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Über dieses Buch

Gott sprach: „Es werde Licht, und es ward ...“ steht auf manchem T-Shirt, und unter diesem Zitat findet man mit den Maxwell-Gleichungen dekorative und sehr anspruchsvolle partielle Differentialgleichungen zur Beschreibung elektromagnetischer Phänomene.

Dieses Buch erzählt Ihnen, worum es bei der Beschäftigung mit partiellen Differentialgleichungen geht, woher sie kommen, was sie beschreiben, welche großen Fragen mit ihnen verbunden sind und warum diese Fragen so schwierig sind, wie sie sind, ohne sie in aller mathematischen Schwere zu behandeln. Vielmehr vermittelt Ihnen dieses Buch einen anschaulichen Einstieg und einen Überblick, der von der Herleitung der Wärmeleitungsgleichung und einem energetisch bedenklichen Studentenzimmer über die Schwingungsgleichung, den Produktansatz, die Spektralzerlegung bis zu den Grundideen der Finite-Elemente-Methode als dem Standardverfahren zur numerischen Behandlung von partiellen Differentialgleichungen reicht.

Sie werden Freude haben, sich mit partiellen Differentialgleichungen zu beschäftigen, mit denen fast alle Vorgänge in der Natur beschrieben werden können, und Sie lüpfen so den Schleier, der über den Mysterien der Wirklichkeit liegt.

Anregungen zur Übung und eigenen Beschäftigung sind in den Text eingestreut.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Studentenbude, Badezusatz und Trampolin

Viele ingenieurswissenschaftliche Anwendungen werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Ausgehend von drei anschaulichen Beispielen beginnen wir langsam damit, einen Bezug zwischen Anwendungen und der dahinterliegenden Mathematik aufzubauen. Wir lernen Rolfs Studentenbude kennen, denken über die Verteilung von Badezusatz in einer Badewanne nach und hüpfen auf einem Trampolin. Dabei freunden wir uns mit verschiedenen Randbedingungen als festem Bestandteil unserer Anwendungen und Gleichungen an. Wir merken, dass die Zeit nur manchmal umkehrbar ist und beobachten, wie sich z. B. eine Temperaturverteilung mit der Zeit entwickelt.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 2. Diffusion und Wärmeleitung

Ausgehend vom Studentenzimmer mit einem zugigen Fenster und Kachelofen sowie der Verteilung von Badezusatz in einer Badewanne, beschreiben wir die Wärmeausbreitung und die Diffusion. Wir übersetzen die physikalischen Phänomene in Beschreibungsgrößen und Differentialgleichungen und diskutieren die Rolle von konstitutiven Gleichungen und physikalischen Gesetzmäßigkeiten. Die Kontinuitätsgleichung erlaubt es uns, die zeitliche Änderung der Temperatur mit den Quellen und Senken des Flusses zu verbinden. Wir erhalten ein Anfangs-Randwertproblem, mit dem wir beispielsweise die zeitabhängige Temperatur in Rolfs Studentenbude beschreiben. Wir sehen, dass Energie nicht verschwinden, sondern nur über den Rand oder äußere Einflüsse entweichen kann, und wir besprechen, unter welchen Bedingungen die Temperatur in einem zugigen Raum zeitlich konstant bleibt.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 3. Schwingungen

Die uns umgebende Welt schwingt, seien es Brücken, Autos, Gitarren, Populationsgrößen oder die Erde während eines Erdbebens. Wir besprechen die Saite, beispielsweise von einer Gitarre, als Prototypen eines schwingenden Objekts. Wir leiten aus physikalischen Prinzipien die Schwingungsgleichung her und diskutieren die Energieerhaltung ungedämpfter Schwingungen. Dann verallgemeinern wir die Überlegungen auf die Schwingungen einer Membran, hüpfen gedanklich auf dem Trampolin und lernen an den Longitudinalwellen, mit denen sich auch Schall verbreitet, die ersten Begriffe zur Beschreibung elastischer Verformungen kennen. Auf der Suche nach harmonischen Schwingungen treffen wir auf Eigenschwingungen und Naturtöne, und wir finden heraus, weshalb unser Ohr gleichhohe Töne auf verschiedene Instrumente unterscheiden kann.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 4. Weitere Gleichungen und ihre Gemeinsamkeiten

Neben Wärmeleitung, Diffusion, Schwingungen und Verformungen lassen sich viele weitere Anwendungen durch partielle Differentialgleichungen beschreiben. Wir stellen Transportgleichungen vor, die beispielsweise bei der Beschreibung der Verkehrsdynamik eine Rolle spielen, und die Plattenbiegung als Verallgemeinerung der Membranverformung. Bei stationären elektrischen Feldern finden wir erstaunlicherweise dieselben partiellen Differentialgleichungen wie bei der Membranverformung. Wir zeigen, woher die Navier-Stokes-Gleichung kommt und warum sie mit ihrem nichtlinearen Konvektionsterm eine außerordentlich schwierige Differentialgleichung ist. Zum Schluss machen wir einen Ausflug in die lineare Elastizitätstheorie, finden das seit der Schulzeit bekannte Hooke’sche Gesetz in einer dreidimensionalen Variante wieder und erkennen in den Gleichungen der Elastizitätstheorie bekannte Strukturen.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 5. Ordnung in den partiellen Differentialgleichungen

Wir bringen wieder Ordnung in das Durcheinander der vielen Differentialgleichungen. Wir stellen Begriffe vor, die Sie teilweise schon aus gewöhnlichen Differentialgleichungen kennen. Im zweiten Abschnitt widmen wir uns großen mathematischen Fragen rund um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der Gleichungen. Dabei behalten wir trotz allem mathematischem Anspruch die Anschaulichkeit im Auge, betonen die herausragende Rolle von Eigenschwingungen und erklären, was die Generalamnestie bedeutet, dass unsere Funktionen im Weiteren genügend glatt sein mögen.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 6. Produktansatz

Gerüstet mit Wissen über die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, rechnen wir für die homogenen Prototypen der Schwingungsgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Laplace-Gleichung Lösungen aus. Dabei beginnen wir bei Lösungen, die als Produkt von Funktionen der einzelnen Variablen darstellbar sind, und führen mit dem Produktansatz partielle Differentialgleichungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurück. Wir erklären die Wirkung von Koordinatentransformationen und erfreuen uns an Eigenschaften der Lösungen der Laplace-Gleichung.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 7. Spektralzerlegung

Wir betrachten eine Wärmeleitungsgleichung mit einer zusätzlichen exogenen Wärmezu- oder Wärmeabfuhr sowie eine gespannte Membran mit einer exogenen Kraftdichte im Inneren. Aufbauend auf dem Produktansatz finden wir mit der Spektralzerlegung eine Möglichkeit, die auftretenden Frequenzanteile voneinander zu separieren und Lösungen von inhomogenen Gleichungen zu berechnen. Das wichtigste Hilfsmittel ist hierbei die Fourier-Reihendarstellung von Funktionen.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 8. Schallgeschwindigkeit in der Wellengleichung

Wir lassen einen Stein in einen schmalen, unendlich langen Kanal fallen und schauen den entstehenden Wellen bei der Ausbreitung zu. Dabei erstatten sich zwei Beobachter, die jeweils eine Wellenfront verfolgen, gegenseitig Bericht. Freund und Helfer beim Lösen der beschreibenden Wellengleichung ohne Randbedingungen ist eine Koordinatentransformation, die uns die Lösungen der Wellengleichung auf einer unendlich langen Achse in einer überraschend einfachen Form liefert.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 9. Transportgleichung und Charakteristiken

Auf einspurigen Straßen oder im Berufsverkehr kommt es regelmäßig zu scheinbar grundlosen Staus, die entlang der Strecke rückwärts wandern. Mit Transportgleichungen beschreiben wir die Verkehrsdynamik und diskutieren unterschiedliche Varianten der Fahrschulempfehlung zur Wahl der Fahrgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Verkehrsdichte. Wir begegnen charakteristischen Kurven, entlang derer der Verkehrsfluss oder sogar die Verkehrsdichte konstant ist und die unsere partielle Differentialgleichung wieder in gewöhnliche Differentialgleichungen überführt. Die Burgers-Gleichung tritt als übersichtliche Gleichung auf, deren Lösungen dennoch einige Tücken wie Stoßwellen und Verdünnungswellen aufweisen.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 10. Fundamentallösung

Wir platzieren ein massennormiertes Männchen mit einem angespitzten Stöckelschuh auf einer unendlich großen Membran und finden die entstehende Verformung als Grundlösung für die Membranverformung wieder. Mit der mathematischen Beschreibung dieses Gedankenexperiments entwickeln wir eine formale Lösung für die Verformung ebendieser Membran unter jeder beliebigen wirkenden Kraftdichte. Mit diesem abstrakten Zugang können wir nun Aussagen über die Verformung oder auch die Wärmeausbreitung nachweisen, ohne die Lösung explizit zu berechnen.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 11. Green-Funktion

Dem Gedankengang der Fundamentallösung folgend, entwickeln wir eine vergleichbare Lösungsformel, jedoch nun für Randwertprobleme der eingespannten Membran. Wir besprechen kurz das Konzept der Selbstadjungiertheit von Differentialoperatoren und kehren den Differentialoperator mithilfe der Green-Funktion um. Indem wir einen Besenstiel gedanklich gegen die Membran drücken, berechnen wir in der Poisson-Formel sogar das Potential einer Ladungsverteilung.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 12. Variationsformulierung und schwache Lösungen

Mit energetischen Betrachtungen nähern wir uns einem schwächeren Begriff einer Lösung. Wir variieren Lösungen ein wenig und beobachten dabei die Energie. So gelangen wir zu der Einsicht, dass Funktionen, die eine schwache Formulierung der Differentialgleichung erfüllen, aber nicht genügend oft differenzierbar sind, in einem sehr praktischen Sinn Lösungen von Differentialgleichung sind, denn bei allem mathematischem Anschein kommt die Idee aus den Ingenieurwissenschaften.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

Kapitel 13. Ausblick auf finite Elemente

Mit der schwachen Formulierung haben wir die Grundlage, um ein in praktischen Anwendungen häufig – wenn nicht gar vorrangig – genutztes numerisches Verfahren zu entdecken, nämlich die Finite-Elemente-Methode. Mit der Frage im Hinterkopf, wie viele Fotos jemanden eindeutig identifizieren, entwickeln wir ein Gleichungssystem zur numerischen Berechnung von Funktionen, die, zumindest aus genügend vielen Blickwinkeln betrachtet, wie Lösungen aussehen.
Dirk Langemann, Cordula Reisch

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