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Erschienen in:
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2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

Solving via Modular Methods

verfasst von : Deeba Afzal, Faira Kanwal Janjua, Gerhard Pfister, Stefan Steidel

Erschienen in: Bridging Algebra, Geometry, and Topology

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

In this chapter we present a parallel modular algorithm to compute all solutions with multiplicities of a given zero-dimensional polynomial system of equations over the rationals. In fact, we compute a triangular decomposition using Möller’s algorithm (Möller, Appl. Algebra Eng. Commun. Comput. 4:217–230, 1993) of the corresponding ideal in the polynomial ring over the rationals using modular methods, and then apply a solver for univariate polynomials.

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Fußnoten
1
In Singular [4] this approach is implemented in the library solve.lib on the basis of an univariate Laguerre solver [16, Sect. 8.9–8.13].
 
2
The corresponding procedure is implemented in Singular in the library triang.lib.
 
3
Farey fractions refer to rational reconstruction. A definition of Farey fractions, the Farey rational map, and remarks on the required bound on the coefficients can be found in [8].
 
4
The corresponding procedures are implemented in Singular in the library modsolve.lib.
 
Literatur
1.
Aubry, P., Moreno Maza, M.: Triangular sets for solving polynomial systems: a comparative implementation of four methods. J. Symb. Comput. 28, 125–154 (1999)MathSciNetCrossRefMATH
2.
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Dahan, X., Moreno Maza, M., Schost, É., Wu, W., Xie, Y.: Lifting techniques for triangular decompositions. Proceedings of ISSAC ’05, Beijing, China, pp. 108–115. ACM Press, New York (2005)
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Lemaire, F., Moreno Maza, M., Xie, Y.: The RegularChains library in Maple 10. Maplesoft, Canada (2005)
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Lemaire, F., Moreno Maza, M., Xie, Y.: Making a sophisticated symbolic solver available to different communities of users. Proceedings of Asian Technology Conference in Mathematics ’06, Polytechnic University of Hong Kong (2006)
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Li, X., Moreno Maza, M.: Multithreaded parallel implementation of arithmetic operations modulo a triangular set. Proceedings of Parallel Symbolic Computation ’07, London, Canada, pp. 53–59. ACM Press, New York (2007)
12.
Möller, H.M.: On decomposing systems of polynomial equations with finitely many solutions. Appl. Algebra Eng. Commun. Comput. 4, 217–230 (1993)CrossRefMATH
13.
Möller, H.M.: Solving of algebraic equations – an interplay of symbolical and numerical methods. In: Haußmann, W., Jetter, K., Reimer, M. (eds.) Multivariate Approximation, Recent Trends and Results. Mathematical Research, vol. 101, pp. 161–176. Akademie Verlag, Berlin (1997)
14.
Moreno Maza, M.: On triangular decompositions of algebraic varieties. Presented at the MEGA 2000 Conference, Bath, UK (2000)
15.
Moreno Maza, M., Xie, Y.: Component-level parallelization of triangular decompositions. Proceedings of Parallel Symbolic Computation ’07, London, Canada, pp. 69–77. ACM Press, New York (2007)
16.
Ralston, A., Rabinowitz, P.: A First Course in Numerical Analysis, 2nd edn. McGraw-Hill, New York (1978)MATH
Metadaten
Titel
Solving via Modular Methods
verfasst von
Deeba Afzal
Faira Kanwal Janjua
Gerhard Pfister
Stefan Steidel
Copyright-Jahr
2014
Buch
Bridging Algebra, Geometry, and Topology

Print ISBN: 978-3-319-09185-3

Electronic ISBN: 978-3-319-09186-0

Copyright-Jahr: 2014

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-09186-0_1