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Über dieses Buch

Das Werk beschreibt erstmalig in einer geschlossenen Form eine Simulationsmethode zur schnellen Berechnung von Kontakteigenschaften und Reibung zwischen rauen Oberflächen.

Im Unterschied zu bestehenden Simulationsverfahren basiert die Methode der Dimensionsreduktion (MDR) auf einer exakten Abbildung verschiedener Klassen von dreidimensionalen Kontaktproblemen auf Kontakte mit eindimensionalen Bettungen. Innerhalb der MDR wird jedoch nicht nur die Dimension von drei auf eins reduziert, sondern gleichermaßen sind voneinander unabhängige Freiheitsgrade gegeben. Die MDR beinhaltet daher eine enorme Reduktion sowohl der Entwicklungszeit für die numerische Implementierung von Kontaktproblemen als auch der direkten Rechenzeit und kann letztlich in der Tribologie eine ähnliche Rolle einnehmen wie FEM in der Strukturmechanik oder bekannte CFD-Löser in der Hydrodynamik. Darüber hinaus erleichtert sie in hohem Maße analytische Berechnungen und bietet eine Art “Taschenausgabe” der gesamten Kontaktmechanik.
Messungen der Rheologie der kontaktierenden Körper sowie ihrer Oberflächentopographie und Adhäsionseigenschaften finden unmittelbaren Eingang in die Berechnung. Insbesondere ist es möglich, die gesamte Dynamik des Systems – beginnend mit der makroskopischen Systemdynamik über die makroskopische, dynamische Kontaktberechnung bis hin zum Einfluss der Rauheit – in einem numerischen Simulationsmodell zu erfassen. Die MDR erlaubt demnach die Vereinigung der charakteristischen Abläufe verschiedener Skalen.

Zielsetzung des Buches ist es, einerseits die Berechtigung und Zuverlässigkeit der Methode zu belegen, andererseits ihre äußerst einfache Handhabung interessierten Praktikern zu erklären.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Einführung

Zusammenfussung
Das Ziel des Buches ist die Beschreibung der Methode der Dimensionsreduktion in der Kontaktmechanik und Reibung. Kontakte zwischen dreidimensionalen Körpern treten in verschiedensten technischen Anwendungen auf. Ihre analytische und numerische Simulation ist daher von großer Bedeutung. Aus mathematischer Sicht werden Kontakte durch Integralgleichungen mit gemischten Randbedingungen beschrieben, wobei im Allgemeinen weder die Spannungsverteilung noch die Verschiebungen der Oberfläche oder die Form des Kontaktgebietes bekannt sind [1]. Umso erstaunlicher ist es, dass sich eine große Zahl von klassischen Kontaktproblemen auf eindimensionale Modelle von Kontakten mit einer passend definierten, linearen Winklerschen Bettung abbilden lässt! Damit meinen wir, dass die Ergebnisse des eindimensionalen Modells mit denen des dreidimensionalen Originals exakt übereinstimmen. Nach dieser Abbildung werden die Lösungen kontaktmechanischer Probleme solchermaßen trivialisiert, dass zu ihrer Durchführung keine speziellen Kenntnisse erforderlich sind außer Grundkenntnissen der Algebra und der Analysis.
Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 2. Separation der elastischen und der Trägheitseigenschaften in drei-dimensionalen Systemen

Zusammenfassung
Bei einer breiten Klasse von „typischen tribologischen Systemen“ gibt es eine Reihe von Eigenschaften, die eine wesentliche Vereinfachung des Kontaktproblems ermöglichen und auf diese Weise eine schnelle Berechnung von mehrskaligen Systemen gestatten.
Valentin L. Popov, Markus Heß

Kapitel 3. Normalkontaktprobleme mit rotationssymmetrischen Körpern ohne Adhäsion

Zusammenfassung
Die Methode der Dimensionsreduktion basiert auf der Beobachtung, dass bestimmte Klassen von dreidimensionalen Kontakten exakt auf Kontakte mit einer eindimensionalen Winklerschen Bettung abgebildet werden können.
Valentin L. Popov, Markus Heß

Kapitel 4. Normalkontakt mit Adhäsion

Zusammenfassung
Die Miniaturisierung von Bauteilen und die Herstellung immer glatterer Oberflächen kennzeichnen den bis heute andauernden Fortschritt in der Mikro- und Nanosystemtechnik. Zweifelsohne müssen auf diesen Gebieten bzw. den damit verbundenen Längenskalen Adhäsionskräfte zur Lösung von Kontaktaufgaben zwingend berücksichtigt werden. Adhäsion ist aber auch für solche Kontakte von Bedeutung, bei denen einer der Kontaktpartner aus sehr weichem Material besteht.
Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 5. Tangentialkontakt

Zusammenfassung
Die Grundeigenschaft, welche die Reduktion von dreidimensionalen Systemen auf eindimensionale ermöglicht, ist die Proportionalität der inkrementellen Steifigkeit zum Durchmesser des Kontaktgebietes. Diese Eigenschaft ist sowohl für Normalkontakte als auch für Tangentialkontakte gegeben. Die Ideen der Dimensionsreduktion können daher auch auf Tangentialkontakte unmittelbar übertragen werden.
Valentin L. Popov, Markus Heß

Kapitel 6. Rollkontakt

Zusammenfassung
Rollkontakte finden sich in einer Vielzahl von technischen Anwendungen, wie beispielsweise in Rad-Schiene- und Reifen-Straße-Kontakten, Wälzlagern, Zahnrädern und diversen Beförderungsmechanismen. In diesem Kapitel wird gezeigt, dass sich auch der tangential belastete, dreidimensionale Rollkontakt auf ein eindimensionales Ersatzsystem abbilden lässt. Die Dimensionsreduktionsmethode ermöglicht auf diese Weise die Beschreibung und Untersuchung komplexerer Probleme wie das des oszillierenden Rollkontaktes.
Robbin Wetter, Valentin L. Popov, Markus Heß

Kapitel 7. Kontakt mit Elastomeren

Zusammenfassung
Gummi und andere Elastomere spielen eine wichtige Rolle in vielen tribologischen Anwendungen. Sie werden dort eingesetzt, wo große Haft- oder Reibkräfte oder große Deformierbarkeit gefordert werden. Insbesondere finden sie Verwendung als Material für Reifen, Beförderungsrollen, Schuhe, Dichtungen, Gummibänder, in elektronischen Geräten (z. B. für Kontakte in Tastaturen) sowie in Haftvorrichtungen. Verglichen mit rein elastischen Kontakten, wird die Berechnung von Kontakten mit Elastomeren dadurch erschwert, dass diese Stoffe ein zeitlich abhängiges Verhalten aufweisen, welches in aller Regel auch durch ein breites Spektrum von Relaxationszeiten charakterisiert wird.
Silvio Kürschner, Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 8. Wärmeleitung und Wärmeerzeugung

Zusammenfussung
Die Wärmeleitfähigkeit ist bei der Dimensionierung von Kühlkörpern für Halbleiter oder andere Elemente in elektronischen Schaltungen die maßgebliche Kenngröße.
Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 9. Adhäsion mit Elastomeren

Zusammenfassung
Die Anwendung der Methode der Dimensionsreduktion auf adhäsive Kontakte zwischen elastischen Körpern wird durch die Regel von Heß (Gl. (4.1)) gegeben. Diese Regel kann aber nicht ohne weiteres auf Kontakte mit viskoelastischen Körpern verallgemeinert werden. Das sieht man bereits daran, dass das „Abreiß-Kriterium“ von Heß den Elastizitätsmodul enthält. Der effektive Elastizitätsmodul von Elastomeren hängt aber von der Deformationsgeschwindigkeit bzw.
Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 10. Normalkontakt mit rauen Oberflächen

Zusammenfassung
Zusätzlich zu den geometrisch streng definierten Fällen, die in Kap. 3 mit der Reduktionsmethode abgebildet wurden, möchten wir uns nun der Frage widmen, ob auch raue Oberflächen in einem reduzierten Modell dargestellt werden können.
Roman Pohrt, Valentin L. Popov, Markus Heß

Kapitel 11. Reibungskraft

Zusammenfassung
Die Reibungskraft kann man auf zweierlei Weise bestimmen – entweder durch eine direkte Berechnung der tangentialen Kraftkomponenten und deren Mittelung oder durch Berechnung der Energieverluste, die durch Materialdeformation verursacht werden.
Valentin L. Popov, Silvio Kürschner, Markus Heß

Chapter 12. Reibungsdämpfung

Zusammenfassung
Reibung ist ein dissipativer Prozess, bei dem mechanische Energie verloren geht. Dies kann sowohl unerwünscht sein als auch gezielt genutzt werden. Insbesondere führen die kleinen Schlupf-Verschiebungen bei periodischen Anregungen zur Eigendämpfung von Strukturen mit reibschlüssigen Verbindungen, wie z. B. bei Blattfedern, die vor allem im Nutzfahrzeugbau und bei Güterwagen eingesetzt werden.
Elena Teidelt, Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 13. Kopplung an eine makroskopische Dynamik

Zusammenfassung
In der praktischen Anwendung werden häufig mechanische Modelle behandelt, in welchen makroskopische Reibkontakte vorkommen. Das übliche Verfahren zur Beschreibung der Reibkontakte ist die Formulierung eines passenden Reibgesetzes, welches anschließend in den makroskopischen systemdynamischen Simulationen eingesetzt wird. Oftmals ist es aber schwierig, ein brauchbares Reibgesetz zu formulieren, denn die Reibkraft ist nicht nur eine Funktion des momentanen Bewegungszustandes des Systems, sondern hängt im Allgemeinen auch von der Vorgeschichte der Bewegung ab.
Elena Teidelt, Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 14. Akustische Emission beim Rollen

Zusammenfassung
Tribologische Oberflächen haben Rauheit mit Wellenlängen, die sich von der Größe des Systems bis hin zur Nanometerskala erstrecken. Beim Gleiten oder Abrollen erzeugt diese Rauheit Beschleunigungen, die als akustische Emission wahrgenommen oder gemessen werden können.
Mikhail Popov, Justus Benad, Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 15. Kopplung an Mikroskala

Zusammenfassung
Die Anwendbarkeit der Methode der Dimensionsreduktion ist natürlich auf die räumlichen Skalen beschränkt, auf denen Kontinuumsmechanik benutzt werden kann. Jede konkrete Anwendung der Methode wird sogar noch früher versagen, durch die endliche räumliche Auflösung der Oberflächentopographie. Es stellt sich die Frage, ob man die Wechselwirkungen auf noch kleineren Skalen zu einem mikroskopischen „Kontaktgesetz“ oder „Reibgesetz“ zusammenfassen kann, so dass auch die Eigenschaften der kleinstmöglichen Skalen in die Simulation einfließen. Eine geschlossene Methode entsteht erst dann, wenn sie sowohl die Kopplung an die Makroskala als auch an die Mikroskala gestattet. In diesem Kapitel erläutern wir am Beispiel von Normalkontakt-Aufgaben, wie die Beschränkung der endlichen räumlichen Auflösung durch die Einführung der „mikroskopischen“ nichtlinearen Steifigkeit behoben werden kann.
Valentin L. Popov, Roman Pohrt, Markus Heß

Chapter 16. Was weiter?

Zusammenfassung
Der größte Wert der Methode der Dimensionsreduktion besteht darin, dass sie ein praktisches Werkzeug für viele ingenieurwissenschaftliche Anwendungen bietet. In einigen Anwendungen, wie etwa die Kontaktmechanik von axialsymmetrischen Körpern, liefert sie exakte Ergebnisse. In diesem Bereich fasst sie nicht nur eine Vielzahl von exakten dreidimensionalen Lösungen in einer einfachen und kompakten Weise zusammen, sondern zeichnet sich gleichzeitig durch eine äußerst einfache numerische Implementierung aus. Letzteres gilt genauso in anderen Bereichen, wie etwa die Kontaktmechanik von zufällig rauen Oberflächen. Hier liefert die Methode asymptotisch (für sehr kleine und sehr große Kräfte) exakte Ergebnisse. In dem Übergangsbereich sind die Ergebnisse zwar nicht exakt, aber dennoch eine sehr gute Näherung, deren Genauigkeit die Genauigkeit der üblicherweise auf diesem Gebiet zur Verfügung stehenden Material- und Oberflächenparameter übertrifft. In diesem Kapitel möchten wir einige Ideen diskutieren, die ebenfalls nur mit „ingenieurwissenschaftlicher Genauigkeit“ gelten, aber die Möglichkeiten der Methode erweitern und ihre Anwendung noch weiter vereinfachen könnten. An keiner Stelle in diesem Kapitel wird der Anspruch auf die Wahrheit in letzter Instanz erhoben. Vielmehr sind wir bestrebt, die Gebiete, die zurzeit einer Simulation völlig unzugänglich sind, einer Simulation in guter Näherung zugänglich zu machen.
Valentin L. Popov, Markus Heß

Kapitel 17. Anlage 1: Exakte Lösungen in drei Dimensionen für den Normalkontakt rotationssymmetrischer Körper

Abstract
In diesem Kapitel werden sämtliche Beweise aufgezeigt, die eine exakte Abbildung von reibungsfreien, axial-symmetrischen Kontaktproblemen mit und ohne Adhäsion auf eindimensionale Kontakte erlauben. Ausgangspunkt bildet die dreidimensionale Theorie zur Berechnung axial-symmetrischer Kontakte, die wir schrittweise derart verändern, dass ihre eindimensionalen Eigenschaften deutlich werden. Es seien Kontakte mit einfach zusammenhängender und damit kreisförmiger Kontaktfläche vorausgesetzt.
Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 18. Anlage 2: Exakte Lösungen in drei Dimensionen für den Tangentialkontakt rotationssymmetrischer Körper

Zusammenfassung
Der Nachweis für die exakte Abbildung des Tangentialkontaktes rotationssymmetrischer Körper erfordert lediglich die Kenntnis eines auf Jäger zurückgehenden Überlagerungsprinzips. Bevor wir näher darauf eingehen, seien zunächst die üblichen Einschränkungen erwähnt. Danach soll sowohl der Einfluss der Tangentialspannungen auf die Normalverschiebungen als auch der Einfluss der Normalspannungen auf die Tangentialverschiebungen der Oberfläche vernachlässigt werden. Es ist wohlbekannt, dass eine solche Entkopplung des Kontaktproblems nur dann zulässig ist, wenn für die zweite Dundursche Konstante β D gilt:
Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 19. Anlage 3: Ersetzung der Materialeigenschaften mit Radoks Methode der Funktionalgleichungen

Zusammenfassung
In Kap. 7 wurde gezeigt, wie die Reduktionsmethode auf Kontaktprobleme mit Elastomeren angewandt werden kann. Eine wichtige Rolle nimmt dabei Radoks Prinzip der Funktionalgleichungen ein. Dieses sieht vor, zunächst ein vergleichbares elastisches Problem zu lösen und diese Lösung durch Austausch der Materialparameter auf das ursprüngliche Problem zu übertragen. Diese Vorgehensweise ist möglich, da im Rahmen der linearen Theorie die geometrischen, materialspezifischen und belastungsspezifischen Einflüsse bis zu einem gewissen Grad entkoppelt werden können.
Silvio Kürschner, Valentin L. Popov, Markus Heß

Chapter 20. Anlage 4: Bestimmung des 2D Leistungsspektrums aus 1D Scans

Zusammenfassung
Leistungsspektra von rauen Oberflächen sind notwendige “Eingangsgrößen” zur Berechnung von Kontakt- oder Reibeigenschaften. Das Leistungsspektrum einer zufällig rauen Oberfläche kann durch Fourier-Transformation einer gemessenen zweidimensionalen Oberflächentopographie ermittelt werden. Die experimentelle Bestimmung der gesamten Oberflächentopographie, z. B. mit Hilfe eines Atomkraftmikroskops, kann jedoch viel Zeit in Anspruch nehmen.
Valentin L. Popov, Markus Heß

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