Starthilfe Finanzmathematik

In diesem Kapitel werden die im Buch vorkommenden Bezeichnungen und grundlegenden Formeln übersichtlich zusammengestellt.

Der Finanzmathematik liegen – wie fast allen Teilgebieten der Mathematik – eine Reihe von Formeln zugrunde. Wer aber glaubt, jeweils nur die richtige Formel zur Lösung eines Problems herausfinden zu müssen und dann die gegebenen Größen dort einzusetzen, der befindet sich im Irrtum. Aufgrund der Vielfalt und zahlreichen Besonderheiten praktischer Problemstellungen müssen die für „Standardsituationen“ geltenden Grundformeln angepasst, kombiniert und in aller Regel umgeformt, d. h., nach einer der vorkommenden Größen aufgelöst werden, sofern dies überhaupt möglich ist. Anderenfalls müssen numerische Verfahren zur Ermittlung von Lösungen eingesetzt werden.

Wird ein Kapital über weniger als eine Zinsperiode angelegt, ist es naheliegend, die Zinsen anteilig zu berechnen, was der linearen Verzinsung entspricht, wenngleich dies nicht die einzige mögliche Art der Verzinsung darstellt. Der Wert eines verzinslich angelegten Kapitals unter Einbeziehung der aufgelaufenen Zinsen wird als Zeitwert bezeichnet. Dieser ist vom Zeitpunkt abhängig, zu dem er betrachtet wird. Eine besondere Rolle der dem Zeitpunkt t = 0 („heute“) entsprechende Wert, der Barwert. Durch Anwendung der linearen Verzinsung lassen sich auch regelmäßige unterjährige, speziell monatliche Einzahlungen auf eine zum Periodenende fällige Einmalzahlung umrechnen. Letztere wird Jahresersatzrate genannt und spielt in der Renten- und Tilgungsrechnung bei der Anpassung von monatlichen Zahlungen an eine jährliche Verzinsung eine große Rolle. Obwohl man meinen könnte, dass die Bestimmung der Länge des Anlagezeitraums eine eindeutige Angelegenheit sei, ist dies nicht so, denn es gibt mehrere in der Praxis gängige Methoden zur Berechnung des entsprechenden Anteils an der Zinsperiode.

Von Interesse sind Formeln für den Zeitwert eines Kapitals, speziell für den End- und den Barwert. Kompliziertere Situationen entstehen, wenn teilweise linear, teilweise geometrisch verzinst wird (= gemischte Verzinsung) oder wenn in aufeinander folgenden Perioden unterschiedliche Zinssätze vereinbart werden. Bei der sogenannten unterjährigen Verzinsung tritt ebenfalls ein Zinseszinseffekt ein. Nach Grenzübergang ergibt sich die stetige Verzinsung, ein sehr interessantes Modell. Die Modellierung komplexer Situationen sowie die Berechnung von Effektivzinssätzen bzw. Renditen runden das vorliegende Kapitel ab.

Die Rentenrechnung befasst sich mit der Fragestellung, mehrere regelmäßig wiederkehrende Zahlungen zu einem Wert (unter Berücksichtigung der anfallenden Zinsen) zusammenzufassen bzw. mit dem umgekehrten Problem, einen gegebenen Wert unter Beachtung anfallender Zinsen in eine bestimmte Anzahl von (Renten-)Zahlungen aufzuteilen (Verrentung eines Kapitals). Die gut bekannte Altersrente ist nur ein Beispiel für solche regelmäßigen Zahlungen. Aber auch die Tilgung eines Kredits, BAföG-Zahlungen, Spar- und Auszahlpläne und vieles mehr passt in dieses Schema. Da der Wert einer Zahlung davon abhängig ist, zu welchem Zeitpunkt diese fällig ist, unterscheidet man den Rentenbarwert (Beginn der Rente) und den Rentenendwert (Ende der Rente).

Eng verbunden mit der Rentenrechnung ist die Tilgungsrechnung, die dann anzuwenden ist, wenn ein Gläubiger einem Schuldner Geld leiht, welches letzterer in (zumeist gleichen) Raten zurückzahlt. Daher geht es bei der Tilgungsrechnung um die Bestimmung der Rückzahlungsraten für Zinsen und Tilgung eines aufgenommenen Kapitalbetrages (Darlehen, Hypothek, Kredit). Es können aber auch andere Bestimmungsgrößen wie die Laufzeit bis zur vollständigen Tilgung oder die Effektivverzinsung gesucht sein. Grundlagen der Tilgungsrechnung bilden die Zinseszins- und insbesondere die Rentenrechnung.

In der Kursrechnung geht es darum, den fairen Kurs (oder fairen Preis) eines Zahlungsstroms, wie er in der untenstehenden Abbildung dargestellt ist, bei gegebener (Markt-)Rendite zu berechnen. Dieser Preis stellt unter den vorhandenen Renditemöglichkeiten ein Äquivalent zu den durch den Zahlungsstrom festgelegten zukünftigen Zahlungen dar.

Umgekehrt kann man bei gegebenem Preis die Rendite berechnen, die mit dem Zahlungsstrom erzielt wird. Dies stellt eine besonders anspruchsvolle Aufgabe in dem Fall dar, dass die Laufzeit der Anleihe nicht ganzzahlig ist und die Kuponzahlungen mehrfach pro Jahr erfolgen. Die international am weitesten verbreitete Methode ist die Ermittlung der ISMA-Rendite.

Eng mit der Zins- und Zinseszinsrechnung verbunden ist die wirtschaftlich relevante Problematik von Abschreibungen. Abschreibungen bringen die Wertminderung von Anlagegütern (d. h. mehrjährig nutzbare Wirtschaftsgüter) zum Ausdruck. Die Differenz aus dem Anfangswert (Anschaffungspreis bzw. Herstellungskosten) und den (jährlichen) Abschreibungen ergibt den jeweiligen Buchwert für das betreffende Anlagegut. Nach der Ermittlung der Wertminderung unterscheidet man folgende Arten von Abschreibungen: lineare Abschreibungen (gleiche Jahresbeträge), degressive Abschreibungen (fallende Jahresbeträge), leistungsabhängige Abschreibungen. Letztere sind dadurch charakterisiert, dass die Wertminderung an der jährlichen Nutzung ausgerichtet ist; sie bleiben – wegen der fehlenden finanzmathematischen Fundierung – im Weiteren ausgeklammert.

Gesetzliche Vorschriften, insbesondere § 7 des Einkommensteuergesetzes (EStG), sind zu beachten. Da sich diese Vorschriften immer wieder ändern, sind die im Folgenden beschriebenen mathematischen Modelle unter Umständen nicht alle anwendbar oder enthalten gesetzlich nicht zulässige Annahmen.

Die Investitionsrechnung stellt Modelle, Methoden und Verfahren zur Beurteilung der Wirtschaftlichkeit von Investitionen bereit. Wegen ihrer engen Beziehungen zur Finanzmathematik, insbesondere zur Zinseszinsrechnung, sollen nachstehend die beiden wichtigsten Methoden zur Beurteilung mehrperiodiger Investitionen, die Kapitalwertmethode und die Methode des internen Zinsfußes, näher betrachtet werden. Beide besitzen vielfältige Anwendungen in der wirtschaftlichen Praxis.

Die Ermittlung der Effektivverzinsung stellt eine der zentralen Aufgaben der Finanzmathematik dar, ist aber aus mathematischer Sicht wohl auch eine der schwierigsten, die insbesondere dem Anfänger auf diesem Gebiet nicht leicht fällt. Auf Grund der Vielzahl möglicher Situationen, die in der Praxis auftreten, wäre es ein aussichtsloses Unterfangen, alle entsprechenden Modelle auch nur einigermaßen vollständig beschreiben zu wollen.

Deshalb wird hier der Weg beschritten, zusätzlich zu den in den einzelnen Kapiteln bereits enthaltenen Fragestellungen zur Renditeermittlung weitere praktische Probleme zu untersuchen. Dabei soll vor allem die Fähigkeit des Lesers geschult werden, selbstständig mathematische Modelle aufzustellen. Grundlage dafür bilden die in den vorhergehenden Kapiteln vorgestellten Bausteine und Formeln, in erster Linie die Barwertformeln der Zins- und Zinseszinsrechnung sowie der Rentenrechnung. Diese kommen in fast jedem Modell vor.

Die Basis der Modellierung bildet in jedem Fall das Äquivalenzprinzip in dieser oder jener Form, meist in der Ausprägung des Barwertvergleichs. In jedem konkreten Fall ist es außerordentlich nützlich, alle Zahlungen in ihrer zeitlichen Abfolge an einem Zeitstrahl grafisch darzustellen.

Zusätzlich zu den bisher behandelten Finanzprodukten sollen eine Reihe weiterer Produkte in diesem Kapitel analysiert werden. Außerdem geht es um die Frage, wie der Barwert eines allgemeinen Zahlungsstroms oder eines konkreten Produkts bestimmt werden kann, wenn nicht mehr ein einheitlicher, durchschnittlicher und laufzeitunabhängiger Zinssatz gegeben ist, sondern wenn der Zinssatz von der Dauer der Geldanlage oder Geldaufnahme abhängig ist, wie es am Markt üblich ist.

Dazu benötigt man Aussagen über die Zinsstruktur. Es stellt sich nämlich heraus, dass es in der Praxis keine einheitlichen Zinssätze gibt, sondern dass im Normalfall längerfristige Geldanlagen höhere Zinserträge erbringen als kurzfristige. Zur detaillierten Untersuchung dieses Phänomens benötigt man solche Begriffe wie Spot Rate oder Forward Rate.

Andererseits kann man bei gegebenem Preis eines Produkts nach dessen Rendite fragen. Ferner wollen wir möglichst einfach berechnen, welchen Einfluss eine Änderung des Zinssatzes auf den Barwert hat. Dies ist eine sehr wichtige Fragestellung, da Marktzinssätze praktisch in jedem Moment schwanken. Dazu kann man gewinnbringend Risikokennzahlen wie etwa den Basispunktwert oder die modifizierte Duration einsetzen.

Kapitel 12 beinhaltet die ausführlichen Lösungen der Aufgaben.