Starthilfe Finanzmathematik

In diesem Kapitel werden die im Buch vorkommenden Bezeichnungen und grundlegenden Formeln übersichtlich zusammengestellt.

Der Finanzmathematik liegen – wie fast allen Teilgebieten der Mathematik – eine Reihe von Formeln zugrunde. Wer aber glaubt, jeweils nur die richtige Formel zur Lösung eines Problems herausfinden zu müssen und dann die gegebenen Größen dort einzusetzen, der befindet sich im Irrtum. Aufgrund der Vielfalt und zahlreichen Besonderheiten praktischer Problemstellungen müssen die für „Standardsituationen“ geltenden Grundformeln angepasst, kombiniert und in aller Regel umgeformt, d. h., nach einer der vorkommenden Größen aufgelöst werden, sofern dies überhaupt möglich ist. Anderenfalls müssen numerische Verfahren zur Ermittlung von Lösungen eingesetzt werden.

Wird ein Kapital über weniger als eine Zinsperiode angelegt, ist es naheliegend, die Zinsen anteilig zu berechnen, was der linearen Verzinsung entspricht, wenngleich dies nicht die einzige mögliche Art der Verzinsung darstellt. Der Wert eines verzinslich angelegten Kapitals unter Einbeziehung der aufgelaufenen Zinsen wird als Zeitwert bezeichnet. Dieser ist vom Zeitpunkt abhängig, zu dem er betrachtet wird. Eine besondere Rolle spielt der dem Zeitpunkt t = 0 („heute“) entsprechende Wert, der Barwert. Durch Anwendung der linearen Verzinsung lassen sich auch regelmäßige unterjährige, speziell monatliche Einzahlungen auf eine zum Periodenende fällige Einmalzahlung umrechnen. Letztere wird Jahresersatzrate genannt und wird in der Renten- und Tilgungsrechnung bei der Anpassung von monatlichen Zahlungen an eine jährliche Verzinsung benötigt. Obwohl man meinen könnte, dass die Bestimmung der Länge des Anlagezeitraums eine eindeutige Angelegenheit sei, ist dies nicht so, denn es gibt mehrere in der Praxis gängige Methoden zur Berechnung des entsprechenden Anteils an der Zinsperiode.

Wird ein Kapital über mehrere Zinsperioden hinweg verzinslich angelegt und werden dabei die Zinsen nicht ausgezahlt, sondern angesammelt (man sagt auch „kapitalisiert“), so spricht man von Zinseszinsen (das sind die Zinsen auf die Zinsen) bzw. von geometrischer Verzinsung, da sich der Wert des Kapitals von Periode zu Periode wie die Glieder einer geometrischen Zahlenfolge entwickelt. Gesetzliche Vorschriften, wie etwa die in Deutschland geltende Preisangabenverordnung (PAngV) können aber auch für unterjährige Zeiträume geometrische Verzinsung vorschreiben. Auch international wird diese Form der Verzinsung bevorzugt. Von Interesse sind Formeln für den Zeitwert eines Kapitals, speziell für den End- und den Barwert. Kompliziertere Situationen entstehen, wenn teilweise linear, teilweise geometrisch verzinst wird (= gemischte Verzinsung) oder wenn in aufeinander folgenden Perioden unterschiedliche Zinssätze vereinbart werden. Bei der sogenannten unterjährigen Verzinsung tritt ebenfalls ein Zinseszinseffekt ein. Nach Grenzübergang ergibt sich die stetige Verzinsung, ein sehr interessantes Modell. Die Modellierung komplexer Situationen sowie die Berechnung von Effektivzinssätzen bzw. Renditen runden das vorliegende Kapitel ab.

Die Rentenrechnung befasst sich mit der Fragestellung, mehrere regelmäßig wiederkehrende Zahlungen zu einem Wert zusammenzufassen (unter Berücksichtigung der anfallenden Zinsen) bzw. mit dem umgekehrten Problem, einen gegebenen Betrag unter Beachtung anfallender Zinsen in eine bestimmte Anzahl von (Raten-)Zahlungen aufzuteilen (Verrentung eines Kapitals). Die gut bekannte Altersrente ist nur ein Beispiel für solche regelmäßigen Zahlungen. Aber auch die Tilgung eines Kredits, BAföG-Zahlungen, Spar- und Auszahlpläne und vieles mehr passt in dieses Schema. Da der Wert einer Zahlung davon abhängig ist, zu welchem Zeitpunkt diese erfolgt, unterscheidet man den Rentenbarwert (Beginn der Rente) und den Rentenendwert (Ende der Rente).

Eng verbunden mit der Rentenrechnung ist die Tilgungsrechnung, die dann anzuwenden ist, wenn ein Gläubiger einem Schuldner Geld leiht, welches letzterer in (zumeist gleichen) Raten zurückzahlt. Daher geht es bei der Tilgungsrechnung um die Bestimmung der Rückzahlungsraten für Zinsen und Tilgung eines aufgenommenen Kapitalbetrages (Darlehen, Hypothek, Kredit). Es können aber auch andere Bestimmungsgrößen wie die Zeit bis zur vollständigen Tilgung oder die Effektivverzinsung gesucht sein. Grundlagen der Tilgungsrechnung bilden die Zinseszins- und insbesondere die Rentenrechnung.

In der Kursrechnung geht es darum, den fairen Kurs (oder fairen Preis) eines Zahlungsstroms bei gegebenem (Markt-)Zinssatz zu berechnen. Dieser Preis stellt ein Äquivalent zu den durch den Zahlungsstrom festgelegten zukünftigen Zahlungen dar. Umgekehrt kann man bei gegebenem Preis die Rendite berechnen, die mit dem Zahlungsstrom erzielt wird. Dies stellt eine besonders anspruchsvolle Aufgabe in dem Fall dar, dass die Laufzeit der Anleihe nicht ganzzahlig ist und die Kuponzahlungen mehrfach pro Jahr erfolgen. Die international am weitesten verbreitete Methode ist die Ermittlung der ISMA-Rendite.

Eng mit der Zins- und Zinseszinsrechnung verbunden ist die wirtschaftlich relevante Problematik von Abschreibungen. Diese bringen die Wertminderung von Anlagegütern (d. h. mehrjährig nutzbare Wirtschaftsgüter) zum Ausdruck. Die Differenz aus dem Anfangswert (Anschaffungspreis bzw. Herstellungskosten) und den (jährlichen) Abschreibungen ergibt den jeweiligen Buchwert für das betreffende Anlagegut. Nach der Ermittlung der Wertminderung unterscheidet man als wichtigste diese Arten von Abschreibungen: lineare Abschreibung (gleiche Jahresbeträge) und degressive Abschreibung (fallende Jahresbeträge).

Die Investitionsrechnung stellt Modelle, Methoden und Verfahren zur Beurteilung der Wirtschaftlichkeit von Investitionen bereit. Wegen ihrer engen Beziehungen zur Finanzmathematik, insbesondere zur Zinseszinsrechnung werden die beiden wichtigsten Methoden zur Beurteilung mehrperiodiger Investitionen, die Kapitalwertmethode und die Methode des internen Zinsfußes, näher betrachtet. Beide besitzen vielfältige Anwendungen in der wirtschaftlichen Praxis.

Die Ermittlung der Effektivverzinsung stellt eines der zentralen Probleme der Finanzmathematik dar, ist aber aus mathematischer Sicht wohl auch eine der schwierigsten Aufgaben, die insbesondere dem Anfänger auf diesem Gebiet nicht leichtfällt. Aufgrund der Vielzahl möglicher Situationen, die in der Praxis auftreten, wäre es ein aussichtsloses Unterfangen, alle entsprechenden Modelle auch nur einigermaßen vollständig beschreiben zu wollen. Deshalb werden, zusätzlich zu den in den einzelnen Kapiteln bereits enthaltenen Fragestellungen zur Renditeermittlung, exemplarisch weitere praktische Probleme untersucht. Dabei soll vor allem die Fähigkeit des Lesers geschult werden, selbstständig mathematische Modelle aufzustellen. Grundlage dafür bilden die in den vorhergehenden Kapiteln vorgestellten Bausteine und Formeln, in erster Linie die Barwertformeln der Zins- und Zinseszinsrechnung sowie der Rentenrechnung. Diese kommen in fast jedem Modell vor. Die Basis der Modellierung bildet stets das Äquivalenzprinzip in dieser oder jener Form, meist als Barwertvergleich.

Zusätzlich zu den bisher behandelten Finanzprodukten sollen in diesem Kapitel eine Reihe weiterer Produkte analysiert werden. Außerdem geht es um die Frage, wie der Barwert eines allgemeinen Zahlungsstroms oder eines konkreten Produkts bestimmt werden kann, wenn nicht mehr ein einheitlicher, durchschnittlicher und laufzeitunabhängiger Zinssatz gegeben ist, sondern wenn der Zinssatz von der Dauer der Geldanlage oder Geldaufnahme abhängig ist. Dazu benötigt man Aussagen über die Zinsstruktur. In der Praxis gibt es keine einheitlichen Zinssätze, sondern diese sind laufzeitabhängig. Daher benötigt man solche Begriffe wie Spot Rate oder Forward Rate. Ferner wird untersucht, welchen Einfluss eine Änderung des Zinssatzes auf den Barwert hat. Dazu kann man gewinnbringend Risikokennzahlen wie etwa den Basispunktwert oder die modifizierte Duration einsetzen.

Dieses Kapitel enthält die ausführlichen Lösungen aller Aufgaben.