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Der Spannungszustand in einem Punkt eines Körpers ist durch den Spannungstensor
\(\boldsymbol{\sigma\kern-1.0pt}\) gegeben. Er hat im räumlichen Fall
\(3\times 3\) Komponenten (beachte Symmetrie). Im ebenen Spannungszustand (ESZ) reduziert er sich auf
$$\boldsymbol{\sigma\kern-1.0pt}=\left[\begin{matrix}\sigma_{x}&\tau_{xy}\\ \tau_{yx}&\sigma_{y}\end{matrix}\right]\quad\text{mit}\quad\tau_{xy}=\tau_{yx}\,.$$
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Vorzeichenkonvention: positive Spannungen zeigen an einem positiven (negativen) Schnittufer in positive (negative) Koordinatenrichtungen.
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Transformationsbeziehungen (ESZ):
$$\begin{aligned}\displaystyle\sigma_{\xi}&\displaystyle=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y})+\frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\cos 2\varphi+\tau_{xy}\sin 2\varphi\,,\\ \displaystyle\sigma_{\eta}&\displaystyle=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y})-\frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\cos 2\varphi-\tau_{xy}\sin 2\varphi\,,\\ \displaystyle\tau_{\xi\eta}&\displaystyle=-\frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\sin 2\varphi+\tau_{xy}\cos 2\varphi\,.\end{aligned}$$
Die Achsen
\(\xi\),
\(\eta\) sind zu
\(x\),
\(y\) um den Winkel
\(\varphi\) gedreht.
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Hauptspannungen und -richtungen (ESZ):
$$\begin{aligned}\displaystyle\sigma_{1,2}&\displaystyle=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y})\pm\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+\tau_{xy}^{2}}\,,\\ \displaystyle\tan 2\varphi^{*}&\displaystyle=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_{x}-\sigma_{y}}\quad\rightarrow\quad\varphi_{1}^{*}\,,\ \varphi_{2}^{*}=\varphi_{1}^{*}\pm\pi/2\,.\end{aligned}$$
Hauptspannungen sind extremale Spannungen; in den zugehörigen Schnitten sind die Schubspannungen Null.
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Maximale Schubspannungen und ihre Richtungen (ESZ):
$$\tau_{\mathrm{max}}=\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+\tau_{xy}^{2}}\,,\quad\varphi^{**}=\varphi^{*}\pm\pi/4\,.$$
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Der Mohrsche Kreis erlaubt die geometrische Darstellung der Koordinatentransformation.
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Gleichgewichtsbedingungen für die Spannungen (ESZ):
$$\frac{\partial\sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+f_{x}=0\,,\quad\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{y}}{\partial y}+f_{y}=0\,.$$
Im räumlichen Fall gibt es drei Gleichgewichtsbedingungen.
Der Spannungszustand in einem Punkt eines Körpers ist durch den Spannungstensor
\(\boldsymbol{\sigma\kern-1.0pt}\) gegeben. Er hat im räumlichen Fall
\(3\times 3\) Komponenten (beachte Symmetrie). Im ebenen Spannungszustand (ESZ) reduziert er sich auf
$$\boldsymbol{\sigma\kern-1.0pt}=\left[\begin{matrix}\sigma_{x}&\tau_{xy}\\ \tau_{yx}&\sigma_{y}\end{matrix}\right]\quad\text{mit}\quad\tau_{xy}=\tau_{yx}\,.$$
Vorzeichenkonvention: positive Spannungen zeigen an einem positiven (negativen) Schnittufer in positive (negative) Koordinatenrichtungen.
Transformationsbeziehungen (ESZ):
$$\begin{aligned}\displaystyle\sigma_{\xi}&\displaystyle=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y})+\frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\cos 2\varphi+\tau_{xy}\sin 2\varphi\,,\\ \displaystyle\sigma_{\eta}&\displaystyle=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y})-\frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\cos 2\varphi-\tau_{xy}\sin 2\varphi\,,\\ \displaystyle\tau_{\xi\eta}&\displaystyle=-\frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\sin 2\varphi+\tau_{xy}\cos 2\varphi\,.\end{aligned}$$
Die Achsen
\(\xi\),
\(\eta\) sind zu
\(x\),
\(y\) um den Winkel
\(\varphi\) gedreht.
Hauptspannungen und -richtungen (ESZ):
$$\begin{aligned}\displaystyle\sigma_{1,2}&\displaystyle=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y})\pm\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+\tau_{xy}^{2}}\,,\\ \displaystyle\tan 2\varphi^{*}&\displaystyle=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_{x}-\sigma_{y}}\quad\rightarrow\quad\varphi_{1}^{*}\,,\ \varphi_{2}^{*}=\varphi_{1}^{*}\pm\pi/2\,.\end{aligned}$$
Hauptspannungen sind extremale Spannungen; in den zugehörigen Schnitten sind die Schubspannungen Null.
Maximale Schubspannungen und ihre Richtungen (ESZ):
$$\tau_{\mathrm{max}}=\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+\tau_{xy}^{2}}\,,\quad\varphi^{**}=\varphi^{*}\pm\pi/4\,.$$
Der Mohrsche Kreis erlaubt die geometrische Darstellung der Koordinatentransformation.
Gleichgewichtsbedingungen für die Spannungen (ESZ):
$$\frac{\partial\sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+f_{x}=0\,,\quad\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{y}}{\partial y}+f_{y}=0\,.$$
Im räumlichen Fall gibt es drei Gleichgewichtsbedingungen.
