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2022 | Buch

Spezielle Relativitätstheorie

Eine Einführung mithilfe des k-Kalküls

verfasst von: Jürgen Kremer

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : essentials

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Über dieses Buch

Das Buch bietet eine Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie mithilfe des k- Kalküls. Dieser Zugang ist sehr elegant und verwendet die auf der Radarmethode basierende geometrische Darstellung der zweidimensionalen Raumzeit aus der Perspektive inertialer Beobachter. Die letzten Kapitel des Buchs behandeln die vierdimensionalen Lorentz-Transformationen und die Äquivalenz von Masse und Energie. Das Buch endet mit einer Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Signalübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit und der Verletzung des Kausalitätsprinzips.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einstimmung: Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und die Relativität der Gleichzeitigkeit
Zusammenfassung
Experimentell gesichert ist die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Diese Tatsache ist die wichtigste Grundlage der Speziellen Relativitätstheorie.
Zur Einstimmung auf die Thematik des Buchs wird anhand eines Beispiels gezeigt, dass zwei Ereignisse von einem Beobachter als gleichzeitig, von einem anderen Beobachter jedoch als nicht gleichzeitig wahrgenommen werden können.
Jürgen Kremer
Kapitel 2. Grundlegende Konzepte
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden einige grundlegende Begriffsbildungen und Konzepte formuliert, die für die Entwicklung der Speziellen Relativitätstheorie notwendig sind und die im Folgenden ständig verwendet werden:
  • Ereignisse,
  • Raumzeit,
  • Beobachter,
  • Bezugssysteme,
  • Inertialsysteme,
  • das Relativitätsprinzip und die
  • Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Jürgen Kremer
Kapitel 3. Die Radarmethode
Zusammenfassung
Albert Einstein erkannte zuerst, dass es nicht offensichtlich ist, in welchen Entfernungen und zu welchen Zeitpunkten beliebige Ereignisse in Raum und Zeit stattfinden, sondern dass zur Quantifizierung dieser Größen eine Messvorschrift festgelegt werden muss.
Beim Zugang von Hermann Bondi zur Relativitätstheorie, der hier beschritten wird, führt jeder Beobachter eine Uhr mit sich, mit der er die Zeitpunkte von Ereignissen in seiner unmittelbaren Umgebung messen kann, und Beobachter können Lichtsignale aussenden und empfangen.
Sei A ein Ereignis und sei \(\mathcal {B}\) ein Beobachter. Wie weit ist A von \(\mathcal {B}\) entfernt?
Die Radarmethode besteht darin anzunehmen, dass \(\mathcal {B}\) zu einem Zeitpunkt \(t_{1}\) ein Lichtsignal zu A sendet, das von dort reflektiert zum Zeitpunkt \(t_{2}\) wieder zu \(\mathcal {B}\) zurückkehrt. Als Zeitpunkt von A wird dann
$$ t=t_{1}+\frac{1}{2}\left( t_{2}-t_{1}\right) =\frac{1}{2}\left( t_{1}+t_{2}\right) $$
definiert, als Abstand von A zu \(\mathcal {B}\) der Wert
$$ x=\frac{1}{2}c\left( t_{2}-t_{1}\right) , $$
wenn c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet.
Jürgen Kremer
Kapitel 4. Relativ zu ruhende Beobachter
Zusammenfassung
Ruhen zwei Beobachter relativ zueinander, dann stimmen ihre Uhrengänge überein und Uhren identischer Bauart, die die Beobachter mit sich führen, lassen sich synchronisieren.
Diese Aussage mag selbstverständlich erscheinen, sie trifft jedoch nicht mehr zu, wenn sich die beiden Beobachter relativ zueinander bewegen.
Jürgen Kremer
Kapitel 5. Relativ zu bewegte Beobachter
Zusammenfassung
Wir betrachten in diesem Kapitel Beobachter, die sich relativ zueinander bewegen. Dann gilt: Zwei Ereignisse, die für einen Beobachter gleichortig sind, die also am selben Ort stattfinden, sind für den anderen Beobachter nicht gleichortig und umgekehrt.
Diese Aussage ist nicht überraschend und bereits aus der klassischen Physik vertraut.
Es gilt aber auch: Zwei Ereignisse, die für den einen Beobachter gleichzeitig sind, die also für diesen Beobachter zum selben Zeitpunkt stattfinden, sind für den anderen Beobachter nicht gleichzeitig und umgekehrt.
Die Eigenschaft zweier Ereignisse gleichzeitig stattzufinden ist also keine universelle Tatsache, sondern hängt vom Bezugssystem ab, von dem aus die Ereignisse beobachtet werden, und wird Relativität der Gleichzeitigkeit genannt.
Jürgen Kremer
Kapitel 6. Der k-Faktor
Zusammenfassung
Wir betrachten zwei relativ zueinander bewegte Beobachter \(\mathcal {B}\) und \(\mathcal {B}'\). Wenn jeweils einer der Beobachter zwei Signale in einem zeitlichen Abstand \(\Delta t\), gemessen mit der Uhr des Senders, zu dem jeweils anderen Beobachter sendet, dann werden die beiden Signale in einem zeitlichen Abstand \(k\Delta t\), gemessen mit der Uhr des Empfängers, empfangen.
Die hier auftretende Konstante k wird k-Faktor genannt und hängt aufgrund des Relativitätsprinzips nur von der Relativgeschwindigkeit von \(\mathcal {B}\) und \(\mathcal {B}'\) ab, nicht aber davon, welcher Beobachter der Sender und welcher der Empfänger ist.
Es gilt also für zwei Signale, die von einem Beobachter zum anderen gesendet werden:
$$ k=\frac{\text {Empfangszeitdifferenz, gemessen mit der Uhr des Empf}\ddot{\textrm{a}}\text {ngers}}{\text {Sendezeitdifferenz, gemessen mit der Uhr des Senders}}.$$
Jürgen Kremer
Kapitel 7. Die Zeitdilatation
Zusammenfassung
Wir nehmen an, dass sich zwei Beobachter \(\mathcal {B}\) und \(\mathcal {B}'\) in einem Ereignis O passieren, in dem sie ihre Uhren auf null stellen.
Ein Ereignis E befinde sich auf der Weltlinie von \(\mathcal {B}'\), und \(\mathcal {B}'\) messe mit seiner Uhr, dass E zum Zeitpunkt \(t'_{E}\) stattfindet. \(\mathcal {B}\) dagegen bestimmt mit der Radarmethode für E den Zeitpunkt \(t_{E}\). Dann folgt die Beziehung
$$ \frac{\text {Zeit von } \mathcal {O} \text { bis } \mathcal {E}, \text {gemessen von } \mathcal {B}}{\text {Zeit von }\mathcal {O} \text { bis }\mathcal {E}\text {, gemessen von } {\mathcal {B}'}}=\frac{t_{E}}{t_{E}'}=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}. $$
Nun gilt \(\gamma \left( v\right) =\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}>1\) für \(v\ne 0\), und daher folgt
$$ t_{E}'<\gamma \left( v\right) t_{E}'=t_{E}. $$
Für \(\mathcal {B}\) geht die bewegte Uhr von \(\mathcal {B}'\) langsamer als seine eigene Uhr. Dies ist der Effekt der Zeitdilatation. Die Zeit, die zwischen zwei Ereignissen vergeht, hängt vom Beobachter ab.
Jürgen Kremer
Kapitel 8. Die Wechselseitigkeit der Zeitdilatation
Zusammenfassung
Wenn sich zwei Beobachter \(\mathcal {B}\) und \(\mathcal {B}'\) relativ zueinander bewegen, dann misst jeder die Gang der Uhr des anderen relativ zu seiner eigenen Uhr verlangsamt. Dies ist zwar im Einklang mit dem Relativitätsprinzip, scheint aber dennoch widersprüchlich und mit der Logik nicht vereinbar zu sein.
In diesem Kapitel wird die Wechselseitigkeit der Zeitdilatation mithilfe einer von N. Dragon erdachten Veranschaulichung gezeigt.
Jürgen Kremer
Kapitel 9. Das Zwillingsparadoxon
Zusammenfassung
Eine der aufsehenerregendsten Konsequenzen der Speziellen Relativitätstheorie ist das sogenannte Zwillingsparadoxon. Die Geschichte geht so, dass auf der Erde Zwillinge leben, die sich zu einem Zeitpunkt voneinander verabschieden. Der eine bricht zu einer Weltraumfahrt auf, während der andere auf der Erde zurückbleibt. Nach Jahren kehrt der Astronaut zur Erde zurück und beim Wiedersehen stellen beide fest, dass der Raumfahrer weniger stark gealtert ist, als sein auf der Erde verbliebener Bruder.
Das Zwillingsparadoxon wird im vorliegenden Kapitel erklärt.
Jürgen Kremer
Kapitel 10. Die Lorentz-Transformation
Zusammenfassung
Wir untersuchen hier, wie die Koordinatensysteme, die zwei relativ zueinander bewegte inertiale Beobachter \(\mathcal {B}\) und \(\mathcal {B}'\) definieren, miteinander zusammenhängen. Für ein gegebenes Ereignis E bestimmen \(\mathcal {B}\) und \(\mathcal {B}'\) jeweils inertiale Koordinaten \(t,\,x\) und \(t',\,x'\). Wir werden im vorliegenden Kapitel ableiten, wie mithilfe gegebener Koordinaten \(t',\,x'\) die Koordinaten \(t,\,x\) berechnet werden können und umgekehrt.
Jürgen Kremer
Kapitel 11. Die Längenkontraktion
Zusammenfassung
Relativ zueinander bewegte Beobachter ordnen zeitlichen Vorgängen nicht nur verschiedene Zeitspannen zu, sie erhalten auch für den Abstand räumlich entfernter Ereignisse verschiedene Ergebnisse. So erscheinen bewegte Objekte in Bewegungsrichtung verkürzt, was Längenkontraktion genannt wird. In diesem Kapitel werden verschiedene Methoden zur Berechnung der Längenkontraktion vorgestellt.
Jürgen Kremer
Kapitel 12. Die Wechselseitigkeit der Längenkontraktion
Zusammenfassung
So wie die Zeitdilatation ist auch die Längenkontraktion ein wechselseitiger Effekt. In diesem Kapitel wird die Wechselseitigkeit der Längenkontraktion mithilfe einer von N. Dragon erdachten Veranschaulichung gezeigt.
Jürgen Kremer
Kapitel 13. Die Additionsformel für Geschwindigkeiten
Zusammenfassung
Im ersten Kapitel des Buches wurde das Beispiel eines im Speisewagen eines fahrenden Zuges sitzenden Passagiers angegeben, der auf seinem Tisch eine Kugel in Bewegungsrichtung des Zuges rollen lässt. Ein weiterer Beobachter, der diesen Zug vorüberfahren sieht, misst eine höhere Geschwindigkeit der Kugel als der Beobachter im Speisewagen. Aber welchen Wert hat diese Geschwindigkeit? Die Antwort der klassischen Physik lautet: Geschwindigkeit der Kugel relativ zum Speisewagen plus Geschwindigkeit des Zuges relativ zum Bahnsteig. Dies würde jedoch Relativbewegungen mit Überlichtgeschwindigkeit zulassen, denn wird für beide Geschwindigkeiten 3/4 der Lichtgeschwindigkeit angenommen, dann ergäbe sich als Geschwindigkeit der Kugel relativ zum Bahnsteig das 1, 5-fache der Lichtgeschwindigkeit. In diesem Kapitel wird besprochen, wie sich Geschwindigkeiten unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie addieren.
Jürgen Kremer
Kapitel 14. Die vierdimensionalen Lorentz-Transformationen
Zusammenfassung
Ab diesem Kapitel werden Bewegungen durch den Raum zugelassen. Die betrachteten Beobachter sind weiterhin inertial und bewegen sich daher geradlinig und rotationsfrei mit konstanter Geschwindigkeit, aber sie müssen sich nicht mehr entlang derselben Geraden bewegen. Um die Koordinaten von Ereignissen, die sich irgendwo im Raum ereignen, zu definieren, benötigt ein Beobachter zusätzlich zu einer Uhr eine Vorrichtung, mit der er die Richtung bestimmen kann, aus der Lichtsignale eintreffen. Dann kann er einem Ereignis Polarkoordinaten zuweisen: Der Abstand r von seinem Ort und die Zeit des Ereignisses werden mithilfe der Radar-Methode definiert. Die beiden polaren Winkelkoordinaten \(\theta \) und \(\varphi \) sind durch die Richtung des zurückkehrenden Lichtsignals bestimmt. Der Beobachter gewinnt die kartesischen Koordinaten x, y, z des Ereignisses mithilfe der Standard-Transformationen
$$ x=r\sin \theta \cos \varphi ,\,\,\,\,\,\,y=r\sin \theta \sin \varphi ,\,\,\,\,\,\,z=r\cos \theta . $$
Das Ergebnis ist ein inertiales Bezugssystem oder ein Inertialsystem t, x, y, z für die Raumzeit, in dem die Weltlinie des Beobachters durch die Koordinaten \(x=y=z=0\) gegeben ist.
Jürgen Kremer
Kapitel 15. Eigenzeit und Vierergeschwindigkeit
Zusammenfassung
Wir betrachten die Weltlinie eines nicht-beschleunigten Teilchens, die als Gerade in der Raumzeit veranschaulicht werden kann. Die Ereignisse auf dieser Weltlinie lassen sich durch die Zeit \(\tau \) charakterisieren, die eine Uhr anzeigt, die vom Teilchen mitgeführt und Eigenzeit genannt wird. Diese Zeit \(\tau \) kann verwendet werden, um die Weltlinie zu parametrisieren.
Wird die Weltlinie eines Teilchens mithilfe der Eigenzeit \(\tau \) parametrisiert, dann definiert die Ableitung der Parametrisierung bezüglich \(\tau \) die Vierergeschwindigkeit des Teilchens.
Jürgen Kremer
Kapitel 16. Die Äquivalenz von Masse und Energie
Zusammenfassung
Jedes an einem Stoßprozess beteiligte Teilchen besitzt eine Ruhemasse m und eine Vierergeschwindigkeit V. Der Vierervektor \(P=mV\) wird der Viererimpuls des Teilchens genannt. Er hat die zeitlichen und räumlichen Anteile
$$ P=\left( m\gamma \left( v\right) c,\,m\gamma \left( v\right) \boldsymbol{v}\right) , $$
wenn \(\boldsymbol{v}\) die Geschwindigkeit des Teilchens bezeichnet. Die klassischen Erhaltungssätze für Masse und Impuls werden im Rahmen der Relativitätstheorie durch die Erhaltung des Viererimpulses ersetzt. Die mit der Lichtgeschwindigkeit multiplizierte erste Komponente des Viererimpulses,
$$ E=cP^{0}=m\gamma \left( v\right) c^{2}, $$
wird die Gesamtenergie des Teilchens relativ zum betrachteten Inertialsystem genannt und mit E bezeichnet. Für \(v=0\) ergibt sich die berühmte Formel für die Ruheenergie eines Teilchens,
$$ E=mc^{2}. $$
Jürgen Kremer
Kapitel 17. Überlichtgeschwindigkeit und Kausalität
Zusammenfassung
Wäre es möglich, Signale mit Überlichtgeschwindigkeit zu übertragen, dann wäre es auch möglich, dass ein Beobachter Signale in die Vergangenheit senden und damit eine Verletzung des Kausalitätsprinzips verursachen kann. Dies wird anhand eines Beispiels demonstriert.
Wird das Kausalitätsprinzip als fundamentale Gesetzmäßigkeit der Natur betrachtet, dann folgt daraus, dass die Lichtgeschwindigkeit eine Grenzgeschwindigkeit für die Signalübertragung ist.
Jürgen Kremer
Backmatter
Metadaten
Titel
Spezielle Relativitätstheorie
verfasst von
Jürgen Kremer
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65926-7
Print ISBN
978-3-662-65925-0
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65926-7

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