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01.12.2015 | Research | Ausgabe 1/2015 Open Access # Some inequalities related to two expansions of $$(1+1/x)^{x}$$

Zeitschrift:
Journal of Inequalities and Applications > Ausgabe 1/2015
Autoren:
Bijun Ren, Xiao Li
Wichtige Hinweise

## Competing interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

## Authors’ contributions

The authors completed the paper together. They each read and approved the final manuscript.

## Abstract

We prove the following theorem: Let
\begin{aligned}& \biggl(1+\frac{1}{x} \biggr)^{x}=e \Biggl(1- \sum _{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{ (1+x )^{k}} \Biggr)=e \Biggl(1-\sum _{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}}{ (\frac{11}{12}+x )^{k}} \Biggr), \\& \sigma_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m} \frac{b_{k}}{ (1+x )^{k}} \quad\mbox{and}\quad S_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m} \frac{d_{k}}{ (\frac{11}{12}+x )^{k}}. \end{aligned}
(1)
If $$m\geq6$$ is even, we have $$S_{m}(x)>\sigma_{m}(x)$$ for all $$x>0$$.

(2)
If $$m\geq7$$ is odd, we have $$S_{m}(x)>\sigma_{m}(x)$$ for all $$x>1$$.

This provides an intuitive explanation for the main result in Mortici and Hu (On an infinite series for $$(1+ 1/x)^{x}$$, 2014, arXiv:​1406.​7814 [math.CA]).

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Literatur
Über diesen Artikel

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