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Erschienen in:
2020 | OriginalPaper | Buchkapitel
25. Stabilitätsprobleme
verfasst von : Prof. Dr.-Ing. Joachim Villwock, Dr.-Ing. Andreas Hanau
Erschienen in: Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Schlanke Stäbe oder Stabsysteme gehen unter Druckbeanspruchung bei Erreichen der kritischen Spannung oder Last aus der nicht ausgebogenen (instabilen) Gleichgewichtslage in eine benachbarte gebogene (stabile) Lage über. Weicht der Stab in Richtung einer Symmetrieachse aus, so liegt (Biege‑)knicken vor, andernfalls handelt es sich um Biegedrillknicken (s. Abschn. 25.1.6).
Betrachtet man die verformte Gleichgewichtslage des Stabs nach Abb. 25.1, so lautet die Differentialgleichung für Knickung um die Querschnittshauptachse y (mit \(I_{y}\) als kleinerem Flächenmoment 2. Grades) im Fall kleiner Auslenkungen und der Lösung
$$\begin{aligned} & EI_{y}w^{\prime\prime}(x)=-M_\mathrm{b}(x)=-Fw(x)\quad\text{bzw.}\\ & w^{\prime\prime} (x)+\alpha^2w(x)=0\quad\text{mit}\quad\alpha=\sqrt{\frac{F}{EI_{y}}}\end{aligned}$$
(25.1)
$$w(x)=C_1\sin\:\alpha x+C_2\cos \alpha x\:.$$
(25.2)
Aus den Randbedingungen \(w(x=0)=0\) und \(w(x=l)=0\) folgen \(C_2=0\) und \(\sin\:\alpha l=0\) (Eigenwertgleichung) mit den Eigenwerten \(\alpha_\mathrm{K}=n\uppi/ \ell\); \(n=1,\: 2,\: 3,\: \ldots\: \). Somit ist nach den Gln. (25.1) und (25.2)
$$\begin{gathered}F_\mathrm{K}=\alpha^2_\mathrm{K}EI_{y}=\frac{n^2\uppi^2EI_{y}}{l^2}\:,\\ w(x)=C_1\,\sin\left(\frac{n\uppi x}{l}\right)\:.\end{gathered}$$
(25.3)
$$\left( {I_y = I_{\min}}\right)$$