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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

7. Stochastische Differenzialrechnung

verfasst von : Torsten Becker, Richard Herrmann, Christian Heumann, Stefan Pilz, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wellisch

Erschienen in: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Die stochastische Differenzialrechnung und stochastische Differenzialgleichungen stellen das Fundament der Modellierung zeitabhängiger Prozesse insbesondere in der modernen Finanzmathematik dar. Pricing-Modelle für Finanzinstrumente und die Modellierung von Kapitalmärkten sind ohne stochastische Differenzialgleichungen kaum mehr denkbar. Vor diesem Hintergrund werden in diesem Kapitel in einer kompakten Weise die Grundlagen der stochastischen Differenzialrechnung dargestellt, beginnend mit dem Wiener-Prozess, der Definition des stochastischen Integrals nach Itô sowie seinen Rechenregeln, insbesondere der berühmten Itô-Formel. Darauf aufbauend werden stochastische Differenzialgleichungen betrachtet und verschiedene analytische Lösungsstrategien vorgestellt. Sind analytische Lösungsverfahren nicht möglich, so kann auf Simulationsmethoden zurückgegriffen werden, deren Darstellung das vorliegende Kapitel abrundet.

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Fußnoten
1
Zwei stochstische Prozesse \((X_t)\) und \((Y_t)\) heißen stochastisch unabhängig, falls für jede Wahl von Zeitpunkten \(t_1,\ldots ,t_n\) und \(s_1,\ldots ,s_m\) die Zufallsvektoren \((X_{t_1},\ldots ,X_{t_n})^\top \) und \((Y_{s_1},\ldots ,Y_{s_m})^\top \) stochastisch unabhängig sind.
 
2
Im Rahmen der stochastischen Differentialrechnung wird sie oft auch Euler-Maruyama-Methode genannt.
 
Literatur
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Metadaten
Titel
Stochastische Differenzialrechnung
verfasst von
Torsten Becker
Richard Herrmann
Christian Heumann
Stefan Pilz
Viktor Sandor
Dominik Schäfer
Ulrich Wellisch
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69532-6_7