Perioden bei maximal 30 Prozent. Nach 60 Perioden beträgt der Anteil der Monte-Carlo-Varianz an der Gesamtvarianz fast 87 Prozent. Der Vergleich der Varianzkomponenten mit den Haupteffekten zeigt durchgehend ähnliche Verläufe: Bis Periode 40 steigen die Koeffizienteneffekte allmählich an und sinken anschließend stärker ab. Ab Periode 50 nimmt die stochastische Unsicherheit nochmals sichtbar zu.

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Bisher wurden die Interaktionseffekte nur aggregiert betrachtet, ohne detailliert auf ihre spezifischen Wirkungen einzugehen, sodass keine expliziten Aussagen über die Wechselwirkungen zwischen einzelnen Faktoren gemacht werden konnten. Chord-Diagramme bieten eine visuelle Möglichkeit, die gemeinsamen Effekte verschiedener Faktoren zu analysieren. In Abb. 6 werden die Interaktionseffekte der Parameterunsicherheit im Geburten- und Pflegemodell nach 60 Simulationsperioden veranschaulicht.

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Die äußeren Bögen der Kreise zeigen die Gesamtheit aller Interaktionseffekte ab der zweiten Ordnung, wobei ein größerer Anteil der äußeren Balken für stärkere Interaktionseffekte eines Koeffizienten steht. Im Geburtenmodell spielen Koef. 4 und Koef. 5 keine Rolle bei den Interaktionen, während sie im Pflegemodell deutlich sichtbare Anteile haben. Die schmaleren inneren Balken repräsentieren die Interaktionseffekte zweiter Ordnung, und die Verbindungslinien zeigen die gemeinsamen Effekte zwischen jeweils zwei Faktoren. Die Interaktionseffekte sind dabei symmetrisch, somit ist keine Richtung zu erkennen.

Es wird deutlich, dass die Interaktionseffekte zweiter Ordnung bei den Koeffizienten 1, 2 und 3 im Geburtenmodell den größten Teil der gemeinsamen Effekte ausmachen, während dieser Anteil im Pflegemodell für alle Faktoren deutlich geringer ausfällt. Die stärksten gemeinsamen Effekte treten in beiden Modellen zwischen Koef. 1 und Koef. 2 sowie zwischen Koef. 2 und Koef. 3 auf.

Eine detaillierte Analyse der Interaktionseffekte kann Sensitivitätsanalysen sinnvoll ergänzen, insbesondere wenn politische Maßnahmen als Faktoren festgelegt werden. Somit lässt sich z. B. prüfen, ob besondere Effekte aus der kombinierten Umsetzung verschiedener Ansätze resultieren.

Im folgenden Abschnitt werden Sensitivitätsanalysen zur Bewertung verschiedener Szenarien in regionalisierten Mikrosimulationen für Rheinland-Pfalz durchgeführt. Die Analysen basieren auf dem MikroSim-Modell, das unter anderem Module für Mortalität, Fertilität, Migration und andere demografische und ökonomische Ereignisse integriert (Münnich et al. 2021). Die Simulation erfolgt separat für die 36 Kreise und kreisfreien Städte.

Der Fokus liegt nun auf den Auswirkungen spezifischer Szenarien, nicht auf Modell- oder Parameterunsicherheiten. Die Szenarien werden auf Makroebene flexibel eingebunden, um die Effekte auf Mikroebene zu erhalten (Schmaus 2023, S. 26 f.). Dazu erfolgt eine Anpassung des Achsenabschnitts in logistischen Regressionsmodellen oder der logarithmierten Odds-Ratios der Eintrittswahrscheinlichkeiten. So lassen sich etwa sinkende Geburtenraten oder eine höhere Lebenserwartung simulieren, indem Anpassungswerte \(\omega_{r}^{(s)}\) festgelegt werden, die die Modelle oder die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten für eine Person u in Kreis r verändern:

In der Simulation wird der Anpassungswert \(\omega_{r}^{(s)}\) schrittweise reduziert, um nach 10 Perioden eine Zielreduktion von 10 Prozent zu erreichen, basierend auf der Ausgangspopulation. Die Anpassung startet 2020, da bis 2019 bekannte Geburten- und Sterbewerte als Benchmarks eingebunden sind. Durch die Festlegung der Anpassungswerte im Jahr 2020 bleibt die Entwicklung weiterhin von Mikrostrukturveränderungen abhängig, sodass z. B. steigende Geburtenzahlen trotz sinkender Wahrscheinlichkeiten möglich sind, etwa bei einem Anstieg der Frauen im gebärfähigen Alter.

Zusätzlich werden zwei Mobilitätsszenarien simuliert: Das erste hält die individuellen Wanderungszahlen von 2019 konstant; das zweite verwendet die Durchschnittswerte von 2011–2014 und 2017–2019 (nicht integriert wurden die Jahre besonders starker Zuwanderung von Geflüchteten). Nähere Details zur Umsetzung von regionaler Mobilität in dynamischen Mikrosimulationen finden sich in Schmaus (2023) und Ernst et al. (2023).

Für die Sensitivitätsanalyse werden drei Faktoren – Geburten, Sterbefälle und Wanderungen – jeweils in zwei Szenarien betrachtet (siehe Tab. 8). Um die Monte-Carlo-Variation zu berücksichtigen, erfolgen 100 Simulationen pro Szenario, was zu 800 Simulationsläufen (\(2^{3}\times 100\)) pro Kreis in Rheinland-Pfalz führt. Die Analyse konzentriert sich auf den Zielwert \(\hat{\theta}^{(s)}\) (Anteil Erwerbstätiger).

Die Ergebnisse der Sensitivitätsanalyse werden für ausgewählte kreisfreie Städte und Landkreise in Rheinland-Pfalz detailliert in Abb. 7 und Tab. 9 ausgewertet. Zusätzlich veranschaulichen die Karten in Abb. 8 die Haupteffekte für alle Kreise. Im Gegensatz zur vorherigen Analyse werden Ergebnisse nur für die Perioden 20 bis 60 generiert, da die Szenarien erst nach 10 simulierten Jahren erkennbar werden. Die Analyse zeigt deutliche Unterschiede in den Haupteffekten sowohl zwischen den Perioden als auch den Regionen. Interaktionseffekte sind in allen Kreisen während der gesamten Simulation sehr gering und in Abb. 7 kaum erkennbar, weshalb eine Interpretation dieser Effekte hier nicht erfolgt.

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Für Koblenz zeigen sich bis Periode 27 die stärksten Effekte durch Wanderungen, gefolgt von Geburten zwischen den Perioden 28 und 41. Ab Periode 42 dominieren erneut die Wanderungen, während die Mortalität einen weniger wellenförmigen Verlauf aufweist: Sie steigt bis Periode 39, sinkt bis Periode 50 und steigt dann wieder an. Zu Beginn trägt die stochastische Variation maßgeblich zur Gesamtvariation bei, doch dieser Anteil nimmt im Verlauf ab, bevor er ab Periode 48 erneut ansteigt.

Im Landkreis Vulkaneifel hingegen bleibt der Einfluss der Wanderungen über alle Perioden hinweg dominant. Die Effekte der Geburten steigen bis Periode 29 an, sinken aber danach kontinuierlich und fallen ab Periode 47 unter die Mortalitätseffekte. Der Anteil der Monte-Carlo-Variation zeigt anfangs einen Rückgang, stabilisiert sich jedoch später.

Im Landkreis Trier-Saarburg gehen die stärksten Effekte konstant von den Geburten aus. Anfangs sind die Wanderungen deutlich, nehmen jedoch bis Periode 35 so stark ab, dass sie in Abb. 7 nicht mehr sichtbar sind. In den letzten 25 Perioden ist erneut ein Anstieg der Wanderungen zu beobachten, während der Einfluss der Mortalität minimal bleibt. Auch hier nimmt der anfängliche Einfluss der Monte-Carlo-Variation ab, bevor er ab Periode 31 wieder zunimmt.

Für die kreisfreie Stadt Landau sind in den ersten vier Perioden die Wanderungen dominant, während später die Mortalität überwiegt. Der anfangs geringe Einfluss der Geburten steigt bis Periode 30 an, wodurch sie zeitweise den zweitstärksten Faktor darstellen. Nach einem Rückgang der Geburten steigt parallel der Einfluss der Wanderungen wieder. Der Einfluss der stochastischen Variation zeigt, wie in den anderen Kreisen, zu Beginn einen hohen Wert, bevor er danach deutlich abnimmt und ab Periode 50 wieder leicht ansteigt.

Ebenfalls unterschiedlich zwischen den Regionen, aber auch zu den Haupteffekten, sind die Varianzkomponenten in Abb. 7. So zeigt sich, dass im Landkreis Vulkaneifel eine kontinuierliche Zunahme der Variation zu beobachten ist, während die Variationen in den kreisfreien Städten Koblenz und Landau sowie im Landkreis Trier-Saarburg nach einem anfänglichen Anstieg gegen Ende des Simulationshorizonts wieder abnehmen.

Die regionalen Unterschiede in den Haupteffekten werden in Abb. 8 anschaulich. Je dunkler der Blauton, desto stärker sind die Haupteffekte nach 60 simulierten Perioden. Der stärkste relative Einfluss entfällt auf die Geburten, mit einem arithmetischen Mittel von 0,385, gefolgt von den Wanderungen (0,262) und der Mortalität (0,124). Zudem zeigen sich zwischen den Kreisen deutliche Unterschiede in der Monte-Carlo-Variabilität, die in sechs Kreisen sogar den größten Teil der Variation verursacht.