Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

In diesem Kapitel sollen zunächst einfache Begriffe der Gruppentheorie eingeführt und anhand elementarer sowie physikalisch besonders relevanter Beispiele illustriert werden.

Darstellungen sind Realisierungen von Gruppen in Form bijektiver, linearer Operatoren auf \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen, wobei wir uns hier als Körper auf die reellen Zahlen, \({\mathbb{K}}={\mathbb{R}}\), oder die komplexen Zahlen, \({\mathbb{K}}={\mathbb{C}}\), beschränken. Darstellungen sind insbesondere in der Quantenphysik von zentraler Bedeutung, wo physikalische Zustände durch Elemente eines Hilbert-Raumes beschrieben werden. Symmetrien werden bei der Klassifikation der möglichen Zustände eine tragende Rolle spielen. In diesem Kapitel widmen wir uns einer Einführung in die Darstellungstheorie, wobei wir uns zumeist auf endliche Gruppen konzentrieren werden. Zentrale Aussagen lassen sich auch auf kompakte Lie-Gruppen anwenden, die allerdings erst im nächsten Kapitel diskutiert werden.

Die zentralen Aussagen des vorigen Kapitels zur Darstellungstheorie haben sich in der Regel auf endliche Gruppen beschränkt. In diesem Kapitel werden wir uns mit kontinuierlichen Gruppen beschäftigen und das Konzept der Lie-Gruppe kennenlernen. Mithilfe des Verfahrens der invarianten Integration werden wir sehen, dass zahlreiche Ergebnisse zu den endlichdimensionalen Darstellungen im Falle kompakter Lie-Gruppen weiterhin Gültigkeit besitzen. Als Nächstes gehen wir auf den Begriff der Lie-Algebra ein. Schließlich werden wir einige wichtige Resultate zur Verbindung zwischen Lie-Algebren und Lie-Gruppen zusammenstellen.

In Abschn. 3.4 haben wir zentrale Aussagen über den Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren zusammengestellt. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nun mit zwei kompakten Lie-Gruppen, die insbesondere im mikroskopischen Bereich von zentraler Bedeutung sind, nämlich den Gruppen SO(3) und SU(2). Wir diskutieren die Vertauschungsrelationen der Lie-Algebra so(3) und wenden uns anschließend den irreduziblen Darstellungen der Gruppen SO(3) und SU(2) sowie der Clebsch-Gordan-Zerlegung des inneren Tensorprodukts zu. Im Zusammenhang mit der Kopplung von Drehimpulsen lernen wir die Clebsch-Gordan-Koeffizienten kennen. Eine effiziente Berechnung von Matrixelementen wird durch das Wigner-Eckart-Theorem ermöglicht.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Darstellungstheorie der Gruppe SU(N). Wir diskutieren zunächst einige empirische Hinweise auf eine Substruktur der Hadronen und tragen vorläufige Erläuterungen zum Thema Quarks und Gluonen stichwortigartig zusammen Nach einer Reihe mathematischer Vorbemerkungen betrachten wir die Gruppe SU(2) mit Blick auf den Spin und den Isospin leichter Baryonen. Schließlich behandeln wir im Anschluss an eine ausführliche Diskussion der Gruppe SU(3) die Kopplung von SU(N)-Multipletts mithilfe von Young-Diagrammen.

Im verbleibenden Teil des Buches werden wir uns mit relativistischen Quantenfeldtheorien beschäftigen. In ihnen werden die Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie und der Quantentheorie miteinander verknüpft. In diesem Kapitel wird unser Hauptaugenmerk auf der Signifikanz von Gruppen bzw. Symmetrien für die Konstruktion relativistischer Theorien liegen. Als Ausgangspunkt dient das Hamilton’sche Prinzip einer extremalen Wirkung. Im Kontext einer Symmetriediskussion ist die Formulierung einer Theorie oder eines Modells mithilfe des Lagrange-Formalismus besonders geeignet. Anderseits liefert die Hamilton-Formulierung in Kombination mit der kanonischen Quantisierung einen direkten Zugang zur Quantisierung der Theorie. Das Noether-Theorem spielt insofern eine zentrale Rolle, als es eine Verbindung zwischen kontinuierlichen Symmetrien eines dynamischen Systems und Erhaltungsgrößen (Konstanten der Bewegung) herstellt. Insbesondere werden wir einen Zusammenhang zwischen sog. Ladungsoperatoren der quantisierten Theorie und der Lie-Algebra der zugrunde liegenden Symmetriegruppe identifizieren.

Zum gegenwärtigen Zeitpunkt (2015) stellt das Eichprinzip die erfolgreichste Methode dar, Wechselwirkungen zwischen den Elementarteilchen auf dem submikroskopischen Niveau zu erklären. Das Eichprinzip basiert auf der Forderung nach Invarianz der Lagrange-Dichte bzgl. lokaler Eichtransformationen. Zu diesem Zweck werden zusätzliche Eichfelder eingeführt, deren Feldquanten die Wechselwirkungen zwischen den Elementarteilchen über den Austausch sog. intermediärer Bosonen entstehen lassen. Das bekannteste Beispiel einer Eichtheorie ist die Quantenelektrodynamik, die auf der abelschen Gruppe U(1) basiert. Für den Fall einer abelschen Gruppe besitzen die Eichfelder keine Selbstwechselwirkungen. Nicht-abelsche Theorien (z. B. die Quantenchromodynamik) werden als Yang-Mills-Theorien bezeichnet und beinhalten über die Wechselwirkung der Eichfelder mit den Materiefeldern hinaus auch direkte Wechselwirkungen der Eichfelder untereinander.

Bisher haben wir uns auf eine Diskussion globaler und lokaler Symmetrien von Lagrange-Dichten bzw. Hamilton-Operatoren beschränkt. Quantenfeldtheorien auf dem Minkowski-Raum sind Systeme mit einer (überabzählbar) unendlichen Anzahl von Freiheitsgraden. Solche Systeme können interessante, neuartige Phänomene hervorbringen, mit denen wir uns im Folgenden auseinandersetzen werden. Ganz konkret geht es um das Konzept der spontanen Symmetriebrechung: Eine (kontinuierliche) Symmetrie heißt spontan gebrochen oder verborgen, wenn der Grundzustand des Systems nicht invariant unter der vollen Symmetriegruppe des Hamilton-Operators ist. In diesem Zusammenhang werden uns deshalb zwei Arten von Symmetriegruppen beschäftigen: einerseits die Symmetriegruppe der Lagrange-Dichte und anderseits die Symmetriegruppe des Grundzustands. Im Folgenden tasten wir uns schrittweise an die Konsequenzen einer spontanen Symmetriebrechung heran. Wir starten mit der Diskussion einer disktreten Symmetrie und wenden uns dann einer spontan gebrochenen, kontinuierlichen Symmetrie zu. Wir diskutieren das Goldstone-Theorem sowohl in einer Lagrange’schen Formulierung als auch anhand eines abstrakten Beispiels, das die Rolle von nichtverschwindenden Vakuumerwartungswerten betont. Wir werden Hinweise für eine spontane Brechung der chiralen Symmetrie in der Quantenchromodynamik (QCD) diskutieren und einen Einblick erhalten, wie eine effektive Feldtheorie für die Goldstone-Bosonen der QCD konstruiert wird. Schließlich wenden wir uns dem Higgs-Mechanismus zu und treffen somit die notwendigen Vorbereitungen für die Formulierung des Standardmodells im nächsten Kapitel.

Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik vereint die elektromagnetischen, schwachen und starken Kräfte im Rahmen einer konsistenten Quantenfeldtheorie. In diesem abschließenden Kapitel wollen wir aus gruppentheoretischer Sicht alle Fäden zusammenführen und mit ihrer Hilfe die Struktur des Standardmodells erläutern.