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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Stochastische Prozesse und Modelle

verfasst von : Torsten Becker, Richard Herrmann, Christian Heumann, Stefan Pilz, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wellisch

Erschienen in: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Um die Dynamik von Zufallsvariablen im Zeitverlauf zu modellieren, bedient man sich stochastischer Prozesse. Endliche Markov-Ketten und endliche Markov-Prozesse sind stochastische Prozesse in einem endlichen Zustandsraum und diskreter bzw. stetiger Zeit, welche durch die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit charakterisiert sind. Bestimmend für deren Langzeitverhalten sind die Eigenwerte der zugehörigen Übergangs- bzw. Fundamentalmatrizen. Mit allgemeinen (nicht notwendigerweise endlichen) Markov-Prozessen verfügt man über eine Klasse von stochastischen Prozessen, die mit dem Wiener-Prozess, der Brownsche Bewegung mit Drift, dem Poisson-Prozess sowie dem zusammengesetzten Poisson-Prozess wichtige Modellansätze für die aktuarielle und finanzmathematische Anwendung umfasst. In diesem Kontext stellt sich insbesondere die Frage nach Ruinwahrscheinlichkeiten in Markov-Prozessen. Diese kann aus einer fundamentalen Grenzwertbeziehung abgeleitet werden und besitzt im Fall der Brownschen Bewegung mit Drift eine explizite Darstellung bzw. im Fall des zusammengesetzten Poisson-Prozesses eine Reihendarstellung.

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Literatur
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Metadaten
Titel
Stochastische Prozesse und Modelle
verfasst von
Torsten Becker
Richard Herrmann
Christian Heumann
Stefan Pilz
Viktor Sandor
Dominik Schäfer
Ulrich Wellisch
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69532-6_6