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Stochastische Modelle der Versicherungsmathematik

  • 2025
  • Buch
Verfasst von
Jochen Blath
Marcel Ortgiese
Michael Scheutzow
Buchreihe
Mathematik Kompakt
Verlag
Springer Nature Switzerland
Enthalten in
Springer Professional "Wirtschaft+Technik"
Springer Professional "Wirtschaft"
insite
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Über dieses Buch

Das Ziel dieses kompakten und einführenden Lehrbuches ist es, im Rahmen des Stoffumfangs einer vierstündigen Mathematikvorlesung wesentliche stochastische Modelle der Versicherungsmathematik systematisch einzuführen und in ihren Grundzügen zu analysieren.

Das Buch gibt eine Einführung u.a. in die Themen:

• Lebensversicherungsmathematik, insbesondere zufällige Zahlungsströme und Satz von Hattendorff
• Schadenversicherungsmathematik, insbesondere Risiko- und Ruintheorie, auch für Großschäden
• Prämienberechnungsprinzipien, Risikomaße und Erfahrungstarifierung

Das Buch legt einen Schwerpunkt auf die Erläuterung klassischer und teils fortgeschrittener stochastischer und maßtheoretischer Methoden und Ergebnisse unter Rückgriff auf möglichst vollständige Beweise. Geeignet ist das Buch für fortgeschrittene Bachelor- sowie Master-Studierende mathematischer Studiengänge mit Vorkenntnissen in Maß-, Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlegende Modelle der Lebensversicherungsmathematik

Frontmatter
Kapitel 1. Finanzmathematische Grundlagen
Zusammenfassung
Wir beginnen mit der Bewertung deterministischer Zahlungsströme und insbesondere der Frage, was bestimmte zukünftige Zahlungen zum aktuellen Zeitpunkt wert sind. Dieser Abschnitt ist noch rein analytischer Natur und enthält keine Stochastik. Allerdings verwenden wir einen für Stochastiker natürlichen maßtheoretischen Ansatz – basierend auf dem Lebesgue(-Stieltjes)-Integral – der eine einheitliche und damit elegante Darstellung etwa des Barwerts sowohl von zeitdiskreten wie auch von zeitkontinuierlichen Zahlungsströmen erlaubt.
Jochen Blath, Marcel Ortgiese, Michael Scheutzow
Kapitel 2. Modellierung von Lebensversicherungsverträgen
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt werden wir die Zahlungsströme von Lebensversicherungsverträgen konstruieren und bewerten. Da die zu erbringenden Leistungen hier typischerweise vom Todeszeitpunkt des Versicherten abhängen, handelt es sich nun um zufällige Zahlungsströme. Wir werden daher einige der Begriffe aus dem vorangegangenen Abschnitt auf diese Situation verallgemeinern. Insbesondere werden wir zufällige Zahlungsströme mit Hilfe ihres erwarteten Barwerts bewerten.
Jochen Blath, Marcel Ortgiese, Michael Scheutzow
Kapitel 3. Der Satz von Hattendorff
Zusammenfassung
In diesem Fall ist die zugehörige Prämie eine Nettoprämie. Es ist nun eine zentrale Frage der Risikotheorie, wie sich die Wahrscheinlichkeiten für Abweichungen von B (nach oben) von diesem Mittel berechnen oder zumindest abschätzen lassen.
Jochen Blath, Marcel Ortgiese, Michael Scheutzow

Grundlegende Modelle der Schadenversicherungsmathematik

Frontmatter
Kapitel 4. Statische Risikomodelle
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Struktur und den Eigenschaften der Gesamtschadenverteilung eines Bestandes (oder Kollektivs) an Risiken in einer einzelnen festen Versicherungsperiode, also mit statischen Modellen.
Jochen Blath, Marcel Ortgiese, Michael Scheutzow
Kapitel 5. Dynamische Risikomodelle und Ruintheorie
Zusammenfassung
Im Unterschied zum statischen Fall modellieren wir bei dynamischen Risikomodellen die auftretenden Schäden in ihrer präzisen zeitlichen Abfolge mit Hilfe eines stochastischen Prozesses in stetiger Zeit. Neben den eintretenden Schäden, die einem zufälligen Leistungsstrom entsprechen, betrachten wir zudem eine kontinuierlich gezahlte Prämie. Um einen möglichen „Ruin“ – also das Eintreten eines Schadens, dessen Höhe das aktuelle Eigenkapital übertrifft – möglichst zu vermeiden, übersteigt diese pro Zeiteinheit die erwarteten Schadenhöhen in der Regel um einen strikt positiven Sicherheitszuschlag. Die zentrale Frage dieses Kapitels ist die nach dem Verhalten der Ruinfunktion, also der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ruins als Funktion der Höhe des Startkapitals.
Jochen Blath, Marcel Ortgiese, Michael Scheutzow
Kapitel 6. Prämienprinzipien, Risikomaße und Erfahrungstarifierung
Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es um die Frage, wie man abstrakte Risiken (beschrieben durch eine Zufallsvariable bzw. ihre Verteilungsfunktion) in systematischer Weise mittels einer einzelnen reellen Zahl „bewerten“ oder „bemessen“ kann.
Jochen Blath, Marcel Ortgiese, Michael Scheutzow
Backmatter
Titel
Stochastische Modelle der Versicherungsmathematik
Verfasst von
Jochen Blath
Marcel Ortgiese
Michael Scheutzow
Copyright-Jahr
2025
Electronic ISBN
978-3-031-88115-2
Print ISBN
978-3-031-88114-5
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-88115-2

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