10. Stochastisches Integral

Das Kapitel führt das stochastische Integral ein, interpretiert als stochastischer Prozess mit variierendem Integrationsendpunkt. Es werden geeignete Hypothesen für den Integrandenprozess und den Integratorprozess angenommen, wobei der Prototyp für den Integrator die Brownsche Bewegung ist. Die Konstruktion des stochastischen Integrals erfolgt in drei Schritten, wobei die Klasse der Integranden schrittweise erweitert wird. Zunächst wird das Integral für einfache Prozesse definiert, die als Riemann-Summe von Brownschen Inkrementen dargestellt werden können. In diesem Fall werden drei grundlegende Eigenschaften des Integrals direkt bewiesen: Es ist ein stetiges Martingal, es gilt Itôs Isometrie, und es gibt einen expliziten Ausdruck für den quadratischen Variationsprozess. In den folgenden Schritten wird das stochastische Integral durch Dichte auf Integranden in erweitert, wobei die grundlegenden Eigenschaften weiterhin gültig bleiben. Mit einem Lokalisierungsverfahren unter Verwendung von Stoppzeiten lässt sich das stochastische Integral schließlich auf Integranden aus der wesentlich größeren Klasse erweitern. In diesem Fall gehen die ersten beiden fundamentalen Eigenschaften verloren bzw. gelten nur noch in abgeschwächter Form. Das Kapitel zeigt auch, dass die Konstruktion des stochastischen Integrals auf den Fall erweitert werden kann, dass der Integratorprozess in liegt, wobei im Wesentlichen analoge Eigenschaften wie beim Brownschen Integral gelten. Das Integrationsende kann ebenfalls zufällig sein, vorausgesetzt, es handelt sich um eine Stoppzeit. Die Definition des stochastischen Integrals wird weiter auf den Fall erweitert, dass der Integrator ein stetiges Semimartingal ist. Ein Itô-Prozess ist ein spezielles stetiges Semimartingal, das sich als Summe eines Lebesgue-Integrals mit Integrand in (Driftterm) und eines Brownschen Integrals mit Integrand in (diffusiver Anteil) schreiben lässt. Die Zerlegung eines Itô-Prozesses in Drift- und Diffusionsteil ist eindeutig und der Quadratische Variationsprozess ist gegeben. Das Kapitel bietet eine detaillierte und systematische Herangehensweise an die Konstruktion des stochastischen Integrals und seine Eigenschaften, die sowohl für die theoretische als auch für die praktische Anwendung von Interesse sind.