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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch ebnet Mathematik-Studierenden einen Weg in die Statistik, bei dem Theorie und Praxis statistischer Methoden gleichermaßen berücksichtigt werden: Anspruchsvolle mathematische Formulierungen werden konsequent dargestellt und im Rahmen von Beispielanalysen mit praktischen Anwendungen in Verbindung gebracht. Durch unterhaltsame und lehrreiche Dialoge zwischen theoretischen Statistikern und Anwendern (etwa Biologen) wird die Materie lebendig. Das Buch liefert zahlreiche Beispiele unterschiedlichen Detailgrads, bleibt aber trotz der theoretischen Tiefe übersichtlich und sprengt den Rahmen einer Einführung nicht.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Planung einer Fachschaftsfeier – ein Einführungsbeispiel

Zusammenfassung
Um die Grundbegriffe der statistischen Denkweise kennenzulernen, betrachten wir zunächst ein einfaches Beispiel: Der Hauptorganisator der diesjährigen Fachschaftsfeier ist besorgt, dass der dafür gebuchte Raum dieses Jahr nicht ausreichen könnte, denn anders als in den vergangenen Jahren haben ihn dieses Mal bereits viele Studierende auf die Fachschaftsfeier angesprochen. Die Feier war schon immer sehr beliebt, etwa \(40\,\%\) aller Studierenden des Faches nahmen im letzten Jahr daran teil. Um Vorbereitungen treffen zu können, falls dieser Anteil wesentlich höher ausfallen sollte, befragt der Organisator auf dem Campus willkürlich eine Stichprobe von \(n=60\) Studierenden seines Fachs, ob sie beabsichtigen, die Party zu besuchen.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 2. Erinnerung an Grundbegriffe aus der Stochastik

Zusammenfassung
Ziel der Statistik ist die Beschreibung und Untersuchung der Variabilität gemachter Beobachtungen. Die Grundidee ist, Variabilität durch mathematische Modelle des Zufalls zu beschreiben. Deren Grundbausteine sind Zufallsvariable. Daher wiederholen wir zunächst zentrale Begriffe aus der Stochastik, wobei Grundlagen wie Zufallsvariable, Verteilungen und das Integral als bekannt vorausgesetzt werden.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 3. Exkurs in die deskriptive Statistik

Zusammenfassung
Wie im Einführungsbeispiel in Kap. 1 beginnt praktisch jede statistische Auswertung mit einer Zusammenfassung von Beobachtungen. Dabei geht es darum, die Beobachtungen in einer Grafik oder wenigen Kennzahlen, sogenannten Statistiken, kurz und unmissverständlich zusammenzufassen. Ziel ist es dabei, einen Überblick über die Beobachtungen zu erhalten: Welche Werte werden überhaupt angenommen? ,Wo‘ etwa liegen die Beobachtungen? Wie stark ,streuen‘ sie? Welche Form hat ihre ,Verteilung‘? usw.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 4. Grundbegriffe der statistischen Modellierung

Zusammenfassung
Die Denkweise der Statistik haben wir schon im Einführungsbeispiel in Kap. 1 kennengelernt. Es geht im Folgenden darum, diese Denkweise zu strukturieren und insbesondere die Begriffe rund um die schließende Statistik einzuführen. Das führt uns zum statistischen Modell in Abschn. 4.1 und zum Begriff der Statistik (Abschn. 4.2). In beiden Abschnitten denken wir zunächst an eine feste Anzahl n von Beobachtungen.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 5. Gütekriterien für Schätzer

Zusammenfassung
Nachdem wir im vorherigen Abschnitt erste Schätzer kennengelernt haben, wollen wir nun der Frage nachgehen, nach welchen Kriterien man einen Schätzer beurteilen und mit anderen Schätzern vergleichen kann.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 6. Intervallschätzer und Konfidenzbänder

Zusammenfassung
Im Rahmen der Konzepte rund um das Schätzen haben wir bislang sogenannte Punktschätzer betrachtet, d. h., ein Schätzer S,trifft ein Element‘ aus seinem Bildraum, vgl. Kap. 4. Alternativ dazu befassen wir uns in diesem Kapitel mit sogenannten Intervallschätzern.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 7. Die Maximum-Likelihood-Methode

Zusammenfassung
In Kap. 5 haben wir Schätzer bezüglich gewisser Gütekriterien untersucht. Beispielsweise haben wir gesehen, dass im Kontext des Bernoullimodells die relative Häufigkeit \(\hat{p}\) ein sinnvoller Schätzer für die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist, denn \(\hat{p}\) ist konsistent, erwartungstreu und asymptotisch normalverteilt, vgl. Beispiel 4.4. Das Vorgehen war, zunächst intuitiv einen Schätzer als sinnvoll zu behaupten, um dann seine Güte zu prüfen.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 8. Grundidee und Beispiele statistischer Tests

Zusammenfassung
Nachdem wir uns bisher vor allem mit der Schätzung unbekannter Parameter beschäftigt haben, widmen wir uns nun der Grundidee statistischer Hypothesentests. Es geht dabei wieder darum, die Unwahrscheinlichkeit von Beobachtungen zu beurteilen. Diese Denkweise kennen wir schon von den Konfidenzintervallen aus Kap. 6. Im Folgenden führen wir die Schritte des statistischen Testens anhand des Einführungsbeispiels aus Kap. 1 ausführlich ein.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 9. Der t-Test

Zusammenfassung
In der Einstichprobensituation in Abschn. 8.2 haben wir einen asymptotischen Test der Nullhypothese konstruiert, dass ein behaupteter Wert \(\mu ^{(0)}=20\) m der wahre Erwartungswert ist. Für Beobachtungen \(\mathbf{x }_n=(x_1,\ldots , x_n)^t\) haben wir dort die Statistik
$$\begin{aligned} T_n(\mathbf{x }_n)=\frac{\bar{x}_n -\mu ^{(0)}}{s_n(\mathbf{x }_n) /\sqrt{n}} \end{aligned}$$
verwendet. Dabei haben wir den Zentralen Grenzwertsatz ausgenutzt, der besagt, dass sich \(T_n(\mathfrak X_n)\) unter schwachen Modellannahmen für \(n\rightarrow \infty \) asymptotisch normal verteilt.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 10. Vergleich von Stichproben: Varianzanalyse und multiples Testen

Zusammenfassung
Normalverteilungsannahmen wie in Kap. 9 ermöglichen sowohl bei Verfahren zum Vergleich von mehr als zwei Stichproben als auch bei wesentlich allgemeineren statistischen Fragestellungen die Konstruktion exakter Tests. Bevor wir in Kap. 11 dazu den allgemeinen Rahmen des normalen linearen Modells diskutieren, betrachten wir in Abschn. 10.1 den Spezialfall der Verallgemeinerung des t-Tests auf mehr als zwei Gruppen in der einfaktoriellen Varianzanalyse.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 11. Das normale lineare Modell

Zusammenfassung
In Kap. 9 und 10 haben wir statistische Modelle betrachtet, bei denen die Beobachtungen als Realisierungen unabhängiger und normalverteilter Zufallsvariablen betrachtet wurden. Einen allgemeinen Rahmen für Modelle mit Normalverteilungsannahmen bietet das normale lineare Modell. In Abschn. 11.1 führen wir das normale lineare Modell ein und diskutieren die ANOVA als Spezialfall. In Abschn. 11.2 betrachten wir einen weiteren prominenten Spezialfall, das einfache lineare Regressionsmodell.
Michael Messer, Gaby Schneider

Kapitel 12. Rangbasierte Verfahren

Zusammenfassung
In den Kap. 9 und 10 haben wir statistische Tests zum Vergleich von zwei Gruppen (t-Tests) oder mehreren Gruppen (ANOVA) kennengelernt. Die Konstruktion der statistischen Tests basierte auf Normalverteilungsannahmen in den zugrunde liegenden Modellen. Bei nicht notwendigerweise glockenförmig verteilten Daten, beispielsweise schiefen Verteilungen, bieten sogenannte rangbasierte Verfahren entsprechende Alternativen.
Michael Messer, Gaby Schneider

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