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Über dieses Buch

Sie beginnen ein Studium. Herzlichen Glückwunsch. Ihr Studium enthält Mathematik. Kein Grund zur Verzweiflung. Mathematik ist logisch, und Sie denken logisch. Dieses Buch verknüpft Ihr logisches Denken mit den spröden Zeichen der Mathematik. Es beantwortet Fragen, wie Sie Mathematik lernen und aufschreiben, wie Sie mit Prüfungen und Prüfungsangst umgehen und was Sie mit einem Beweis anfangen.

Das Buch zeigt Ihnen, wie Sie mathematische Symbole, Begriffe und Zusammenhänge mit Leben füllen und mit Ihrer Anschauung verbinden. Es ist aus Erfahrungen von Studierenden entstanden und bespricht typische Schwierigkeiten. Die Übersetzung der mathematischen Sprache in einfach verständliche Sachverhalte ist Ihr Schlüssel zur Mathematik. Diese Übersetzung hilft Ihnen beim Umgang mit Brüchen und Potenzen ebenso wie beim Verständnis von Funktionen und Integralen. Das Buch erzählt mathematische Sachverhalte in leichtem Ton, und kleinere Aufgaben regen Sie an, eigene Ideen, Skizzen und Ansätze zu entwickeln.

Wenn Sie gesehen haben, wie Sie selbst abstrakte Probleme aus der Geometrie und der Logik in anschauliche Bilder übertragen, werden Sie sagen: Ja, so einfach ist Mathematik.

Für die zweite Auflage wurde das Werk vollständig durchgesehen und an etlichen Stellen durch ausführlichere Beispiele, eine breitere Darstellung und zusätzliche Aspekte aus der Differenzialrechnung und der Geometrie weiter verbessert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Bevor’s richtig losgeht

Bevor’s richtig losgeht, empfängt Sie dieses Kapitel und begleitet Sie in das Buch über Mathematik für Studienanfänger aller Disziplinen und über Fragen, die man sich am Studienbeginn stellt. Hier wird erläutert, wie man das Buch „So einfach ist Mathematik“ nutzbringend liest, um das Ziel zu erreichen, Mathematik und die mathematische Sprache als etwas Natürliches zu verstehen und mit den eigenen Anschauungen zu verbinden. Höhere Mathematik beginnt beim Nachdenken über einfache Sachverhalte. Sie lesen über Erfahrungen von Studierenden beim Mathematiklernen und über den himmelweiten Unterschied zwischen Rechenrezepten und Mathematik. Lassen Sie sich von unterhaltsamen und bedenklichen Beobachtungen anregen, über Lernstrategien nachzudenken.
Dirk Langemann, Dirk Langemann, Vanessa Sommer

2. FAQ – häufige Fragen

Dieses Kapitel beantwortet häufige Fragen zum Umgang mit Mathematik und ihren Begriffen und Denkweisen sowie zum Lernen mathematischer Sachverhalte. Die Akzeptanz, dass Mathematik etwas aussagt, die Deutung der mathematischen Notation, die Übersetzung mathematischer Zusammenhänge in einfache und anschauliche Formulierungen und die logische Argumentation sind vier Pfeiler, auf denen die wichtigste Grundlage für das Erlernen und Verstehen von Mathematik steht – nämlich die Fähigkeit, Gedankengänge und Zusammenhänge nachzuvollziehen und sich selbst neue zu erschließen. Es wird besprochen, wie man Mathematik lernt, wie man Zusammenhänge versteht und ob man sie vergessen kann. Sie finden Tipps, wie man Mathematik in Übungs- und Klausuraufgaben aufschreibt, und Anregungen zur Frage aller Fragen vieler Studierender: „Brauche ich Mathematik?“ Danach folgen erste Überlegungen zum Umgang mit mathematischen Bezeichnungen, Formelzeichen und Regeln. Beweise werden als zentraler Gegenstand der Mathematik beleuchtet, und zum Abschluss ermuntert Sie die Frage „Darf ich mal probieren?“, Mathematik anzufangen und auszuprobieren. Ja, Sie dürfen.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

3. Zahlen und Bezeichnungen

Die Ideen und Vorstellungen hinter den Zahlen stehen am Anfang jedes Umgangs mit Mathematik. Bereits das Rechnen mit natürlichen Zahlen weist auf viele mathematische Fragestellungen hin, die im Studium wieder auftauchen. Hier wird das Basiswissen aufgefrischt: Primzahlen, Bruchrechnung, Klammersetzung, Potenz- und Wurzelgesetze, einfache Gleichungen, Zahlbereiche. Viele dieser leicht verständlichen Themen führen auf interessante Beispiele und weiterführende Überlegungen. Wir rechnen und wir reden darüber, wie wir rechnen. Der absolute Betrag und die Fallunterscheidung werden ausführlich besprochen. Kleine Aufgaben ermutigen Sie, selbst aktiv Mathematik zu betreiben. Wir treffen auf die Dreiecksungleichung und die Modulo-Rechnung, auf irrationale Zahlen und eine rekursiv definierte Folge, das Summensymbol und auf Schreibkonventionen, die uns den Umgang mit mathematischen Symbolen erleichtern. Schließlich wird gezeigt, was die Art der Fehler, die wir machen, über unsere Art zu lernen aussagt, und natürlich, wie wir sie vermeiden können.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

4. Ein bisschen Geometrie

Es gibt keine Mathematik ohne Geometrie. Hier werden dem Leser geometrische Denk- und Arbeitsweisen nähergebracht. Geometrie enthält immer die Aufforderung, nach Zusammenhängen und Veranschaulichungen zu suchen. Geometrie lebt von logischen Argumentationen. Sie entwickeln ein Gespür für geometrische Zusammenhänge und ihre Natürlichkeit und denken über das Erstellen von Skizzen nach. Dieses Kapitel bespricht Flächenformeln, ähnliche Dreiecke und einfache Winkelbeziehungen, es behandelt den Satz des Pythagoras, den Höhensatz und die Kathetensätze, es bespricht das Bogenmaß, und es gibt einen kurzen Einstieg in die Vektorrechnung. Sie erfahren, wie man Vektoren definiert, wie wenig die Definition für die Anschauung nützt und wie man sich Vektoren dennoch vorstellen kann. Mit dem Skalarprodukt und der vektoriellen Beschreibung von Geraden haben Sie bereits alle Werkzeuge, um die Satzfamilie des Pythagoras und viele andere geometrische Sätze zu beweisen. Alle vorgestellten geometrischen Sachverhalte werden bewiesen, und die Beweise werden ausführlich diskutiert.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

5. Funktionen

Funktionen sind das Werkzeug der Werkzeuge, um reale und mathematische Zusammenhänge zu beschreiben. Zunächst klären wir, was Funktionen sind, wie wir sie uns vorstellen können und was wir mit ihnen tun. Dann diskutieren wir das Zeichnen von Funktionsgraphen. Wir entwickeln eine Vorstellung vom Funktionsverlauf und lesen wichtige Eigenschaften wie Monotonie, das Verhalten im Unendlichen und das Auftreten von Nullstellen aus dem Funktionsausdruck ab. Wichtige Themen sind das Verschieben von Funktionen, Geraden und ihre Gleichungen und der Kreis als ein geometrisches Objekt, das durch Formeln beschreibbar, aber keine Funktion ist. Nach der Besprechung der Potenz- und Exponentialfunktion sowie der wichtigsten trigonometrischen Funktionen und ihrer geometrischen Veranschaulichung führt dieses Kapitel über die Flächenberechnung in den Integralbegriff ein. Aus der Betrachtung der Änderung von Flächen entsteht eine Vorstellung der Ableitung und des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Das Kapitel schließt mit einer Motivation der Produkt- und Kettenregel sowie der Interpretation der zugehörigen Integrationsverfahren.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

6. Handlungen mit mathematischen Symbolen

Die Grundwerkzeuge beim Arbeiten mit mathematischen Symbolen und Notationen sind Gegenstand dieses Kapitels. Die Befähigung zum eigenen Handeln und zum entspannten Umgang mit Termen und ihren eher technischen Umformungen steht im Vordergrund. Dies wird an der Entwicklung der allgemeinen binomischen Formel demonstriert, für deren Nachweis kombinatorische Überlegungen durchgeführt werden. Wir treffen auf das Pascalʼsche Dreieck, die Fakultät und die Binomialkoeffizienten. Im Abschnitt über Termumformungen besprechen wir ausführlich, warum manche Umformungen zielführend sind und andere nicht. Danach greifen wir in der Polynomdivision die Division mit Rest von ganzen Zahlen wieder auf und erklären mit der Partialbruchzerlegung und der Betrachtung von Differenzen von Wurzelausdrücken, wie man sich auch komplizierter aussehenden Termen nähert. Die vorgestellten Rechentechniken bleiben Techniken, aber ihre Beherrschung ist eine Voraussetzung für den Erfolg in der Mathematik.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

7. Gleichungen

Auch das Auflösen von einfachen Gleichungen gehört zum Handwerkszeug der Mathematik. Zunächst deuten wir das Gleichheitszeichen, das in mehreren leicht abweichenden Bedeutungen vorkommt und das wahrscheinlich das am meisten missverstandene Zeichen ist. Wir beginnen beim Auflösen linearer Gleichungen und diskutieren äquivalente Umformungen und Umkehroperationen. Quadratische Gleichungen und die quadratische Ergänzung leiten zu noch allgemeineren Gleichungen über, an denen wir den entspannten Umgang auch mit verschachtelten mathematischen Symbolen üben. Grundsätzlich steht das Verständnis des Auflösungsprozesses im Vordergrund, nicht Rechenverfahren oder formelhafte Lösungen. Das Rechenergebnis ist nur ein Nebenprodukt. Drei Textaufgaben, die auf lineare Gleichungssysteme, auf die geometrische Reihe und auf nichtlineare Gleichungen führen, zeigen Ihnen, wie Sie anwendungsnahe Problemstellungen aus verbalen Beschreibungen extrahieren. So werden Sie auf die Verwendung von mathematischen und logischen Fragestellungen in anderen Kontexten vorbereitet.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

8. Einfache Beweise und Ungleichungen

Beweise sind der wesentliche Inhalt von Mathematik und damit von Mathematikvorlesungen. Deshalb besprechen wir einfache Beweise und die dahinterstehenden Beweismethoden und zeigen, dass der wichtigste Baustein eines mathematischen Beweises unsere logische Argumentation ist. Ausgehend von der Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel kommen wir zum Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Wir gelangen zum indirekten Beweis und zur Diskussion der Rolle des Gegenbeispiels. Ein wenig formale Logik und ihr Formalismus runden die Beweistechniken ab. Wir besprechen die Implikation, Existenz- und Allquantor und die Morgan’schen Regeln. Der Abschnitt über Ungleichungen fokussiert sich auf die Veranschaulichung, das Verständnis der Umformungsschritte und die graphische Darstellung der Ungleichungen. Wiederum geht es um Fallunterscheidungen, Beträge und Logarithmen. Sie werden ermutigt, das Beweisen zu üben. Erst am Ende schauen wir aus dem Blickwinkel der formalen Logik noch einmal auf die Ungleichungen.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

9. Wie lese ich ein mathematisches Fachbuch?

Das Lesen eines mathematischen Fachbuchs erfordert einiges Vorwissen, sowohl auf Seiten des Inhalts als auch auf Seiten der Darstellung. Anhand eines hypothetischen, aber realistischen Buchausschnitts bereitet Sie dieses Kapitel darauf vor, was Sie beim Lesen eines echten Fachbuchs erwartet. Es erklärt, warum die mathematische Darstellungsweise so knapp und für viele deshalb spröde ist, und macht auf die zahlreichen kleinen Voraussetzungen aufmerksam, die in der mathematischen Notation versteckt sind. Dieses Kapitel erklärt, wie Sie sich auf ein mathematisches Fachbuch einlassen und seine Begriffswelt verstehen können.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

10. Rezepte, Taschenrechner und Halbwissen

Dieses Kapitel thematisiert den allgemeinen Umgang mit Mathematik und ihren Werkzeugen. Wichtige Themen sind das Brauchen und der Unterschied zwischen Rechenrezepten und Mathematik. Dazu passt die Differenz zwischen dem Auswendiglernen und dem Lernen von Mathematik. Im späteren Berufsleben lösen Sie keine Klausuraufgaben, aber Sie brauchen Mathematik, logische Argumentationen und Basiswissen. Zusätzlich zu diesen Themen finden Sie Anregungen zum zeitgemäßen Umgang mit dem Taschenrechner und mit Wissen aus dem Internet.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

11. Zahlenblindheit, Dyskalkulie und Prüfungsangst

Das elfte und letzte Kapitel thematisiert Zahlenblindheit und Prüfungsangst. Nach kurzen Einordnungen und Abgrenzungen wird durch einen Perspektivwechsel der Blick auf mögliche Lösungsansätze gelenkt. Insbesondere wird der Unterschied zwischen Zahlenblindheit bzw. Dyskalkulie und Mathematikschwäche herausgearbeitet. Weiterhin wird der Umgang mit Prüfungsangst thematisiert. In vielen Fällen helfen veränderte Lernstrategien und Trainingskurse. Das Kapitel schließt mit Prüfungen, dem erfolgreichen Lernen und dem Durchdenken mathematischer Sachverhalte. Wenn Sie sich der Mathematik öffnen, werden Sie sehen: So einfach ist Mathematik.
Dirk Langemann, Vanessa Sommer, Dirk Langemann

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