14. Stochastische Differentialgleichungen

In diesem Kapitel werden stochastische Differentialgleichungen (SDEs) eingeführt und ihre Bedeutung in der stochastischen Modellierung untersucht. SDEs verallgemeinern deterministische Differentialgleichungen durch die Einbeziehung eines zufälligen Störfaktors, was es ermöglicht, Systeme zu modellieren, die Unsicherheiten unterliegen. Der Text behandelt die Konzepte von Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von SDEs, sowohl im starken als auch im schwachen Sinne. Es wird gezeigt, dass SDEs unter minimalen Regularitätsannahmen an den Driftkoeffizienten schwache Existenz und Eindeutigkeit haben können, was als Regularisierungseffekt der Brownschen Bewegung bezeichnet wird. Zudem wird der Zusammenhang zwischen starker und schwacher Lösbarkeit untersucht, und es werden a-priori-Schätzungen für die Lösungen von SDEs unter bestimmten Annahmen an die Koeffizienten abgeleitet. Das Kapitel schließt mit einer Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse und Grundideen, die man sich merken sollte.