Stochastische Methoden

Frontmatter

Kapitel I. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Zusammenfassung

Nach einer Einführung in praktische stochastische Problemstellungen werden wir in diesem Kapitel den zentralen Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie, nämlich den eines Zufallselements und seiner Verteilung, entwickeln.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel II. Drei Grundverfahren der mathematischen Statistik

Zusammenfassung

Die wichtigsten Ideen der klassischen mathematischen Statistik lassen sich alle in einer ganz einfachen Situation illustrieren, die zugleich von großer praktischer Bedeutung ist, nämlich der der Inferenz über eine Proportion in einer endlichen Grundmenge mit Hilfe einer daraus gezogenen ungeordneten Stichprobe ohne Wiederholung. Auf diese Weise werden sie nicht durch technische Dinge wie asymptotische Methoden verschleiert, und die Verfahren sind „exakt“ und nicht nur approximativ.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel III. Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

Zusammenfassung

Zwischen Ereignissen gibt es Beziehungen, die sich nicht in deterministischen Kategorien wie „Folgerung“ oder „Unvereinbarkeit“ ausdrücken, sondern durch wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffe wie „bedingte Wahrscheinlichkeit“ und „Unabhängigkeit“.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel IV. Momente

Zusammenfassung

Der Wert einer Zufallsvariablen hängt, wie durch den Namen ausgedrückt, vom Zufall ab, ebenso wie das Eintreten oder Nichteintreten eines Ereignisses. Es erhebt sich die Frage nach ihrem „mittleren“ oder „durchschnittlichen“ Wert, analog zur Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses. Definition und Eigenschaften dieses Begriffs, den man meist „Erwartungswert“ nennt, bilden den Inhalt des gegenwärtigen Kapitels.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel V. Statistische Inferenz über unbekannte Wahrscheinlichkeiten

Zusammenfassung

Bisher haben wir Statistik mit einer „exakten“ Verteilung betrieben, die sich in natürlicher Weise aus dem Problem ergab. Wir tun nun die ersten Schritte in Richtung auf asymptotische Methoden, und verwenden dazu die Hilfsmittel, die wir inzwischen erarbeitet haben.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel VI. Grenzwertsätze

Zusammenfassung

Die Binomialverteilungen hängen von zwei Parametern n und p ab, und zwar in relativ komplizierter Weise. Der in Abschnitt 2 abgeleitete Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace erlaubt es, kumulative Binomialwahrscheinlichkeiten für solche n und p, für die np(l — p) nicht allzu klein ist, nach einer linearen, von n und p in einfacher Weise abhängenden Transformation durch eine einzige Verteilung, die sogenannte Standard-Normalverteilung, anzunähern.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel VII. Allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie

Zusammenfassung

In der Praxis beobachtet man letzten Endes nur Zufallsvariable, deren Werte einer von vornherein gegebenen endlichen Menge angehören, z.B. der Menge aller Vielfachen von 10^−m unterhalb einer gewissen Schranke, wenn man alle Meßergebnisse durch auf m Ziffern nach dem Komma abgerundete Zahlen darstellt. Nichtsdestoweniger sind Modelle zufälliger Phänomene, die sich lediglich auf diskrete Wahrscheinlichkeitsräume stützen, sehr oft willkürlich, unnatürlich und nicht zweckmäßig. Wir werden daher in diesem Kapitel „allgemeine“ d.h. nicht notwendig diskrete, Wahrscheinlichkeitsräume definieren und konstruieren.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel VIII. Statistik normalverteilter Zufallsvariablen

Zusammenfassung

Wie wir gesehen haben, führen viele Probleme der Stochastik näherungsweise auf eine Normalverteilung. Wir werden daher in diesem Kapitel die Statistik normalverteilter Zufallsvariablen behandeln und uns zum Schluß überlegen, wieweit die Ergebnisse vermittels asymptotischer Methoden auch allgemeiner nützlich sein können.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel IX. Nichtparametrische Statistik

Zusammenfassung

Wir haben bisher vor allem drei statistische Modelle behandelt. Im ersten folgte die verwendete Statistik X. = X ₁ + … + X _n einer hypergeometrischen Verteilung r → h(r;n, R, N), r = 0,…,n, mit den drei Parametern n, R und N. Im zweiten waren die X _i unabhängig, und jedes hatte die Bernoullische Verteilung mit dem Parameter p, also X. die Binomialverteilung k → b(k;n, p). Im dritten Modell waren die X _i unabhängig nach N(μ,σ²) verteilte Variable mit demgemäß zwei Parametern μ und σ². In jedem Fall hatten wir es mit einer parametrischen Familie von Verteilungen zu tun.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel X. Regressions- und Varianzanalyse

Zusammenfassung

Die beiden Populationen, die wir uns im vorigen Abschnitt anschaulich im Hintergrund des Zweistichprobenproblems vorgestellt haben, lassen sich durch eine binäre Variable X beschreiben (die nicht mit den dort behandelten X _i verwechselt werden darf): X nimmt den Wert 1 in der ersten und den Wert 2 in der zweiten Population an. Dabei ist X also a priori keine Zufalls variable. Eine erste natürliche Verallgemeinerung würde m Populationen betreffen. Hier definiert X = j die j-te Population; man sagt auch, die j-te Population bestünde aus allen Elementen, für die sich X auf dem „Niveau“ j befindet. Das allgemeine Regressionsproblem ist nun das der Untersuchung einer Zufallsvariablen Y, die in gewisser Weise von Variablen X₁,…,X _l abhängt, deren jede verschiedene Niveaus, d. h. Werte, annehmen kann.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Kapitel XI. Simulation

Zusammenfassung

Unter Simulation versteht man das Erzeugen von Realisierungen von Zufallselementen mit einer gegebenen Verteilung durch einen geeignet konstruierten Mechanismus. Anders als in der Statistik ist diese Verteilung also bekannt. Simulationen gestatten, das Verhalten von Systemen mit Zufallskomponenten „experimentell“ zu untersuchen. In ähnlicher Weise erlauben sie, Eigenschaften statistischer Verfahren anhand künstlich erzeugter Daten zu studieren, was insbesondere dann nützlich ist, wenn diese Eigenschaften der Theorie unzugänglich bleiben. Schließlich sind sie auch Teile der statistischen Praxis, sei es, daß sie zur Konstruktion einer Stichprobe verwendet werden, sei es, daß sie in das Entscheidungsverfahren in Gestalt eines zusätzlichen Zufallsmechanismus eingehen.

Klaus Krickeberg, Herbert Ziezold

Backmatter