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Über dieses Buch

Als weiterer Vertreter der "Einsteiger"-Reihe ist das vorliegende Buch als Lehr­ buch zwischen gymnasialem Mathematikunterrricht und Universität konzipiert. Es wendet sich damit insbesondere an Lehrer/-innen, Studierende des Lehramtes, Studienanfänger an Fachhochschulen, Berufsakademien und Universitäten sowie "Quer-Einsteiger" aus Industrie und Wirtschaft. Durch • Lernzielkontrollen am Ende der Kapitel, • mehr als 140 Übungsaufgaben mit Lösungen und • ein Symbol-sowie ein ausführliches Sachwortverzeichnis eignet es sich insbesondere zum Selbststudium und als vorlesungsbegleitender Text. Um den Leser möglichst behutsam in die Stochastik, die Kunst des geschickten Vermutens, einzuführen, wurden die mathematischen Vorkenntnisse bewusst so gering wie möglich gehalten. So reicht für die ersten 22 Kapitel abgesehen von einem Beweis in Kapitel 10 ein Abiturwissen in Mathematik völlig aus. Erst ab Kapitel 23 (diskrete Wahrscheinlichkeitsräume) wird eine gewisse Vertrautheit mit Begriffen und Methoden der Analysis vorausgesetzt. Hier können die im Li­ teraturverzeichnis aufgeführten Bücher (HEU) und (WAL) als Nachschlagewerke dienen. Der Konzeption dieses Buches liegt die Erfahrung zugrunde, dass die spezifischen Denkweisen der Stochastik - insbesondere die Erfassung des Wahrscheinlich­ keitsbegriffes - den Studierenden anfangs große Schwierigkeiten bereiten. Hinzu kommt das "harte Geschäft" der Modeliierung zufallsabhängiger Vorgänge als ein wichtiges Aufgabenfeld der Stochastik. Da die Konstruktion geeigneter Mo­ delle im Hinblick auf die vielfältigen Anwendungen der Stochastik von Grund auf gelernt werden sollte, nimmt der Aspekt der Modellbildung einen breiten Raum ein. Hier mag es trösten, dass selbst Universalgelehrte wie Leibniz oder Galilei bei einfachen Zufallsphänomenen mathematische Modelle aufstellten, die sich nicht mit den gemachten "Beobachtungen des Zufalls" in Einklang bringen ließen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

0. Einleitung

Zusammenfassung
Welch ein Zufall! sagen wir häufig, um unsere Verwunderung über ein als „unwahrscheinlich“ erachtetes Ereignis auszudrücken. Der Zufall führt Regie bei den wöchentlichen Ziehungen der Lottozahlen, und er steht Pate bei Spielen wie Mensch-ärgere-Dich-nicht! oder Roulette, wobei Zufall meist mit Glück (Glücksgöttin Fortuna) oder Pech (Pechvogel, Pechsträhne) verbunden wird. Um allen Mannschaften die „gleiche Chance“ zu sichern, werden die Spielpaarungen des Pokalwettbewerbs des Deutschen Fußballbundes (DFB-Pokal) vor jeder Runde unter den noch verbliebenen Mannschaften durch das Los bestimmt, d.h. durch die „höhere Gewalt des Zufalls“ festgelegt. Neuerdings entscheidet das Los sogar bei strittigen Fragen über das Abstimmungsverhalten im Bundesrat (so beschlossen bei den Koalitionsverhandlungen 1996 in Rheinland-Pfalz).
Norbert Henze

1. Zufallsexperimente, Ergebnismengen

Zusammenfassung
Ein wesentlicher Aspekt der Stochastik ist die Modellierung zufallsabhängiger Phänomene. Dabei ist uns das Wort Modell in der Bedeutung einer kleinen plastischen Ausführung eines u.U. erst geplanten Objektes (Modellflugzeug, Modell eines Einkaufszentrums, eines Denkmals, einer Sportstätte o.ä.) vertraut. Natürlich kann ein Modell nicht alle Einzelheiten des Originals aufweisen; ein gutes Modell sollte aber alle wesentlichen Merkmale des Originals besitzen.
Norbert Henze

2. Ereignisse

Zusammenfassung
Bei der Durchführung eines Zufallsexperimentes interessiert oft nur, ob der Ausgang zu einer gewissen Menge von Ergebnissen gehört. So kommt es zu Beginn des Spiels Mensch-ärgere-Dich-nicht! nicht auf die genaue Augenzahl an, sondern nur darauf, ob eine Sechs geworfen wird oder nicht. Bei Spielen mit zwei Würfeln mag es in einer bestimmten Situation nur wichtig sein, dass die Augensumme beider Würfe größer als 8 ist.
Norbert Henze

3. Zufallsvariablen

Zusammenfassung
Viele Ereignisse lassen sich gerade deshalb so einfach in Worten beschreiben, weil sie sich auf ein bestimmtes Merkmal der Ausgänge eines Zufallsexperimentes beziehen. Solche Merkmale sind beispielsweise die größte Augenzahl oder die Summe der Augenzahlen beim wiederholten Würfelwurf. Der anschaulichen Vorstellung von einem Merkmal entspricht im mathematischen Modell für ein Zufallsexperiment der Begriff einer Zufallsvariablen. In diesem Kapitel lernen wir Zufallsvariablen als natürliches und suggestives Darstellungsmittel für Ereignisse kennen. Dass diese Namensgebung auch hält, was sie verspricht, nämlich eine mit dem Zufall variierende Größe, zeigt die folgende formale Definition.
Norbert Henze

4. Relative Häufigkeiten

Zusammenfassung
Jeder von uns wird die Chance, beim Wurf eines Markstücks Zahl zu erhalten, höher einschätzen als die Chance, beim Würfelwurf eine Sechs zu werfen. Eine einfache Begründung hierfür mag sein, dass es beim Wurf einer Münze nur zwei, beim Würfelwurf hingegen sechs mögliche Ergebnisse gibt.
Norbert Henze

5. Grundbegriffe der deskriptiven Statistik

Zusammenfassung
Wohl jeder hat das Wort Statistik schon einmal gehört oder benutzt. Es gibt Aussenhandelsstatistiken, Bevölkerungsstatistiken, Wahlstatistiken, Arbeitslosenstatistiken, Insolvenzstatistiken, Betriebsstatistiken, Schadensstatistiken, Tuberkulosestatistiken, Einkommensstatistiken usw. Derartige Statistiken überhäufen uns täglich mit Daten aus fast allen Lebensbereichen, und oft wird Statistik mit Zahlenkolonnen, Tabellen und grafischen Darstellungen gleichgesetzt. Diese verengte Sichtweise der Statistik als amtliche Statistik — institutionalisiert z.B. im Statistischen Bundesamt mit Sitz in Wiesbaden und den Statistischen Landesämtern — spiegelt recht gut den historischen Ursprung des Begriffes Statistik wider1.
Norbert Henze

6. Endliche Wahrscheinlichkeitsräume

Zusammenfassung
Aufgrund der in Kapitel 4 angestellten Überlegungen können relative Häufigkeiten im Fall wiederholbarer Experimente als „empirische Gewissheitsgrade“ für das Eintreten von Ereignissen angesehen werden. Die Frage, auf welche Fundamente sich eine „Mathematik des Zufalls“ gründen sollte, war lange Zeit ein offenes Problem; erst 1933 wurde durch A. N. Kolmogorow1 eine befriedigende Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung erreicht (siehe hierzu [KR2]).
Norbert Henze

7. Laplace—Modelle

Zusammenfassung
Es gibt zahlreiche Zufallsexperimente mit endlich vielen Ausgängen, bei denen wir keinen Ausgang vor dem anderen als „wahrscheinlicher“ oder „unwahrscheinlicher“ ansehen. So würden wir etwa bei einem exakt gefertigten Würfel alle sechs Ausgänge als „gleich wahrscheinlich“ erachten. Eine naheliegende Modellierung derartiger Experimente besteht darin, allen Elementarereignissen {ω} die gleiche Wahrscheinlichkeit p(ω) zuzuordnen.
Norbert Henze

8. Elemente der Kombinatorik

Zusammenfassung
Erscheint ein Laplace-Modell in einer Situation angemessen, so können wir nach (7.1) die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A als den Quotienten
$$ P\left( A \right) = \frac{{Anzahl\;der\;A\;,,g\ddot unstigen''\;F\ddot alle}} {{Anzahl\;aller\;m\ddot oglichenF\ddot alle}} $$
ansehen. Es entsteht somit zwangsläufig das Problem, Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen der jeweils günstigen und der insgesamt möglichen Ergebnisse (Fälle) zu bestimmen. Folglich ist es von Nutzen, sich das kleine Einmaleins der Kombinatorik, der Lehre des Abzählens, anzueignen.
Norbert Henze

9. Urnen- und Teilchen/Fächer-Modelle

Zusammenfassung
Viele stochastische Vorgänge lassen sich in bequemer Weise durch Urnen- oder durch Teilchen/Fächer-Modelle beschreiben. Der Vorteil einer solchen abstrakten Beschreibung besteht insbesondere darin, dass alle unwesentlichen Aspekte der ursprünglichen „eingekleideten“ Aufgabe wegfallen. Als Beispiel für diesen Abstraktionsprozess betrachten wir eine Standard-Situation der statistischen Qualitätskontrolle.
Norbert Henze

10. Das Paradoxon der ersten Kollision

Zusammenfassung
Bekanntlich ist die Urlaubs- und Ferienzeit relativ arm an aufregenden Ereignissen, und wir sind längst daran gewöhnt, dass Politiker aller Couleur dieses „Sommerloch“ durch ungewöhnliche Aktionen oder Wortbeiträge zur Selbstdarstellung nutzen. Umso erfreulicher ist es, dass wir die erste Sommerloch-Sensation des Jahres 1995 nicht der Politik, sondern dem reinen Zufall verdankten!
Norbert Henze

11. Die Formel des Ein- und Ausschließens

Zusammenfassung
Im Folgenden lernen wir eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen kennen. Die Bedeutung dieser Formel lässt sich schon allein daraus ersehen, dass sie unter verschiedenen Namen wie Siebformel, Formel von Poincaré 1 -Sylvester 2, Formel des Ein- und Ausschließens oder Allgemeines Additionsgesetz bekannt ist.
Norbert Henze

12. Der Erwartungswert

Zusammenfassung
In diesem Kapitel lernen wir mit dem Erwartungswert einen weiteren Grundbegriff der Stochastik kennen. Da die Namensgebung Erwartungswert historisch gesehen aus der Beschäftigung mit Glücksspielen entstand1, wollen wir die formale Definition des Begriffes auch anhand einer Glücksspiel-Situation motivieren.
Norbert Henze

13. Stichprobenentnahme: Die hypergeometrische Verteilung

Zusammenfassung
Aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln (Deutung z.B. als defekte/intakte Exemplare einer Warenlieferung) werden rein zufällig nacheinander ohne Zurücklegen n (nr + s) Kugeln entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Stichprobe genau k rote Kugeln enthält?
Norbert Henze

14. Mehrstufige Experimente

Zusammenfassung
Viele stochastische Vorgänge bestehen aus Teilexperimenten (Stufen), welche der Reihe nach durchgeführt werden. Eine adäquate Modellierung solcher mehrstufigen Experimente lässt sich von den folgenden Überlegungen leiten:
Besteht das Experiment aus insgesamt n Stufen, so stellen sich seine Ergebnisse als n-Tubel ω = (a 1, a 2, …, a n ) dar, wobei a j den Ausgang des j-ten Teilexperimentes angibt.
Norbert Henze

15. Das Pólyasche Urnenschema

Zusammenfassung
Das nachfolgende Urnenschema stellt eine direkte Verallgemeinerung von Beispiel 14.1 dar. Es wurde von G. Pólya1 als einfaches Modell zur Ausbreitung ansteckender Krankheiten vorgeschlagen.
Norbert Henze

16. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Zusammenfassung
In diesem etwas längeren Kapitel geht es hauptsächlich um Fragen der vernünftigen Verwertung von Teilinformationen über stochastische Vorgänge und um den Aspekt des Lernens aufgrund von Erfahrung. Zur Einstimmung betrachten wir einige Beispiele.
Norbert Henze

17. Stochastische Unabhängigkeit

Zusammenfassung
Nach einer ausgiebigen Beschäftigung mit bedingten Wahrscheinlichkeiten steht in diesem Kapitel die stochastische Unabhängigkeit als eine weitere zentrale Begriffsbildung der Stochastik im Mittelpunkt.
Norbert Henze

18. Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen

Zusammenfassung
Ist X: Ω → ℝ eine Zufallsvariable, welche die Werte x 1,..., x r annimmt, so heißt nach 6.3 das System der Wahrscheinlichkeiten P(X = x j ), j = 1,..., r, die Verteilung von X. Im Folgenden wird es häufig vorkommen, dass wir mehrere Zufallsvariablen über demselben W-Raum (Ω, P) betrachten.
Norbert Henze

19. Die Binomialverteilung und die Multinomialverteilung

Zusammenfassung
In diesem Kapitel lernen wir mit der Binomialverteilung und der Multinomialverteilung zwei grundlegende Verteilungsgesetze der Stochastik kennen. Beide Verteilungen treten in natürlicher Weise bei Zählvorgängen in unabhängigen und gleichartigen Experimenten auf.
Norbert Henze

20. Pseudozufallszahlen und Simulation

Zusammenfassung
Die Simulation (von lateinisch simulare: ähnlich machen, nachahmen) stochastischer Vorgänge im Computer ist ein wichtiges Werkzeug zur Analyse von Zufallsphänomenen, welche sich aufgrund ihrer Komplexität einer analytischen Behandlung entziehen. Beispiele hierfür sind Lagerhaltungsprobleme mit komplizierter zufallsabhängiger Nachfrage, die möglichst naturgetreue Nachbildung von Niederschlagsmengen an einem Ort im Jahresverlauf oder das „Durchspielen“ von Verkehrsabläufen mit zufällig ankommenden Autos an einer Ampelkreuzung.
Norbert Henze

21. Die Varianz

Zusammenfassung
Während der Erwartungswert nach 12.6 den Schwerpunkt einer Verteilung und somit deren „grobe Lage“ beschreibt, fehlt uns bislang eine Kenngröße zur Messung der Stärke der „Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert“. Als Beispiel betrachten wir die Binomialverteilung Bin(8, 0.5) und die hypergeometrische Verteilung Hyp(8, 9, 9) (Bild 21.1). Bei gleichem Erwartungswert 4 unterscheiden sie sich offenbar dadurch, dass die Wahrscheinlichkeitsmassen der Binomialverteilung im Vergleich zur hypergeometrischen Verteilung „stärker um den Wert 4 streuen“.
Norbert Henze

22. Kovarianz und Korrelation

Zusammenfassung
In diesem Kapitel lernen wir mit der Kovarianz und der Korrelation zwei weitere Grundbegriffe der Stochastik kennen. Dabei sei im Folgenden ein fester W-Raum (Ω, P) für alle auftretenden Zufallsvariablen zugrunde gelegt.
Norbert Henze

23. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Zusammenfassung
Die Grenzen der bislang betrachteten endlichen W-Räume als Modelle für Zufallsvorgänge werden schon bei einfachen Wartezeitproblemen deutlich (siehe Kapitel 24). Um die mathematischen Hilfsmittel so einfach wie möglich zu halten, beschränken wir uns bei einer Erweiterung der Theorie auf den Fall diskreter Wahrscheinlichkeitsräume, d.h. auf die Situation einer abzählbar-unendlichen Grundmenge Ω = {ω1, ω2, ...}.
Norbert Henze

24. Wartezeitprobleme

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden verschiedene Wartezeitprobleme wie das Warten auf Treffer in einer Bernoulli-Kette oder das Sammlerproblem (vgl. Kapitel 9) behandelt.
Norbert Henze

25. Die Poisson-Verteilung

Zusammenfassung
In diesem Kapitel lernen wir mit der Poisson 1-Verteilung ein weiteres wichtiges Verteilungsgesetz der Stochastik kennen. Die Poisson-Verteilung entsteht als Approximation der Binomialverteilung Bin(n, p) (vgl. Kapitel 19) bei großem n und kleinem p. Genauer gesagt betrachten wir eine Folge von Verteilungen Bin(n, p n ), n ≥ 1, mit konstantem Erwartungswert
$$\lambda:=n\cdot p_n,\,0<\lambda<\infty$$
(25.1)
setzen also p n := λ/n. Da Bin(n, p n ) die Verteilung der Trefferanzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p n angibt, befinden wir uns in einer Situation, in der eine wachsende Anzahl von Versuchen eine immer kleiner werdende Trefferwahrscheinlichkeit dahingehend kompensiert, dass die erwartete Trefferanzahl konstant bleibt.
Norbert Henze

26. Gesetz großer Zahlen

Zusammenfassung
In Kapitel 6 haben wir die Erfahrungstatsache des empirischen Gesetzes über die Stabilisierung relativer Häufigkeiten zur Motivation der axiomatischen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten als mathematischen Objekten benutzt (vgl. die Diskussion nach Definition 6.1). In gleicher Weise wurde die Definition des Erwartungswertes einer Zufallsvariablen über die „auf lange Sicht erwartete Auszahlung pro Spiel“ motiviert (vgl. Kapitel 12). Im Gegensatz dazu geht das nachfolgende schwache Gesetz großer Zahlen vom axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff aus und stellt innerhalb eines stochastischen Modells einen Zusammenhang zwischen arithmetischen Mitteln und Erwartungswerten her. Im Spezialfall von Indikatorfunktionen ergibt sich hieraus ein Zusammenhang zwischen relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten (siehe 26.3).
Norbert Henze

27. Zentraler Grenzwertsatz

Zusammenfassung
Zentrale Grenzwertsätze gehören zu den schönsten und im Hinblick auf statistische Fragestellungen (vgl. Kapitel 28 und 29) wichtigsten Resultaten der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Norbert Henze

28. Schätzprobleme

Zusammenfassung
Unser Denken und Handeln stützt sich häufig auf Stichproben. In der Marktforschung geben Stichprobenverfahren wichtige Entscheidungshilfen zur Einschätzung der Absatzchancen für neue Produkte. Einschaltquoten von Fernsehsendungen werden täglich auf Stichprobenbasis festgestellt. Qualitätskontrollen erfolgen mit Hilfe von Stichproben, und Steuererklärungen werden mangels Personal in den Finanzämtern nur stichprobenartig genauer unter die Lupe genommen.
Norbert Henze

29. Statistische Tests

Zusammenfassung
Mit der Verfügbarkeit zahlreicher Statistik-Software-Pakete erfolgt das Testen statistischer Hypothesen in den empirischen Wissenschaften vielfach nur noch per Knopfdruck nach einem beinahe schon rituellen Schema. Statistische Tests erfreuen sich u.a. deshalb einer ungebrochenen Beliebtheit, weil
  • ihre Ergebnisse objektiv und exakt zu sein scheinen,
  • alle von ihnen Gebrauch machen,
  • der „Nachweis der statistischen Signifikanz“ eines Resultates durch einen Test vielfach zum Erwerb eines Doktortitels notwendig ist.
Norbert Henze

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