Signalräume und diskrete Signaldarstellungen

Dieses Kapitel gibt eine Einführung in die mathematischen Begriffe zur Zuordnung von Signalen zu Funktionenräumen sowie in die Prinzipien der diskreten Signalrepräsentation. Zunächst erfolgt eine Beschreibung von Vektorräumen, metrischen und normierten Räumen, sowie von Räumen mit Skalarprodukt. Im Anschluss daran werden diskrete Signaldarstellungen betrachtet. Nach einer Erläuterung der Methode der Orthogonalreihenentwicklung wird die Fourier-Reihenentwicklung als Beispiel für ein vollständiges orthogonales Funktionensystem betrachtet. Schließlich werden noch Reihenentwicklungen bezüglich allgemeiner Funktionensysteme untersucht. Die dabei beschriebenen Zusammenhänge bilden zum Beispiel die Grundlage für das Verständnis der in späteren Kapiteln behandelten allgemeinen Filterbänke und biorthogonalen Wavelet-Reihen. Da die in diesem Kapitel angesprochene Theorie insgesamt sehr umfangreich ist, kann diese im Rahmen dieses Textes nur auszugsweise dargestellt werden. Für umfassendere Darstellungen sei auf die Literatur [1, 2, 3, 4, 5] verwiesen.