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Über dieses Buch

Das Buch gibt eine Einführung in weiterführende Themengebiete der stochastischen Prozesse und der zugehörigen stochastischen Analysis und verbindet diese mit einer fundierten Darstellung von Grundlagen der Finanzmathematik. Es ist inhaltlich weitreichend und legt gleichzeitig viel Wert auf gute Lesbarkeit, Motivation und Erklärung der behandelten Sachverhalte.
Finanzmathematische Fragestellungen werden zunächst im Rahmen diskreter Modelle eingeführt und dann auf zeitstetige Modelle übertragen. Die grundlegende Konstruktion des stochastischen Integrals und die zugehörige Martingaltheorie liefern fundamentale Methoden der Theorie stochastischer Prozesse zur Konstruktion von geeigneten stochastischen Modellen der Finanzmathematik, z.B. mit Hilfe von stochastischen Differentialgleichungen. Zentrale Resultate der stochastischen Analysis wie Itô -Formel, Satz von Girsanov und Martingaldarstellungssätze erhalten in der Finanzmathematik grundlegende Bedeutung, z.B. für die risiko-neutrale Bewertungsformel (Black-Scholes Formel) oder die Frage nach der Hedgebarkeit von Optionen und der Vollständigkeit von Marktmodellen. Kapitel zur Bewertung von Optionen in vollständigen und nichtvollständigen Märkten und zur Bestimmung optimaler Hedgingstrategien schließen die Thematik ab.

Vorausgesetzt werden fortgeschrittene Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere zu zeitdiskreten Prozessen (Martingale, Markov-Ketten) sowie zeitstetigen Prozessen (Brownsche Bewegung, Lévy-Prozesse, Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, Markovprozesse). Das Buch ist somit für fortgeschrittene Studierende als begleitende Lektüre sowie für Dozenten als Grundlage für eigene Lehrveranstaltungen geeignet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Optionspreisbestimmung in Modellen in diskreter Zeit

Zusammenfassung
Dieses Kapitel gibt eine Einführung in Grundbegriffe und Grundideen der Optionspreisbestimmung im Rahmen von Modellen in diskreter Zeit. So lässt sich z. B. auf einfache Weise das grundlegende No-Arbitrage-Prinzip und die sich durch ein geeignetes Hedging-Argument daraus ergebende Festlegung des fairen (arbitragefreien) Preises erläutern. Dieser Zugang erlaubt es mit geringem technischen Aufwand wesentliche Begriffe und Methoden einzuführen und z. B. mittels Approximation die Black-Scholes-Formel herzuleiten.
Ludger Rüschendorf

Kapitel 2. Skorohodscher Einbettungssatz und Donsker-Theorem

Zusammenfassung
Thema  dieses Kapitels ist eine Beschreibung der Wechselwirkung von zeitdiskreten und zeitstetigen Modellen. Funktionale von zeitdiskreten Summenprozessen können approximativ durch Funktionale eines zeitstetigen Limesprozesses beschrieben werden. Umgekehrt lassen sich Funktionale des Limesprozesses durch solche von zeitdiskreten Prozessen simulieren. Durch diesen Zusammenhang lassen sich mittels einfacher Gesetzmäßigkeiten im diskreten Modell geeignete zeitstetige Modelle und deren Gesetzmäßigkeiten mittels Approximation begründen. Ein besonders wichtiges Beispiel für diesen Zusammenhang ist das Donsker-Theorem und der hiermit eng verknüpfte Skorohodsche Einbettungssatz. Hiermit lässt sich dann aus dem einfachen Binomialmmodell (oder allgemeiner dem Cox-Ross-Rubinstein-Modell) approximativ eine geometrische Brownsche Bewegung (oder allgemeiner ein exponentieller Lévy-Prozess als geeignetes zeitstetiges Limesmodell motivieren.
Ludger Rüschendorf

Kapitel 3. Stochastische Integration

Zusammenfassung
Ziel dieses Kapitels ist es, das stochastische Integral \(\int ^\cdot _0 \varphi _s \,{\mathrm d} X_s\) für Semimartingale X und stochastische Integranden \(\varphi \) einzuführen und dessen Eigenschaften zu beschreiben. Interpretiert man \(\varphi \) als eine Handelsstrategie und X als den Preisprozess eines Wertpapiers, dann kann das stochastische Integral als akkumulierter Gewinn aufgefasst werden. Das stochastische Integral wird in einer Reihe von Schritten konstruiert und auf allgemeine Funktionenklassen und Prozessklassen erweitert.
Ludger Rüschendorf

Kapitel 4. Elemente der stochastischen Analysis

Zusammenfassung
Der zweite Hauptteil des Textbuches ist der stochastischen Analysis, deren Bedeutung für die Modellbildung und deren Analyse gewidmet. Wesentliche Bausteine sind die partielle Integrationsformel und die Itô-Formel mit zahlreichen Anwendungen z. B. auf Lévy’s Charakterisierung der Brownschen Bewegung. Das stochastische Exponential ist Lösung einer fundamentalen stochastischen Differentialgleichung und zeigt seine Bedeutung in der Charakterisierung von äquivalenten Maßwechseln (Satz von Girsanov).
Ludger Rüschendorf

Kapitel 5. Optionspreise in vollständigen und unvollständigen Märkten

Zusammenfassung
Schon im Einführungskapitel 1 wird in nicht-technischer Weise eine Einführung in die Grundprinzipien der Theorie arbitragefreier Preise, des Hedging-Prinzips und des risikoneutralen Preismaßes gegeben, die von der Binomialpreisformel durch Approximation auf die Black-Scholes-Formel führt. Das dazu notwendige Bindeglied von Prozessen in diskreter Zeit (Binomialmodell) zu solchen in stetiger Zeit (Black-Scholes-Modell) wird durch Approximationssätze für stochastische Prozesse in Kap. 2 gegeben. Sätze dieses Typs erlauben eine Interpretation der stetigen Finanzmarktmodelle mit Hilfe von einfachen diskreten Modellen wie z. B. dem Cox-Ross-Rubinstein-Modell.
Ludger Rüschendorf

Kapitel 6. Nutzenoptimierung, Minimumdistanz-Martingalmaße und Nutzenindifferenzpreis

Zusammenfassung
Dieses Kapitel gibt eine Einführung zur Bestimmung (bzw. Auswahl) von Optionspreisen über Minimumdistanz-Martingale sowie zum Bepreisen und Hedgen über Nutzenfunktionen. Darüberhinaus wird das Problem der Portfoliooptimierung behandelt. Anhand von exponentiellen Lévy-Modellen werden für eine Reihe von Standard-Nutzenfunktionen diese Verfahren im Detail charakterisiert.
Ludger Rüschendorf

Kapitel 7. Varianz-minimales Hedgen

Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist der Bestimmung von optimalen Hedging-Strategien durch das Kriterium der varianz-minimalen Strategie gewidmet. In unvollständigen Marktmodellen ist nicht jeder Claim H hedgebar. Eine natürliche Frage ist daher: Wie gut ist H hedgebar?
Ludger Rüschendorf

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