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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Spektralanalyse und lineare Filter

verfasst von: Klaus Neusser, Martin Wagner

Erschienen in: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Auszug

Bisher wurde eine Zeitreihe (stochastischer Prozess) als eine mit der Zeit indexierte Folge von Zufallsvariablen aufgefasst. Dabei diente die Klasse der ARMA-Prozesse als adäquater Rahmen für die Modellierung stationärer stochastischer Prozesse. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Analyse im Zeitbereich. Es gibt jedoch einen anderen, äquivalenten Zugang. Dieser fasst die Zeitreihe als eine „Summe“ von sich überlagernden Schwingungen auf. Die Analyse dieser Schwingungen wird als Analyse im Frequenzbereich bezeichnet. Für viele Fragestellungen ist die Analyse im Frequenzbereich besser geeignet. Dies trifft insbesondere auf die Analyse und Konstruktion von linearen zeitinvarianten Filtern zu. Diese Filter bilden gewichtete gleitende Durchschnitte einer Ausgangszeitreihe, wodurch eine neue gefilterte Zeitreihe mit veränderten Eigenschaften entsteht. So können z. B. ARMA-Prozesse { X t} als gefilterte White-Noise-Prozesse mit Gewichten ψ j, j = 0, ±1, ±2, …, aufgefasst werden. Dabei wird das Weiße Rauschen { Z t} in einen Prozess X t =  Ψ(L) Z t transformiert. Während das Weiße Rauschen { Z t} kein Gedächtnis besitzt, kann der so transformierte Prozess eine vielfältige Autokorrelationsfunktion aufweisen. Die Funktion \(\psi (z)=\sum _{j=-\infty }^\infty \psi _j z^j\) wird als Filter bezeichnet. …
Fußnoten
1
Da ρ(h) = γ(h)∕γ(0) gilt dies auch für die Autokorrelationsfunktion.
 
2
Dies stellt sicher, dass Integration und unendliche Summation vertauscht werden können.
 
3
Eine Funktion \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) heißt gerade, wenn f(−x) = f(x); sie heißt ungerade, wenn f(−x) = −f(x). Es gilt daher \(\sin {}(-\theta ) = -\sin {}(\theta )\) bzw. \(\cos {}(-\theta ) = \cos {}(\theta )\).
 
4
Das Riemann-Stieltjes-Integral stellt eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar. Für zwei auf [a, b] beschränkte Funktionen f und g ist das Riemann-Stieljtes-Integral \(\int _a^b f(x)\mathrm {d}g(x)\) definiert als \(\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^n f(\xi _i)[g(x_i)-g(x_{i-1})]\), wobei a = x1 < x2 < ⋯ < xn−1 < xn = b ist. Für g(x) = x ergibt sich das Riemann-Integral. Wenn g eine Treppenfunktion mit abzählbar vielen Sprungstellen xi der Höhe hi ist, dann gilt \(\int _a^b f(x)\mathrm {d}g(x) = \sum _i f(x_i)h_i\).
 
5
Eine alternative asymptotisch äquivalente Interpretation besteht darin, die Zerlegung (6.10) als Signalextraktionsproblem im Rahmen eines Zustandsraummodells zu betrachten (siehe das Beispiel „Zerlegung einer Zeitreihe“ in Abschn. 16.​2). In diesem Rahmen konnte von Bell [24] gezeigt werden, dass die Methodik der Signalextraktion im Rahmen der klassischen Wiener-Kolmogorov-Theorie auf nicht-stationäre Prozesse erweitert werden kann.
 
6
Siehe Uhlig und Ravn [267] für eine detaillierte Analyse.
 
7
Siehe Miron [197] für eine Ausnahme.
 
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Metadaten
Titel
Spektralanalyse und lineare Filter
verfasst von
Klaus Neusser
Martin Wagner
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_6

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