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Über dieses Buch

Mithilfe dieses Arbeitsbuchs wird der Leser auf die mathematischen Herausforderungen in einem WiMINT-Studium vorbereitet. Kurze, verständlich formulierte Texte frischen Schulwissen wie logisches Begründen, Bruchrechnen, Differenzialrechnung oder lineare Gleichungssysteme wieder auf. Hierbei helfen eine Vielzahl an Beispielen und Aufgaben mit Lösungen sowie Selbsttests am Anfang jedes Kapitels, mögliche Stolperfallen schon frühzeitig zu identifizieren.

Thematisch orientiert sich das Arbeitsbuch am sogenannten cosh-Mindestanforderungskatalog, welcher von Lehrenden aus Schule und Hochschule gemeinsam entwickelt wurde. Dieser hält nach übereinstimmender Meinung vieler deutscher Hochschulen, Dachverbände und Dozenten das für ein WiMINT-Studium notwendige mathematische Vorwissen fest. Neben allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden elementare Algebra, Geometrie, Analysis, lineare Algebra und analytische Geometrie abgedeckt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Allgemeine mathematische Kompetenzen

Frontmatter

1. Probleme lösen

Wie bei allen mathematischen Aufgaben wird auch bei mathematischen Problemen aus etwas Gegebenem mithilfe von mathematischen Verarbeitungsschritten etwas Gesuchtes ermittelt. Allerdings sind im Gegensatz zu mathematischen Standardaufgaben beim Problemlösen diese Verarbeitungsschritte nicht von vornherein festgelegt, sondern erfordern oft den Einsatz unterschiedlicher mathematischer Herangehensweisen. Problemstellungen, die im Rahmen des WiMINT-Studiums auftreten, können in unterschiedlichen Formen vorliegen, z. B. als offen formulierter Text, als Grafik, Bild, Tabelle oder Modell.
Der in Ungarn geborene Mathematiker György Pólya (1887–1985) hat in seinem 1967 veröffentlichten Buch „Die Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme“ die vier Schritte charakterisiert, die notwendig sind, um ein Problem mathematisch zu lösen. Sie machen sich in diesem Kapitel diese vier Schritte bewusst und können am Ende des Kapitels Strategien des Problemlösens anwenden.
Achtung  Probleme mathematisch lösen zu können, gehört zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen. In diesem Kapitel werden in einigen Beispielen und Übungsaufgaben auch Rechentechniken und Lösungsverfahren verwendet, die in den späteren Kapiteln eingehend behandelt werden. Bitte folgen Sie in solchen Fällen den Verweisen im Text.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

2. Systematisch vorgehen

Viele mathematische Probleme erscheinen auf den ersten Blick sehr komplex und oft unlösbar zu sein. Eine wichtige Hilfe ist es dann, wenn man die Lösungsschritte sorgfältig plant, strukturiert durchführt und anschließend den Lösungsweg, selbst wenn er nicht zum Erfolg geführt hat, reflektiert.
In diesem Kapitel machen Sie sich solche Vorgehensweisen an Beispielen bewusst und verbessern so Ihre eigene Arbeitsweise.
Achtung  Systematisch vorgehen zu können, gehört zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen. In einigen Beispielen und Übungsaufgaben dieses Kapitels werden auch Rechentechniken und Lösungsverfahren verwendet, die in den späteren Kapiteln eingehend behandelt werden. Bitte folgen Sie in solchen Fällen den Verweisen im Text.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

3. Plausibilitätsüberlegungen anstellen

In diesem Kapitel werden Strategien vorgestellt, die Ihnen dabei helfen sollen, Ihre Lösungen zu überprüfen und Fehler in vielen Fällen zu vermeiden. Insbesondere bei anwendungsbezogenen Aufgaben können Fragen wie „Kann das sein?“, „Stimmt die Größenordnung der Lösung?“, „Entspricht das Ergebnis meinen Erfahrungen?“ helfen, Fehler zu erkennen und zu korrigieren.
Nach der Bearbeitung dieses Kapitel wissen Sie, wie Sie diese und ähnliche Fragen auch auf Aufgaben ohne Anwendungsbezug übertragen können.
Achtung  Plausibilitätsüberlegungen anstellen zu können, gehört zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen. In einigen Beispielen und Übungsaufgaben in diesem Kapitel werden auch Rechentechniken und Lösungsverfahren verwendet, die in den späteren Kapiteln eingehend behandelt werden. Bitte folgen Sie in solchen Fällen den Verweisen im Text.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

4. Mathematisch kommunizieren und argumentieren

In diesem Kapitel erhalten Sie einen Überblick über die wichtigsten Symbole und Begriffe der mathematischen Fachsprache. Zusätzlich vertiefen Sie Ihre Fähigkeiten, mathematische Sachverhalte mit Worten zu beschreiben und zu erklären. Dazu gehören einfache Begründungen, Schlussfolgerungen oder Widerlegungen.
Achtung  Auch dieses Kapitel greift allgemeine mathematische Kompetenzen auf. Die in den Beispielen und Aufgaben verwendeten Rechentechniken werden in den folgenden Kapiteln vertieft behandelt. Bitte achten Sie auf die Verweise im Text.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

Elementare Algebra

Frontmatter

5. Grundrechenarten

Die Basis mathematischer Handlungen, insbesondere des Lösens von Aufgaben, bilden die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie die zugehörigen Rechenregeln. Oft reicht es zunächst aus, eine grobe Vorstellung über die Größenordnung von Ergebnissen zu haben. Gerade das setzt aber die Kenntnis der Grundrechenregeln und deren sichere und korrekte Anwendung voraus. In diesem Kapitel werden diese Grundlagen wiederholt und in Beispielaufgaben angewandt.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

6. Bruchrechnen

Das Rechnen mit Brüchen bereitet vielen Schülerinnen und Schülern sowie Studierenden große Schwierigkeiten. In diesem Kapitel wird insbesondere auf das Rechnen mit Brüchen sowie die zugehörigen Rechengesetze eingegangen.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

7. Prozentrechnung

Die Prozentrechnung spielt im Alltags- und Geschäftsleben eine zentrale Rolle. Gewinne und Verluste werden in der Regel prozentual angegeben, im Finanzbereich verwendet man die Prozentrechnung, z. B. bei Zinsberechnungen. In diesem Kapitel wiederholen Sie die wichtigsten Begriffe und Grundlagen der Prozent- und Zinsrechnung.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

8. Potenzen und Wurzeln

Neben den Grundrechenarten sind Potenzen und Wurzeln häufige Rechenoperationen in der Mathematik. In diesem Abschnitt wiederholen Sie die wichtigsten Rechenregeln der Potenz- und Wurzelrechnung.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

9. Gleichungen mit einer Variablen

In diesem Kapitel wiederholen Sie, wie Gleichungen mit einer Variablen durch Äquivalenz- und Termumformungen gelöst werden können. Solche Umformungen verändern nämlich die Lösungsmenge der Gleichung nicht. Darüber hinaus reflektieren Sie die Bedingungen, unter denen die Umformungen möglich sind, und können am Ende des Kapitels entscheiden, welche Lösungsverfahren sinnvoll anwendbar sind.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

10. Ungleichungen mit einer Variablen

In diesem Kapitel wiederholen Sie verschiedene Methoden zur Lösung von Ungleichungen. Sie reflektieren Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Ungleichungen und Gleichungen. Am Ende des Kapitels können Sie die Eignung der möglichen Lösungsverfahren beurteilen.
Unabdingbare Voraussetzung bei der Beschäftigung mit Ungleichungen sind Grundkenntnisse über Mengen von reellen Zahlen. Hierzu gehören vor allem die verschiedenen Intervalle und Vereinigungen hiervon (vgl. Abschnitt 4.​2).
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

Elementare Geometrie/Trigonometrie

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11. Elementare Geometrie

In diesem Kapitel wiederholen Sie die wichtigsten Sätze der Geometrie und die grundlegenden trigonometrischen Beziehungen, mit deren Hilfe Sie Strecken und Winkel berechnen können.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

Analysis

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12. Funktionen

In diesem Kapitel wiederholen Sie die wichtigsten elementaren Funktionen und deren Eigenschaften. Sie erfahren, wie man diese Funktionen modifiziert und neue Funktionen erzeugt. Sie können konkrete Funktionsterme aus vorgegebenen Bedingungen aufstellen.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

13. Differenzialrechnung

In diesem Kapitel wiederholen Sie die zentralen Begriffe der Differenzialrechnung: Grenzwerte, Ableitung einer Funktion an einer Stelle sowie Ableitungsfunktion. Sie wenden diese Konzepte an, um Eigenschaften von Funktionen zu analysieren und Optimierungsprobleme zu lösen. Im praktischen Einsatz sind die Ableitungsregeln zur Bestimmung der Ableitungsfunktion zusammengesetzter Funktionen ein wichtiges Handwerkszeug.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

14. Integralrechnung

In diesem Abschnitt wiederholen Sie die wichtigsten Grundvorstellungen, Regeln und Anwendungen der Integralrechnung. Sie wissen, welche Zugänge zum Integral es gibt, kennen die Stammfunktionen wichtiger Funktionsklassen und können bestimmte Integrale in verschiedenen Situationen berechnen.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Frontmatter

15. Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

Die aus dem Kapitel Funktionen (\(\rightarrow\) Kap. 12) bekannten Geraden begegnen uns in diesem Kapitel in einer scheinbar anderen algebraischen Darstellung. Hier sind es nun lineare Gleichungen, deren Lösungsmengen sich geometrisch als Geraden visualisieren lassen. Mithilfe von Gleichungen lassen sich auch andere geometrische Objekte, etwa Kreise, darstellen. Neben der geometrischen Visualisierung von Gleichungen wird auch die Visualisierung von Ungleichungen thematisiert.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

16. Lineare Gleichungssysteme

Dieses Kapitel setzt das vorangegangene fort, indem nun mehrere lineare Gleichungen zu sogenannten Gleichungssystemen kombiniert werden. Wie auch zuvor geht es wieder um das Berechnen von Lösungsmengen. Und auch in diesem Kapitel spielt die geometrische Visualisierung der Lösungsmengen für das Verständnis eine große Rolle.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

17. Anschauliche Vektorgeometrie

Mit Vektoren wird ein neuer Typ von Zahlobjekten eingeführt, die man addieren, subtrahieren und auf besondere Weise multiplizieren kann. Manche der hier geltenden Rechengesetze sind schon von den reellen Zahlen her bekannt. Sowohl diese Rechenoperationen als auch die Vektoren selbst kann man wieder am besten verstehen, wenn man sie geometrisch veranschaulicht.
Klaus Dürrschnabel, Rolf Dürr, Wolfgang Erben, Matthias Gercken, Karin Lunde, Rita Wurth, Marc Zimmermann

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