2025 | Buch

Stochastik für das Informatikstudium

Eine Einführung in einheitlich strukturierten Lerneinheiten

verfasst von: Noemi Kurt

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch führt in 14 einheitlich gegliederten Kapiteln in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ein. Es richtet sich an Studierende der Informatik und technischer Fachrichtungen ab dem dritten Studiensemester sowie an entsprechende Lehrende, die eine passgenaue Auswahl für eine einsemestrige Vorlesung suchen.

Dank der vielen durchgerechneten Beispiele und der Übungsaufgaben mit Lösungen kann das Buch leicht im Selbststudium oder als Begleitliteratur zur Vorlesung verwendet werden. Die Formulierung von Lernzielen, Angaben zu den benötigten Vorkenntnissen und klare Zusammenfassungen zu jedem Kapitel erleichtern die Orientierung. Neben einer sorgfältigen Einführung der Grundlagen geben weiterführende Kapitel zu Markov-Ketten, Warteschlangen oder Monte-Carlo-Simulation Ausblicke in Anwendungsbereiche der Stochastik und in die stochastische Modellierung. Leserinnen und Leser erhalten so ein solides mathematisches Fundament, um die Stochastik im weiteren Studium und in der Praxis auch in komplexen Situationen anwenden zu können.

Für die 2. Auflage wurde der Text noch stimmiger strukturiert und an etlichen Stellen überarbeitet. Außerdem wurden über 160 digitale Flashcards ergänzt: Diese sind in der Springer-Nature-Flashcards-App jederzeit zugänglich und ermöglichen das Lernen und Wiederholen auch unterwegs und zwischendurch.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Frontmatter

1. Endliche Wahrscheinlichkeitsräume

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Wahrscheinlichkeitsräume eingeführt. Dies ist der mathematische Rahmen, in dem üblicherweise wahrscheinlichkeitstheoretische Fragestellungen formuliert werden. Es werden Grundbegriffe und Notationen eingeführt, um die Wirklichkeit in einer Art und Weise zu formalisieren und zu modellieren, welche die präzise mathematische Behandlung möglich macht. In Wahrscheinlichkeitsräumen können Ereignisse definiert werden, für welche man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann. Neben den formalen Grundbegriffen und Axiomen werden erste elementare Beispiele gerechnet.

Noemi Kurt

2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir etwas komplexere Situationen betrachten. Insbesondere interessieren wir uns für Wahrscheinlichkeiten bei wiederholt ausgeführten oder mehrstufigen Zufallsexperimenten. Dabei stellt sich die Frage, inwiefern partielle Informationen über das Ergebnis eines Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeiten beeinflussen. Zentrale Begriffe sind dabei bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Unabhängigkeit von Ereignissen. Außerdem wird die sogenannte Bayes’sche Umkehrformel hergeleitet und in Beispielen angewandt.

Noemi Kurt

3. Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungen

Zusammenfassung

In Anwendungen kommen zufällige Ereignisse oder Abläufe und deren Wahrscheinlichkeiten oft in komplexen Situationen vor. In solchen Situationen ist es meist nicht möglich oder praktikabel, einen Wahrscheinlichkeitsraum explizit anzugeben. Man verwendet zur Modellierung stattdessen geeignete Zufallsvariablen. Oft kann man unter sinnvollen Modellannahmen Aussagen über deren Verteilung treffen, welche es erlauben, wichtige Aspekte des Problems zu beschreiben. Diese beiden zentralen Begriffe werden wir in diesem Kapitel einführen und diskutieren. Oft ist es nicht möglich, einen ganzen Sachverhalt mit nur einer Zufallsvariablen zu beschreiben. Es werden zwei oder mehr Zufallsvariablen benötigt, die sich unter Umständen gegenseitig beeinflussen. Deren gemeinsame Verteilung, bedingte Verteilungen und den Begriff der Unabhängigkeit werden wir ebenfalls diskutieren.

Noemi Kurt

4. Wichtige diskrete Verteilungen

Zusammenfassung

Zufällige Abläufe werden mit Zufallsvariablen modelliert und durch deren Verteilung beschrieben. Die genaue Form der Verteilung wird durch bestimmte Eigenschaften des zufälligen Ablaufs bestimmt. Durch den mathematischen Formalismus kann man gemeinsame Eigenschaften von Zufallsexperimenten identifizieren, die auf gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilungen führen. Deshalb treten in ganz unterschiedlichen Situationen immer wieder dieselben Verteilungen auf. In diesem Kapitel lernen wir die wichtigsten diskreten Verteilungen kennen. Wir sehen, in welchen Situationen sie auftreten, und lernen Zusammenhänge und zentrale Eigenschaften dieser Verteilungen kennen.

Noemi Kurt

5. Kenngrößen für Zufallsvariablen

Zusammenfassung

Die Verteilung enthält im Prinzip alle Informationen über die zugehörigen Zufallsvariablen. Jedoch ist es nicht immer einfach und teilweise aufwendig, die Verteilung komplett zu bestimmen. Nicht immer sind auf den ersten Blick die für ein konkretes Problem relevanten Angaben erkennbar. Ziel dieses Kapitels ist es deshalb, einige Kenngrößen zu identifizieren, die bereits zentrale Informationen über eine Zufallsvariable enthalten, und die in vielen Fällen einfach zu berechnen sind. Konkret werden der Erwartungswert und die Varianz von Zufallsvariablen eingeführt sowie Kovarianz und Korrelation als Kenngrößen für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen.

Noemi Kurt

6. Zufallsvariablen mit Dichte

Zusammenfassung

Nicht alle in der Wirklichkeit auftretenden Zufallsvariablen sind diskret. In diesem Kapitel führen wir deshalb zuerst einige Begriffe für allgemeine Zufallsvariablen ein, und lernen dann einige besonders wichtige Verteilungen kennen, die mithilfe einer Dichte beschrieben werden können. Mithilfe von Dichten können Wahrscheinlichkeiten und Kenngrößen berechnet werden. Wichtige Beispiele sind die Normalverteilung und die Exponentialverteilung. Außerdem werden mehrdimensionale Zufallsvariablen mit Dichten eingeführt, sowie gemeinsame Verteilungen, Unabhängigkeit und bedingte Verteilungen mit Dichten diskutiert. Zudem wird kurz auf wichtige Eigenschaften der mehrdimensionalen Normalverteilung eingegangen.

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7. Grenzwertsätze

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir einige Sätze über allgemeine Zufallsvariablen formulieren. Wir beginnen mit einigen Konzentrationsungleichungen, mit deren Hilfe Abschätzungen an Wahrscheinlichkeiten der Form \(\mathbb {P}(X\geq a)\) gefunden werden können. Anschließend werden Grenzwertsätze (das Gesetz der großen Zahlen und der entrale Grenzwertsatz) formuliert. Dabei werden nun nicht mehr eine oder endlich viele Zufallsvariablen betrachtet, sondern Folgen von Zufallsvariablen, und deren Konvergenzverhalten untersucht. Diese Sätze bilden die Grundlage für eine Vielzahl von Anwendungen der Stochastik und die Basis der mathematischen Statistik.

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Einführung in die Statistik

Frontmatter

8. Parameterschätzung

Zusammenfassung

Im ersten Kapitel zur Statistik widmen wir uns einem der Grundprobleme der Statistik, nämlich der Schätzung von Parametern. Das bedeutet, dass aus gemessenen Daten relevante Kenngrößen oder Verteilungsparameter der zugrunde liegenden Verteilung geschätzt oder approximiert werden. Dabei müssen normalerweise gewisse Annahmen getroffen werden, z. B. zur Unabhängigkeit der involvierten Zufallsvariablen. Es gibt viele verschiedene Methoden für die Parameterschätzung. Wir betrachten hier klassische Schätzer für wichtige Kenngrößen, sowie die Methode der Maximum-Likelihood-Schätzung und ein Beispiel für einen Bayes-Schätzer. Ebenfalls als Schätzproblem aufgefasst werden kann die Bestimmung einer Regressionsgeraden.

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9. Konfidenzintervalle

Zusammenfassung

Bei der Parameterschätzung möchte man erreichen, dass ein geschätzter Parameter möglichst nahe am echten, unbekannten Wert ist. Jedoch ist es auch bei Schätzern mit günstigen Eigenschaften kaum möglich, dass der Schätzer exakt gleich dem echten Parameter entspricht, er wird immer leicht davon abweichen. Mithilfe von Konfidenzintervallen bzw. Intervallschätzern kann die Wahrscheinlichkeit von solchen Abweichungen kontrolliert werden. Dabei konstruiert man Teilmengen des Parameterbereichs, welche den echten Parameter mit hoher Wahrscheinlichkeit enthalten.

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10. Hypothesentests

Zusammenfassung

Hypothesentests gehören zu den grundlegenden Methoden der Statistik. Sie haben das Ziel, Annahmen über Messwerte mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden zu überprüfen. Dabei wird untersucht, ob die gemessenen Werte unter der getroffenen Annahme sehr unwahrscheinlich sind. Sind sie das, wird die Annahme verworfen, und das Gegenteil für (vorläufig) richtig angenommen. Sind die Messwerte hingegen unter der getroffenen Annahme im normalen Bereich der Wahrscheinlichkeiten, wird die Annahme beibehalten. Zur Überprüfung der Annahme verwendet man üblicherweise Konfidenzintervalle, Vergleiche mit Quantilen entsprechender Verteilungen oder p-Werte.

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Markov-Ketten und Anwendungen

Frontmatter

11. Markov-Ketten

Zusammenfassung

Markov-Ketten modellieren den zeitlichen Verlauf gewisser Prozesse, bei denen zufällige Übergänge ausgeführt werden. Zu ihrer Beschreibung werden stochastische Matrizen verwendet. In diesem Kapitel lernen wir die wichtigsten Aspekte der Theorie von Markov-Ketten in diskreter Zeit kennen, insbesondere was deren Langzeitverhalten angeht. Anwendungen gibt es beispielsweise in der Modellierung von Wartesystemen oder im PageRank-Algorithmus von Google.

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12. Simulation von Zufallsvariablen, Monte Carlo und Markov-Ketten Monte Carlo

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden einige Aspekte der Simulation von Zufallsvariablen beleuchtet. Dabei wird gezeigt, wie mit elementaren Mitteln aus gleichverteilten Zufallsvariablen auf \([0,1]\) wichtige vorgegebene Verteilungen erzeugt werden können. Weiter werden Grundprinzipien der Monte Carlo-Simulation eingeführt und an Beispielen erläutert. Im Fall von Markov-Ketten Monte Carlo-Methoden besteht dies im wiederholten Aufrufen einer Markov-Kette, bis diese annähernd ihre stationäre Verteilung erreicht hat. Von praktischer Relevanz ist dabei auch die Frage, wie schnell eine Markov-Kette sich ihrer stationären Verteilung annähert.

Noemi Kurt

13. Verzweigungsprozesse und erzeugende Funktionen

Zusammenfassung

Verzweigungsprozesse können als Algorithmus für die Erzeugung zufälliger Bäume aufgefasst werden. Wir betrachten in diesem Kapitel eine spezielle Konstruktion, welche auf den sogenannten Bienaymé-Galton-Watson-Prozess führt. Wir führen wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen ein, um das Aussterbeverhalten solcher Prozesse zu analysieren.

Noemi Kurt

14. Warteschlangenmodelle und Markov-Ketten in stetiger Zeit

Zusammenfassung

Warteschlangen (Queues) bezeichnen Systeme von Bedienern (Servern) und Kunden (Jobs). Dabei werden die Kunden von den Bedienern nach vorgegebenen Regeln abgearbeitet. In solchen Modellen sind Fragen der Stabilität von Interesse, d.h., ob die Server die Menge der eingehenden Jobs abarbeiten können. Wir betrachten eine Klasse von Warteschlangenmodellen in stetiger Zeit, bei denen gewisse spezielle Eigenschaften der Exponentialverteilung eine wichtige Rolle spielen. Diese führen dann allgemeiner auf die Konstruktion von Markov-Ketten in stetiger Zeit mit endlichem Zustandsraum.

Noemi Kurt

Backmatter

Titel: Stochastik für das Informatikstudium
verfasst von: Noemi Kurt
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-71048-7
Print ISBN: 978-3-662-71047-0
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-71048-7