Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Dieses Buch basiert auf theoretischen Vorlesungen des Autors an der Ruhr-Universität Bochum, dieStudentinnenundStudentendesDiplom-StudiengangsPhysikim6.Semesterangebotenw- den. Um den modernen Anforderungen eines Bachelor- und Master-Studiengangs zu genügen, wurde der Stoff umgearbeitet und explizit in Teil I für Bachelor- und Teil II, basierend auf Teil I, für Master- bzw. Diplom-Studentinnen und -Studenten aufgebaut. Dabei wurde in Übereinst- mung mit den gegenwärtigen Curricula vorausgesetzt, dass die Grundzüge der Quantentheorie den Studierenden vertraut sind, so dass es möglich war, in Teil I zunächst einfache (mikroka- nische) statistische Methoden zu verwenden, aus denen die klassische Thermodynamik mit - ren vielen Anwendungen abgeleitet werden kann. Die Kenntnisse der Quantenmechanik wurden verwendet, makroskopische Systeme aus gewohnter mikroskopischer Perspektive zu betrachten. Dieses Vorgehen erleichtert das Verständnis sehr und schwierige Begriffe, wie z.B. die Ent- pie, werden leicht verständlich. Teil II konzentriert sich dann auf gehobenere Themen, wie die verschiedenen Ensembles und Quantenstatistik. Hier ?nden sich auch Beispiele aus Astrophysik und Kosmologie und modernen Entwicklungen der Bose-Einstein-Kondensation. Insgesamt entspricht der Umfang des Buches etwa dem, was in den heutigen Curricula im - reich Theorie der Statistik und Thermodynamik bei einem Bachelor- bzw. Master- und Diplom- Studiengang geboten und verlangt wird. Teil I ist auch für Nebenfächler in Physik geeignet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen der Statistik und Thermodynamik

Frontmatter

1. Einleitung

Gegenstand der Statistischen Mechanik und der Quantenstatistik sind makroskopische Systeme, d. h. Systeme mit ungefähr

N

=10

24

Teilchen und etwa gleich vielen Freiheitsgraden. Entscheidend ist, dass

N

sehr viel größer als eins ist, denn gesucht ist in der Praxis die Abhängigkeit der Eigenschaften des Systems von wenigen (Anzahl etwa gleich eins bis zehn) globalen bzw. makroskopischen Größen wie Temperatur, Druck, Volumen etc., was statistische Methoden erfordert.

Klaus Goeke

2. Grundlagen der Statistischen Mechanik

Als Mikrozustand eines

N

-Teilchensystems bezeichnet man einen reinen quantenmechanischen

N

-Teilchenzustand (Vielteilchenzustand) |r >, der ein stationärer Eigenzustand des Hamiltonoperators

H

0

des Systems ist.

Klaus Goeke

3. Grundlagen der Thermodynamik

Bisher haben wir in diesem Text Statistische Mechanik des mikrokanonischen Ensembles betrieben, aus der wir dann die thermodynamischen Gesetze hergeleitet haben. Historisch gesehen war die Thermodynamik zeitlich vor der Statistischen Mechanik, weshalb sie keine mikroskopischen Größen (z.B. die Teilchenzahl

N

) kennt. Für das Verständnis der Thermodynamik sind die Kenntnisse der Statistischen Mechnik, die wir bisher betrachtet haben, extrem hilfreich, aber nicht notwendig: Thermodynamik als solche kann man ganz durch Postulate zwischen makroskopisch definierten Größen formulieren. Der Zusammenhang dieser Größen, die alle phänomenologisch definiert sind, ist Gegenstand dieses Kapitels.

Klaus Goeke

Statistische Ensembles und Quantenstatistik

Frontmatter

4. Das kanonische und großkanonische Ensemble

In diesem Kaptel gehen wir zur Statistischen Mechanik zurück und studieren aus dieser Warte Wechselwirkungen zwischen einem betrachteten System und seiner Umgebung. Die entscheidende Frage ist immer: Wenn man ein kleines System

a

in Kontakt mit einem großen System

A

(Reservoir) bringt und das Gesamtsystem als abgeschlossen voraussetzt, auf welchen Zustand stellt sich das kleine System ein im Gleichgewicht mit dem großen? Da ein ständiger Energieaustausch zwischen

a

und

A

stattfindet, wird das kleine System a keinen festen Mikrozustand einnehmen, sondern seine Zustände werden einerWahrscheinlichkeitsverteilung unterliegen und so einen Makrozustand bilden. Relevant sind am Ende

das kanonische Ensemble (Austausch von Energie bei fester Temperatur)

und das

großkanonische Ensemble (Austausch von Energie und Teilchen bei fester Temperatur und gegebenem chemischen Potenzial)

. Beide Ensembles beschreiben reale physikalische Situationen.

Klaus Goeke

5. Elementare Anwendungen der statistischen Mechanik

In diesem Kapitel betrachten wir einige elementare Anwendungen der statistischen Mechanik. Wir befassen uns mit Systemen, bei denen sich die Wellenfunktionen der einzelnen Teilchen nicht überlappen. Das ist gleichbedeutend mit der Annahme, dass die thermische DeBroglie- Wellenlänge (bzw. die thermische Wellenlänge) viel kleiner ist als der mittlere Abstand der Teilchen, also eine klassische Behandlung im Prinzip erlaubt ist. Dennoch muss die Identität der Teilchen berücksichtigt werden. Deshalb ist ein wichtiger Punkt in diesem Kapitel das Gibbssche Paradoxon, was Gibbs dazu brachte, den berühmten Faktor 1/

N

! einzuführen. Um diese Gedankengänge hier nachzuvollziehen, muss die klassische Entropie berechnet werden, die ihrerseits im kanonischen Ensemble die Kenntnis des Logarithmus der Zustandssumme und der mittleren Energie erfordert. Diese Größen werden zunächst berechnet unter Mitnahme des Faktors 1/

N

!, bevor wir das Gibbssche Paradoxon nachvollziehen. Anschließend folgen einige einfache, aber wichtige Anwendungen.

Klaus Goeke

6. Quantenstatistik idealer Gase

Bisher haben wir die Statistik klassischer Teilchen betrachtet und ihre die Identität durch einfache Gibbs-Faktoren 1/

N

! berücksichtigt. Das war möglich, weil wir annahmen, dass die thermische DeBroglie-Wellenlänge wesentlich kleiner war als der mittlere Abstand der Teilchen, oder in anderen Worten, dass die Wellenfunktionen der Teilchen sich nicht überlappten. Diese Annahmen wollen wir jetzt fallen lassen und erlauben, dass die Wellenfunktionen sich überlappen, also mit der Gesamtwellenfunktion eines Vielteilchensystems zu rechnen ist. Auf dieseWeise werden wir vollständig die Quanten-Natur von Fermionen, Bosonen, Phononen und Photonen berücksichtigen. Wir gehen dabei von Teilchen aus, die keinerlei Wechselwirkung untereinander haben und nur durch Gefäßwände eingeschlossen werden. Ein solches System heißt ideales Quanten-Gas. Den klassischen Grenzfall werden wir ebenfalls betrachten und dann die bekannten Formeln wieder erhalten.

Klaus Goeke

7. Anwendungen der Quantenstatistik

Wir betrachten elektromagnetische Strahlung (System von freien Photonen) in einem Volumen mit Wänden der Temperatur

T

. Das Gas befinde sich im thermischen Gleichgewicht mit der Materie der Wände. Das definiert die Wärmestrahlung, oder auch Schwarzkörperstrahlung oder Hohlraumstrahlung eines schwarzen Körpers. Die grundlegenden statistischen Formeln dieses Photonen-Gases finden sich in Kap. 6.2.4.1.

Klaus Goeke

8. Irreversible Prozesse, Transport, Fluktuationen

Bisher haben wir uns in diesem Buch im wesentlichen mit Systemen im Gleichgewicht beschäftigt und nur sehr allgemeine Aussagen getroffen, was bei der Entwicklung zum Gleichgewicht passiert, z.B. Δ

S

> 0. In diesem Kapitel betrachten wir Systeme, die sich nicht notwendig im Gleichgewicht befinden, und werden einige grundlegende Eigenschaften von ihnen ableiten.Wir werden untersuchen, wie das Gleichgewicht erreicht wird und wie schnell das geschieht. Wir werden generell wichtige Transportphänomene diskutieren, ebenso Dissipation und Fluktuation. Obwohl alle diese Themen zunächst unkorreliert erscheinen, werden wir sehen, dass sie doch formal und physikalisch eng zusammenhängen. All dies führt uns auch zum Begriff des dynamischen Gleichgewichts, also einer stationären Situation, die nur durch stetige Zufuhr von Energie (z.B. Strahlung) aufrechterhalten wird.

Klaus Goeke

9. Der zentrale Grenzwertsatz der Statistik

In diesem Buch wurde an mehreren Stellen ein Formalismus eingeführt, der explizit mit dem

Gesetz der großen Zahl

zusammenhing, wobei meistens die Zahl der Teilchen

N

≃10

24

oder die ebenso große Zahl der Freiheitsgrade relevant war. Beispiele sind die Gleichheit von mittlerer und innerer Energie bei einem abgeschlossenen System in Kap. 2.3.1, die Schärfe der Verteilung in Kap. 2.6.6 oder die Äquivalenz des mikrokanonischen und kanonischen Ensembles in Kap. 4.4.7. Alle diese Fakten hängen begrifflich und mathematisch eng mit dem

zentralen Grenzwertsatz der Statistik

zusammen, den wir in diesem Kapitel beweisen und diskutieren wollen. Um in die Argumentationsweise einzuführen, betrachten wir zunächst das Random-Walk-Problem, das ein eindimensionales und einfaches Beispiel des zentralen Grenzwertsatzes darstellt und das Gesetz großer Zahlen erläutert. In einem zweiten Schritt wird dann der zentrale Grenzwertsatz formuliert und bewiesen.

Klaus Goeke

Backmatter

Weitere Informationen

BranchenIndex Online

Die B2B-Firmensuche für Industrie und Wirtschaft: Kostenfrei in Firmenprofilen nach Lieferanten, Herstellern, Dienstleistern und Händlern recherchieren.

Whitepaper

- ANZEIGE -

Unsicherheitsabschätzung für die Berechnung von dynamischen Überschwemmungskarten – Fallstudie Kulmbach

Das vom BMBF geförderte Projekt FloodEvac hat zum Ziel, im Hochwasserfall räumliche und zeitliche Informationen der Hochwassergefährdung bereitzustellen. Im hier vorgestellten Teilprojekt werden Überschwemmungskarten zu Wassertiefen und Fließgeschwindigkeiten unter Angabe der Modellunsicherheiten berechnet.
Jetzt gratis downloaden!

Bildnachweise