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Erschienen in:
2018 | OriginalPaper | Buchkapitel
7. Stetige Funktionen – kleine Ursachen haben kleine Wirkungen
verfasst von : Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel
Erschienen in: Mathematik
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Im Kap. 2 haben wir bereits den Begriff der Abbildung kennengelernt, eines der ganz wesentlichen Konzepte der abstrakten Mathematik. Hier wollen wir uns mit ganz speziellen Abbildungen, den Funktionen, beschäftigen, bei denen Zahlen wieder Zahlen zugeordnet werden. Solche Abbildungen waren schon das Thema des Kap. 4.
In den Anwendungen, etwa aus Naturwissenschaft und Technik, erhält man durch den Prozess der Modellbildung eine Beschreibung eines Phänomens, in der Zusammenhänge zwischen den auftretenden Größen durch Funktionen dargestellt werden. In diesem Zusammenhang hat man meist mit einer der folgenden zwei Fragestellungen zu tun:Auf diese beiden Fragen werden wir im Verlauf dieses Kapitels immer wieder eingehen und sie zumindest teilweise beantworten.
Der zentrale Begriff hierbei wird die Stetigkeit sein. Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass ein funktionaler Zusammenhang stabil ist: Kleine Änderungen im Argument bewirken auch nur kleine Änderungen im Funktionswert. Für eine wasserdichte mathematische Definition werden wir aber den Begriff des Grenzwerts aus dem vorherigen Kapitel bemühen.
Stetige Funktionen haben deswegen eine solch herausragende Bedeutung, weil man für sie unter geeigneten Voraussetzungen die beiden Fragen oben bejahen kann. Sie bilden damit das Fundament für alle weiteren Überlegungen in der Analysis.