Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen

Im Verlauf unserer Untersuchungen ist uns schon mehrmals eine Eigenschaft begegnet, die eine Funktion f haben kann (jedoch nicht haben muß), eine Eigenschaft, die sich auch bereits vielfach als nützlich und hilfreich erwiesen hat (s. etwa Nr. 23) und die man kurz so beschreiben kann: aus x_n → ξ folgt stets f(x_n) → f(ξ). Eine derartige Funktion nannten wir „stetig“, ohne uns im übrigen mit einer sorgfältigen Definition dieses Begriffes aufzuhalten. Das vorliegende Kapitel hat nun gerade die Aufgabe, „Stetigkeit“ präzis zu erklären und die wertvollen Eigenschaften stetiger Funktionen ans Licht zu ziehen. Wir fassen zunächst die „Stetigkeit in einem Punkt“ ins Auge. Die in diesem Kapitel auttretenden Funktionen sind alle reell.