Signaltheorie

Unter einem Signal versteht man den Verlauf einer messbaren Größe, die eine Information trägt. Handelt es sich dabei um einen zeitlichen Verlauf, so spricht man von einem Zeitsignal. Die Größe selbst kann die unterschiedlichsten Bedeutungen wie Spannung, Strom, Druck, Temperatur usw. haben. Typische Beispiele sind Sprach-, Audio- und Bildsignale, die in der Nachrichtentechnik auftretenden Sende- und Empfangssignale, sowie die in vielen Bereichen der Technik auftretenden Messsignale. Da die verschiedenen Signale sehr unterschiedliche Eigenschaften haben können, wird in diesem Kapitel zunächst einmal eine Charakterisierung von Signalen hinsichtlich einfacher Merkmale vorgenommen. Im Anschluss daran werden verschiedene Beispiele von häufig auftretenden Signalen behandelt. Hierzu gehören u. a. sinusförmige Signale, Rechteck- und Dreieckimpulse, Sprungfunktionen und der Dirac-Impuls. Diese Signale werden auch als Testsignale bezeichnet, weil man sie oft dazu einsetzt, um Systeme anzuregen und aus der Systemantwort auf die Systemeigenschaften zu schließen.

Dieses Kapitel gibt eine Einführung in die mathematischen Begriffe zur Zuordnung von Signalen zu Funktionenräumen sowie in die Prinzipien der diskreten Signalrepräsentation. Zunächst erfolgt eine Beschreibung von Vektorräumen, metrischen und normierten Räumen, sowie von Räumen mit Skalarprodukt. Im Anschluss daran werden diskrete Signaldarstellungen betrachtet. Nach einer Erläuterung der Methode der Orthogonalreihenentwicklung wird die Fourier-Reihenentwicklung als Beispiel für ein vollständiges orthogonales Funktionensystem betrachtet. Schließlich werden noch Reihenentwicklungen bezüglich allgemeiner Funktionensysteme untersucht. Die dabei beschriebenen Zusammenhänge bilden zum Beispiel die Grundlage für das Verständnis der in späteren Kapiteln behandelten allgemeinen Filterbänke und biorthogonalen Wavelet-Reihen. Da die in diesem Kapitel angesprochene Theorie insgesamt sehr umfangreich ist, kann diese im Rahmen dieses Textes nur auszugsweise dargestellt werden. Für umfassendere Darstellungen sei auf die Literatur [1, 2, 3, 4, 5] verwiesen.

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Beschreibung zeitkontinuierlicher Signale und ihrer Transformation durch lineare zeitinvariante Systeme. Nach der Behandlung der Eingangs-Ausgangs-Beziehungen der LTI-Systeme im Zeitbereich steht die Fourier-Transformation im Mittelpunkt der Betrachtungen, denn sie gibt besondere Einblicke in die Eigenschaften von Signalen und Systemen. Im Anschluss daran wird die Hilbert-Transformation besprochen, die sich insbesondere für die Beschreibung von Bandpasssignalen als vorteilhaft herausstellt. Schließlich wird noch die Laplace-Transformation behandelt. Sie bildet den Abschluss dieses Kapitels.

Diskrete Signale entstehen zum Beispiel durch die Abtastung zeitkontinuierlicher Signale in regelmäßigen Zeitintervallen. Ein Beispiel ist die Speicherung von Musiksignalen auf der Compact Disc (CD). Hierbei werden dem analogen Signal 44100 Abtastwerte je Sekunde entnommen und in digitaler Form auf der CD gespeichert. Für die Reproduktion muss aus dem diskreten Signal wieder ein zeitkontinuierliches Signal erzeugt werden, indem der Signalverlauf zwischen den bekannten Abtastwerten interpoliert wird. Von besonderem Interesse ist dabei die Frage, unter welchen Umständen ein analoges Signal fehlerfrei aus seinen Abtastwerten zurückgewonnen werden kann. Dieser Frage wendet sich der erste Abschnitt dieses Kapitels zu, wo die Voraussetzungen für die fehlerfreie Rekonstruktion in Form des sogenannten Abtasttheorems formuliert werden. Im Anschluss daran werden Methoden zur Beschreibung und Analyse diskreter Signale und Systeme betrachtet. Zu denWerkzeugen gehören dabei insbesondere die zeitdiskrete Fourier- und die Z-Transformation. Schließlich wird beschrieben, wie diskrete Systeme in Verarbeitungsketten eingebettet werden können, in denen analoge Signale abgetastet, diskret verarbeitet und wieder in zeitkontinuierliche Signale umgewandelt werden. Hierdurch wird es möglich, die Rechenleistung von Computern zu nutzen, um aufwendige Filteraufgaben für zeitkontinuierliche Signale auszuführen.

In Kapitel 2 wurden bereits die prinzipiellen Methoden zur Transformation endlich langer diskreter Signale behandelt. Die begonnenen Betrachtungen sollen im Folgenden für ausgewählte, für die digitale Signalverarbeitung besonders wichtige Transformationen vertieft werden. Man spricht dabei von Blocktransformationen, weil oft kurze Blöcke von eigentlich sehr langen Signalen transformiert werden. Wir beginnen mit der diskreten Fourier-Transformation (DFT) und ihrer schnellen Realisierung in Form der sogenannten FFT, die ihrerseits die Grundlage vieler effizienter Algorithmen der digitalen Signalverarbeitung bildet. Im Anschluss daran werden verschiedene diskrete Kosinustransformationen behandelt, von denen der Typ II besonders günstige Eigenschaften für die Signalkompression besitzt. Diese Transformation wird zum Beispiel in der Bild- und Videokompression nach den JPEG- und MPEG-Standards eingesetzt. Das Gegenstück zu den Kosinustransformationen sind die Sinustransformationen, die im Anschluss kurz benannt werden. Die nachfolgend beschriebene diskrete Hartley-Transformation ist eine Abwandlung der DFT, die sich insbesondere für die Verarbeitung reeller Signale eignet. Schließlich werden noch die Hadamard und die Walsh-Hadamard-Transformation behandelt, die zum Beispiel Anwendungen in der digitalen Kommunikation besitzen.

Zufälligen Signalen begegnet man in allen Bereichen der Signalverarbeitung und Signalanalyse. Zum einen treten sie als Störungen bei der Messung oder Signalübertragung auf, und zum anderen sind die zu verarbeitenden Signale (Sprache, Bilder, Messwerte) in der Regel selbst zufällig. In diesem Abschnitt werden einige der wichtigsten Methoden zur Beschreibung zufälliger Signale erläutert. Da Zufallssignale im Allgemeinen nicht mit den für deterministische Größen verfügbaren Werkzeugen behandelt werden können, ist es notwendig, ihre Eigenschaften im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie zu bestimmen und anzugeben. Prinzipiell unterscheidet man hierbei zwischen Zufallsvariablen und Zufallsprozessen. Im Folgenden wird zunächst auf Zufallsvariablen eingegangen. Dann werden Zufallsprozesse behandelt. Dabei wird im Wesentlichen nur die Statistik bis zur zweiten Ordnung betrachtet, die zum Beispiel durch Korrelationsfunktionen erfasst wird. Eine umfassende Behandlung allgemeiner statistischer Methoden findet man zum Beispiel in [15].

Unter Multiratensystemen versteht man diskrete Systeme, in denen Teilsignale mit unterschiedlichen Abtastraten auftreten und verarbeitet werden. Typische Beispiele sind Abtastratenumsetzer (zum Beispiel zur Anpassung der Abtastfrequenz zwischen verschiedenen Audiostandards) und Multiraten-Filterbänke für die Codierung oder die Datenübertragung. Bild 7.1 zeigt hierzu eine typische Multiraten-Filterbank mit Anwendungen in der Signalkompression. Das Eingangssignal wird dabei mittels einer Analysefilterbank, die aus parallel betriebenen Tief-, Band- und Hochpassfiltern besteht, in M sogenannte Teilbandsignale zerlegt, von denen jedes die Information über das Eingangssignal in einem bestimmten Frequenzband enthält. Nach der Filterung findet in jedem Teilband noch eine Abtastratenreduktion um einen ganzzahligen Faktor \(N_{k} \ge 1\) statt. Die Abwärtstaster sind in Bild 7.1 durch Blöcke mit nach unten gerichteten Pfeilen symbolisiert. Die Abtastratenreduktion dient in der Regel dazu, die in den M Teilbandsignalen enthaltene Redundanz zu reduzieren oder vollständig zu entfernen. Aufgrund der Abwärtstastung wird die Filterbank zum Multiratensystem. Da man nur dann damit rechnen kann, ein beliebiges Signal \(x\left( n \right)\) aus unterabgetasteten Teilbandsignalen fehlerfrei zurückgewinnen zu können, wenn die Gesamtanzahl aller Teilband-Abtastwerte je Zeiteinheit größer oder gleich der Anzahl der Eingangswerte pro Zeiteinheit ist, spricht man bei einem Abtastratenverhältnis von \(\mu = \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {N_{0} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {N_{1} + \ldots + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {N_{M - 1} }}} \right. \kern-0pt} {N_{M - 1} }}}}} \right. \kern-0pt} {N_{1} + \ldots + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {N_{M - 1} }}} \right. \kern-0pt} {N_{M - 1} }}}}}}} \right. \kern-0pt} {N_{0} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {N_{1} + \ldots + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {N_{M - 1} }}} \right. \kern-0pt} {N_{M - 1} }}}}} \right. \kern-0pt} {N_{1} + \ldots + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {N_{M - 1} }}} \right. \kern-0pt} {N_{M - 1} }}}}}}} \right) = 1\) von einer kritischen Abtastung. Wählt man \(\mu > 1\) , so ergibt sich eine Überabtastung. Für \(\mu < 1\) liegt eine Unterabtastung vor, und eine perfekte Rekonstruktion beliebiger Eingangssignale ist nicht mehr möglich.

In der Analyse von instationären Prozessen, wie zum Beispiel Sprach- oder Musiksignalen, möchte man häufig Aufschluss über die im Signal enthaltenen Spektralanteile gewinnen und diese zu Zeitpunkten bzw. Zeitintervallen zuordnen. Das bedeutet, man sucht eine Darstellung, in der die Signalanteile wie bei einem Notenblatt bezüglich ihres zeitlichen Auftretens und des spektralen Gehalts aufgetragen sind. Die klassische Fourier-Analyse löst dieses Problem nicht, denn sie ordnet den Spektralanteilen keine Zeitintervalle zu. Die Kurzzeit-Fourier-Transformation beachtet dagegen gleichzeitig zeitliche und spektrale Aspekte und ermöglicht so eine Zeit- Frequenz-Analyse.

Die Wavelet-Transformation wurde 1982 von Morlet et al. eingeführt, wobei die Anwendung in der Auswertung seismischer Messdaten bestand [20], [21]. Seither wurden verschiedene Arten der Wavelet-Transformation vorgeschlagen, und es haben sich viele weitere Anwendungen gefunden. Die zeitkontinuierliche Wavelet-Transformation, auch integrale Wavelet-Transformation genannt, hat Anwendungen in der Signalanalyse, wo sie eine affin-invariante Zeit-Frequenz-Repräsentation liefert. Eine besonders häufig angewandte Form ist die diskrete Wavelet-Transformation (DWT). Die DWT besitzt exzellente Codierungseigenschaften für viele Klassen natürlicher Signale und kann zudem sehr recheneffizient implementiert werden. Sie hat Anwendungen in vielen Bereichen der Technik, wie zum Beispiel der Bildkompression, der Rauschreduktion und der Mustererkennung.

In den Kapiteln 8 und 9 wurden bereits zwei Zeit-Frequenz-Verteilungen behandelt: das Spektrogramm und das Skalogramm. Beide Verteilungen entstehen durch lineare Filterung des zu analysierenden Signals, gefolgt von der Bildung des Betragsquadrats. In diesem Kapitel werden Zeit-Frequenz-Verteilungen behandelt, die nicht über lineare Filterungen gewonnen werden und die im Gegensatz zum Spektrogramm bzw. Skalogramm nicht in ihrer Auflösung durch die Unschärferelation eingeschränkt sind. Obwohl bei diesen Methoden nicht in jedem Fall sichergestellt werden kann, dass die Verteilungen positiv sind, lassen sich damit in speziellen Anwendungsfällen extrem aussagekräftige Erkenntnisse gewinnen.

In der Parameterschätzung besteht das Ziel in der Regel darin, eine oder mehrere unbekannte Größen mit möglichst hoher Genauigkeit aus gestörten Beobachtungen zu bestimmen. In der Signalschätzung ist dagegen ein gesamter Signalverlauf aus einem gestörten Signal zu ermitteln. Im ersten Abschnitt dieses Kapitels werden allgemeine statistische Schätzverfahren für die Parameterschätzung behandelt, die je nach Problemstellung zu linearen oder nichtlinearen Lösungen führen können. In diesem Zusammenhang werden auch prinzipielle Eigenschaften von Schätzverfahren beschrieben, und es werden Schranken für die erzielbare Genauigkeit angegeben. In Abschnitt 11.2 werden dann lineare Schätzungen betrachtet. Lineare Schätzungen haben eine große Bedeutung in der Signalverarbeitung, da sie zu relativ einfachen und recheneffizienten Lösungen führen. Im Anschluss daran folgen Methoden zum Entwurf linearer Optimalfilter für die Signalschätzung. Adaptive Systeme, die sich zeitlich veränderlichen Prozessen anpassen können, werden ausgeklammert.