Skip to main content
main-content

Tipp

Weitere Artikel dieser Ausgabe durch Wischen aufrufen

01.12.2015 | Research | Ausgabe 1/2015 Open Access

Journal of Inequalities and Applications 1/2015

Some inequalities related to two expansions of \((1+1/x)^{x}\)

Zeitschrift:
Journal of Inequalities and Applications > Ausgabe 1/2015
Autoren:
Bijun Ren, Xiao Li
Wichtige Hinweise

Competing interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

Authors’ contributions

The authors completed the paper together. They each read and approved the final manuscript.

Abstract

We prove the following theorem: Let
$$\begin{aligned}& \biggl(1+\frac{1}{x} \biggr)^{x}=e \Biggl(1- \sum _{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{ (1+x )^{k}} \Biggr)=e \Biggl(1-\sum _{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}}{ (\frac{11}{12}+x )^{k}} \Biggr), \\& \sigma_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m} \frac{b_{k}}{ (1+x )^{k}} \quad\mbox{and}\quad S_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m} \frac{d_{k}}{ (\frac{11}{12}+x )^{k}}. \end{aligned}$$
(1)
If \(m\geq6\) is even, we have \(S_{m}(x)>\sigma_{m}(x)\) for all \(x>0\).
 
(2)
If \(m\geq7\) is odd, we have \(S_{m}(x)>\sigma_{m}(x)\) for all \(x>1\).
 
This provides an intuitive explanation for the main result in Mortici and Hu (On an infinite series for \((1+ 1/x)^{x}\), 2014, arXiv:​1406.​7814 [math.CA]).

Unsere Produktempfehlungen

Basis-Abo der Gesellschaft für Informatik

Sie erhalten uneingeschränkten Vollzugriff auf die Inhalte der Fachgebiete Business IT + Informatik und Management + Führung und damit auf über 30.000 Fachbücher und ca. 130 Fachzeitschriften.

Premium-Abo der Gesellschaft für Informatik

Sie erhalten uneingeschränkten Vollzugriff auf alle acht Fachgebiete von Springer Professional und damit auf über 45.000 Fachbücher und ca. 300 Fachzeitschriften.

Literatur
Über diesen Artikel

Weitere Artikel der Ausgabe 1/2015

Journal of Inequalities and Applications 1/2015 Zur Ausgabe

Premium Partner

    Bildnachweise