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2020 | Buch

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Stochastik 2

Von der Standardabweichung bis zur Beurteilenden Statistik

verfasst von: Michael Barot, Juraj Hromkovič

Verlag: Springer International Publishing

Buchreihe : Grundstudium Mathematik

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Aufbauend auf dem ersten Band, werden in diesem Buch weiterführende Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie ausführlich und verständlich diskutiert. Mit vielen exemplarisch durchgerechneten Aufgaben, einer Vielzahl weiterer Problemstellungen und ausführlichen Lösungen bietet es dem Leser die Möglichkeit, die eigenen Fähigkeiten ständig zu erweitern und kritisch zu überprüfen und ein tieferes Verständnis der Materie zu erlangen. Realitätsnahe Anwendungen ermöglichen einen Ausblick in die breite Verwendbarkeit dieser Theorie.

Auch in diesem Band wird auf die Entwicklung der Begriffsbildung und der mathematischen Konzepte besonderer Wert gelegt, sodass man ihre Bedeutung bei der Erzeugung wie auch ständige Verbesserung von Forschungsinstrumenten für die Untersuchung unserer Welt erleben kann.

Gerichtet ist das Buch an Gymnasiasten, Studienanfänger an Hochschulen, Lehrer und Interessierte, die sich mit diesem Gebiet vertraut machen möchten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung

Die ideale Vorbereitung für eine Forschungsarbeit sieht so aus, dass man die Realität untersucht und dabei Gesetzmässigkeiten entdeckt, die uns ermöglichen die Gegebenheiten angemessen zu modellieren und somit zuverlässige Vorhersagen zu machen. Darauf haben wir auch im ersten Band fokussiert. Im Kontrast zum ersten Band erklärt der zweite Band die Stochastik als Forschungsinstrument, das hilfreich ist, um gute Schätzungen zu erhalten, wenn die untersuchte Realität zu komplex ist, um eine genaue Modellierung zu erlauben oder wenn unsere Modelle es nicht ermöglichen, mit einem vertretbaren Aufwand die gesuchten Charakteristiken oder die Vorhersagen auszurechnen.

In diesem Kapitel wird ausserdem der Inhalt der einzelnen Kapitel vorgestellt.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

2. Standardabweichung

Zusammenfassung

In der Mathematik versucht man oft komplexe Objekte durch einfache Darstellungen so zu charakterisieren, dass wir nicht zu viel Information über das komplexe Objekt verlieren, andererseits die Charakterisierung doch hinreichen gut ist, dass die angestrebten Untersuchungen durchgeführt werden können. So haben wir im ersten Band ganze Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Zufallsvariablen) auf eine einzige Zahl - den Erwartungswert - reduziert. In manchen Situationen mag diese Information genügen, aber in vielen anderen zu viel Information verloren gehen. Dann benötigt man weitere Information über die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Deswegen führen wir in diesem Kapitel eine zweite Charakteristik - die Standardabweichung - von Verteilungen von Zufallsvariablen ein und zeigen, wie wertvoll diese Zusatzinformation sein kann.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

3. Anwendungen in der Datenverwaltung

Zusammenfassung

Eine der zentralen Aufgaben in der Informatik ist es, die Datensammlungen so zu organisieren, dass man einerseits immer sehr schnell das Gesuchte finden kann und andererseits bei Sammlungen im permanenten Wandel effizient die Ordnung aufrecht erhalten kann.

Wir betrachten in diesem Kapitel ein Paradebeispiel der Anwendungen der Konzepte Erwartungswert und Standardabweichung als Forschungsinstrumente, denen wir eine effiziente Entwicklung von Datenverwaltungssystemen verdanken.

Datenverwaltung kommt es häufig vor, dass ein Eintrag gesucht werden muss. In diesem Kapitel wird die Effizienz der Suche unter verschiedenen Voraussetzungen (sind die Daten geordnet oder ungeordnet) erörtert. Der Erwartungswert und die Standardabweichung stellen sich dabei als wichtige Forschungshilfsmittel heraus.

Es wird auch die Situation betrachtet, wie unter sich häufig ändernden Daten Elemente mit Hilfe von sogenannten Hashfunktionen effizient gespeichert und gesucht werden können.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

4. Die Wahrscheinlichkeit von Wertebereichen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zeigen wir im Allgemeinen welche wertvolle Information die Standardabweichung für die Untersuchung von Zufallsexperimenten birgt. Wir lernen zu schätzen, wie stark mit dem Abstand zum Erwartungswert die Wahrscheinlichkeit sinkt, einen Wert der der betrachteten Zufallsvariable zu erhalten. Positiv ausgedrückt: Wir können die Mindestwahrscheinlichkeit gut schätzen, dass der Wert der untersuchten Zufallsvariable in einem gewissen Intervall rund um den Erwartungswert liegt.

Das offeriert uns die Basis für stochastische Tests, die in vielen Forschungsdisziplinen mit komplexen Untersuchungsgegenständen das einzige erfolgreiche Forschungsmittel ist.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

5. Das Gesetz der großen Zahlen

Zusammenfassung

Das Gesetz der großen Zahlen gehört zu den wertvollsten Juwelen der Stochastik mit unzähligen theoretischen sowie praktischen Anwendungen. Informell sagt es, dass je mehr Wiederholungen eines Experiments mit unbekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung (je mehr Aufwand bei Feldversuchen) durchgeführt werden, desto wahrscheinlicher erhält man eine zuverlässige Schätzung des Erwartungswerts der unbekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Genauer besagt das Gesetz der großen Zahlen, dass mit wachsender Anzahl Wiederholungen eines Zufallsexperiments, die Wahrscheinlichkeit gegen 1 konvergiert, dass die gemittelten Werte der Zufallsvariablen nahe dem theoretischen Erwartungswert liegt. Dank diesem Gesetz kann man Einiges über unerforschte Zufallsexperimente lernen.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

6. Stetige Zufallsvariablen

Zusammenfassung

Die bisher untersuchten Wahrscheinlichkeitsräume waren fast ausschließlich endlich. Es gibt aber viele Situationen, in denen die Anzahl möglicher Ergebnisse nicht nur unendlich, sondern größer als die Anzahl natürlicher Zahlen ist, wie zum Beispiel bei der Zufallsvariable, die angibt, nach welcher Zeit ein radioaktives Atom zerfällt. Für die Modellierung solcher Experimente versagen unsere bisherigen Konzepte der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume. In diesem Kapitel verallgemeinern wir die bisherige Modellierung und zeigen, wie man mit unendlichen Wahrscheinlichkeitsräumen erfolgreich arbeiten kann.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

7. Modellieren mit der Normalverteilung

Zusammenfassung

Bei vielen Zufallsexperimenten zeigen die Messungen ein wiederkehrendes Muster: Die Resultate häufen sich um den Durchschnittswert und größere Abweichungen sind zunehmend unwahrscheinlicher. Das Ziel dieses Kapitels ist, für solche Situationen ein universelles Forschungsinstrument zu entwickeln. Die Lösung ist die Klasse der sogenannten Normalverteilungen mit wählbarem Erwartungswert und wählbarer Standardabweichung. Es zeigt sich, dass die so erhaltenen Verteilungen viele Situationen (Messungen von Objekten oder Prozesse) erfolgreich modellieren können. Wir belegen mit mehreren Praxisbeispielen die unglaubliche Stärke dieses Konzeptes. So können wir damit zum Beispiel gut schätzen, welcher Anteil der Produkte einer bestimmten Art für eine gegebene Zeitspanne funktionstüchtig bleibt oder die erwarteten Qualitätsmerkmale beibehält.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

8. Der zentrale Grenzwertsatz

Zusammenfassung

Dieses Kapitel hat eher einen theoretischen Charakter und zeigt die herausragende Rolle der Normalverteilungen in der Stochastik. Wir zeigen hier wie man die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen mit Hilfe der Normalverteilungen und des zentralen Grenzwertsatzes erfolgreich modellieren kann.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

9. Modellierung von Umfragen

Zusammenfassung

Mit dem vorhandenen Wissen und Forschungsinstrumenten steigen wir in diesem Kapitel in die beurteilende Statistik ein. Wenn wir zum Beispiel erfahren wollen, wie stark eine Krankheit, eine Meinung oder eine Wahlpräferenz in der Bevölkerung verbreitet ist, hat man immer die Möglichkeit, alle zu befragen oder zu untersuchen. Dies entspricht einem riesigen Aufwand. Eine effiziente Alternative besteht darin, nur einen Teil zu befragen und zu versuchen, auf Grund der erhaltenen Statistik (die Proportionalitäten) auf die Proportionalitäten in der ganzen Bevölkerung zu schließen. In diesem Kapitel zeigen wir, wie man Umfragen gestalten und auswerten kann.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

10. Hypothesentests

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird eine Methode vorgestellt, die es erlaubt auf Grund einer zufälligen Stichprobe etwas über die Realität zu lernen. Dazu muss zu Beginn eine Annahme, die sogenannte Nullhypothese, über die unbekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung getroffen werden. Zeigt dann eine zufällige Stichprobe ein Resultat, das unter der getroffenen Hypothese sehr unwahrscheinlich ist, so wird man die Annahme als unrealistisch betrachten. Man schließt dann auf das Gegenteil der Annahme. Das Vorgehen entspricht eine Widerspruchsbeweis, allerdings mit dem Unterschied, dass die Schlüsse wahrscheinlichkeitstheoretischen Charakter haben.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

11. Experimentieren mit dem Computer

Zusammenfassung

Manche Situationen sind sehr komplex und eine theoretische Modellierung mit entsprechender Berechnung äußerst schwierig und aufwändig. Wenn man sich mit einer guten Abschätzung zufriedengeben kann, so hat man die Möglichkeit, die gegebene Situation mit einer Computersimulation zu analysieren. Durch eine mehrfache Wiederholung der Computersimulation kann man sich so eine Vorstellung verschaffen, welche Ausgänge möglich sind und wie häufig sie vorkommen. Die Methode, die wir vorstellen, ist unter dem Namen Monte Carlo Methode bekannt.

Konkrete Programme werden dabei in der Sprache Python beschrieben.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

12. Lineare Regression

Zusammenfassung

In diesem letzten Kapitel untersuchen wir eine ganz neue Situation, bei der zwei Variablen, welche messbar sind, wie zum Beispiel das Alter, das Gewicht oder die Körpergröße einer Person betrachtet werden. Besonders von Interesse ist die Frage, ob die Werte einer gegebenen Variablen genutzt werden können, um die Werte der anderen annähernd vorhersagen zu können. Kann man auf Grund der Kenntnis der Größe einer Person auf ihr Gewicht schließen? Sicherlich geht dies nicht auf eine eindeutige Art und Weise. Was wir als Antwort erwarten können ist eine Gesetzmäßigkeit, von der es aber in konkreten Fällen Abweichungen geben kann.

Michael Barot, Juraj Hromkovič

Backmatter

Titel: Stochastik 2
verfasst von: Michael Barot
Juraj Hromkovič
Verlag: Springer International Publishing
Electronic ISBN: 978-3-030-45553-8
Print ISBN: 978-3-030-45552-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-45553-8