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Über dieses Buch

Dieses Buch führt mathematisch präzise in die stochastischen Modelle ein, die bei der Bewertung von Schadensbeträgen für Versicherungen von besonderer Bedeutung sind. Abgedeckt werden Modelle für kleine und große Schadensbeträge, Modelle für extreme Ereignisse, Risikomaße, sowie die stochastischen Prozesse der aktuariellen Risikotheorie: Zählprozesse, zusammengesetzte Prozesse, Erneuerungsprozesse und Poisson-Prozesse. Zentrales Thema ist die Bestimmung der Ruinwahrscheinlichkeit des Versicherers. In diesem Zusammenhang werden analytische Lösungen, asymptotische Approximationen sowie numerische Algorithmen wie die Monte-Carlo-Simulation vorgestellt.

Gute Grundkenntnisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie werden vorausgesetzt, doch ein Anhang mit den wichtigsten Resultaten erleichtert die Lektüre dieses Buches.

Das Buch ist geeignet für fortgeschrittene Bachelor- oder Masterstudierende der Mathematik oder Statistik mit entsprechender Vertiefungsrichtung. Darüber hinaus richtet es sich an Kandidaten, die das Diplom der Schweizerischen Aktuarvereinigung (SAV) erwerben oder sich auf das Diplom der Society of Actuaries (SOA) vorbereiten möchten. Auch praktizierende Versicherungsmathematiker, die ihre technischen Kenntnisse vertiefen wollen, werden angesprochen.

Die vorliegende zweite Auflage enthält theoretische Ergänzungen, insbesondere Resultate über die Fluktuationen der Summe und der zusammengesetzten Summe, d.h. des Gesamtschadensbetrages einer Periode. Darüber hinaus erleichtern nun neue Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade und mit ausführlichen Lösungen das Selbststudium.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Versicherungssysteme wurden entwickelt, um Einzelpersonen und Unternehmen vor hohen finanziellen Verlusten als Folge von unkontrollierten und zufälligen Ereignissen zu schützen, wie z. B. die Zerstörung von Eigentum durch Feuer, andauernde Krankheit, Bootsunfälle auf dem Meer und vieles andere. Eine Versicherung erlaubt es Unternehmen, riskante Operationen durchzuführen. So ermöglicht beispielsweise eine Transportversicherung den Außenhandel dadurch, dass sie die Auswirkungen von Gefahren, die vom Transport auf dem Wasserweg ausgehen, reduziert.
Riccardo Gatto

Kapitel 2. Modelle für individuelle Risiken

Zusammenfassung
In der Versicherungsmathematik werden absolut stetige (Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen über \(\mathbb {R}_+\) Verlust-Verteilungen genannt. Eine Verlust-Verteilung stellt ein elementares stochastisches Modell für ein individuelles Risiko der Versicherung dar, d. h. für den finanziellen Verlust eines einzelnen Schadens. In vielen praktischen Situationen kann ein extrem großer Schadensbetrag mit einer kleinen, aber noch bedeutenden Wahrscheinlichkeit vorkommen.
Riccardo Gatto

Kapitel 3. Zählprozesse und zusammengesetzte Prozesse

Zusammenfassung
Stochastische Prozesse stellen einen sehr wichtigen Bereich in der Wahrscheinlichkeitstheorie dar. Sie spielen eine wesentliche Rolle in allen angewandten Wissenschaften, in welchen dynamische stochastische Modelle eingesetzt werden: in der Meteorologie, in der Biologie, in den Finanzwissenschaften, in der aktuariellen Risikotheorie usw. So werden in aktuariellen Modellen Zählprozesse für die dynamische Aufzählung von Schäden in der Zeit verwendet.
Riccardo Gatto

Kapitel 4. Risikoprozess und Ruintheorie

Zusammenfassung
Wie schon in Abschn. 1.​1 erwähnt, kann ein typisches Versicherungsphänomen als finanzieller Behälter mit einem deterministischen Zufluss und einem zufälligen Abfluss dargestellt werden, s. Abb. 1.​1. Falls die Prämien zu niedrig wären oder ein außerordentlich großer Schaden stattgefunden hätte, würde der Pegel dieses Behälters unter null sinken.
Riccardo Gatto

Kapitel 5. Erneuerungstheorie

Zusammenfassung
Dieses Kapitel bietet eine kurze Einführung zur Erneuerungstheorie, die sich mit den bereits in Abschn. 3.​1 vorgestellten Erneuerungsprozessen befasst. Neben ihrer wichtigen Anwendung in der Ruintheorie spielt die Erneuerungstheorie auch eine wesentliche Rolle in der allgemeinen Versicherungsmathematik und wird daher eigens in diesem Kapitel behandelt.
Riccardo Gatto

Kapitel 6. Exponentieller Maßwechsel und Anwendungen zum Risikoprozess

Zusammenfassung
Ein wichtiges Thema in der Wahrscheinlichkeitstheorie bildet der Maßwechsel und hier der spezielle Fall des exponentiellen Maßwechsels. Sehr eng verwandt mit der Theorie der großen Abweichungen führt der exponentielle Maßwechsel zu wichtigen asymptotischen Approximationen.
Riccardo Gatto

Kapitel 7. Fluktuationen der Summe und der zusammengesetzten Summe

Zusammenfassung
Dieses Kapitel bietet eine Einführung zur Theorie der Fluktuationen von Summen. Zuerst sind Gesetze der großen Zahlen, des iterierten Logarithmus und zentrale Grenzwertsätze für deterministische Summen, für zusammengesetzte Summen und für Summen, die durch Erneuerungsprozesse zusammengesetzt sind, vorgestellt. Von großem Interesse ist der Fall, in dem die einzelnen Summanden heavy-tailed sind.
Riccardo Gatto

Kapitel 8. Appendix

Zusammenfassung
Dieser Appendix fasst zunächst die wichtigsten grundlegenden Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie, die für dieses Buch notwendig sind, zusammen. Wir können auf viele Bücher verweisen, wie z. B. Feller (1971), Shiryayev (1984) oder Karr (1993).
Riccardo Gatto

Kapitel 9. Lösungen von ausgewählten Aufgaben

Zusammenfassung
Daher ist \(I=(b-1/a, b)\) der Wertebereich.
Riccardo Gatto

Backmatter

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