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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch stellt die Strömungslehre als einheitliche Wissenschaft dar, die in allen Zweigen den gemeinsamen Prinzipien der Kontinuumsmechanik folgt. Einzeldisziplinen der Strömungslehre werden nach dem Grundgesetz "vom Allgemeinen zum Besonderen" mit den zugehörigen vereinfachenden Annahmen behandelt. Im ersten Teil werden die Grundlagen der Strömungslehre aus moderner Sicht dargestellt. Dieser Teil enthält eine strenge aber anschauliche Einführung in die Kinematik, die kontinuumstheoretische Formulierung der Bilanzsätze, sowie ein Kapitel über Materialgleichungen Newtonscher und Nicht-Newtonscher Flüssigkeiten. Der zweite Teil des Buches behandelt systematisch die Anwendung dieser Grundlagen auf die Technische Strömungslehre in Kapiteln über Hydrostatik, Schichtenströmungen, turbulente Scherströmungen, Schmiertheorie, Stromfadentheorie, Potentialtheorie, Überschallströmungen und Grenzschichten. Das Buch wendet sich an Ingenieure und Studenten der Ingenieurwissenschaften, Physiker und anwendungsorientierte Mathematiker; es ist nicht nur zum Gebrauch neben Vorlesungen, sondern auch für das Selbststudium gedacht.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

1. Kontinuumsbegriff und Kinematik

Zusammenfassung
Die Strömungslehre befaßt sich mit dem Verhalten von Flüssigkeiten, d. h. von Materie, die sich unter dem Einfluß von Scherkräften unbegrenzt verformt. Die zur Verformung eines flüssigen Körpers notwendigen Scherkräfte gehen gegen null, wenn die Verformungsgeschwindigkeit gegen null geht. Diese Eigenschaft dient als Definition einer Flüssigkeit und beruht auf ihrer Zähigkeit (Viskosität). Im Gegensatz dazu gehen beim festen Körper die zu einer bestimmten Verformung notwendigen Kräfte gegen null, wenn die Verformung selbst gegen null geht.
Joseph H. Spurk

2. Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik

Zusammenfassung
Der Erhaltungssatz der Masse wurde bereits im letzten Kapitel postuliert. Wir machen jetzt von den dortigen Ergebnissen Gebrauch, indem wir mit (1.83) den Erhaltungssatz (1.85) unter Verwendung von (1.93) in die Form
$$ \frac{D}{{Dt}}\int {\int\limits_{\left( {V\left( t \right)} \right)} {\int {\varrho dV = \int {\int\limits_{\left( V \right)} {\int {\left[ {\frac{{\partial \varrho }}{\partial } + \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\varrho {u_i}} \right)} \right]} dV = 0} } } } } $$
(2.1)
bringen. Diese Gleichung gilt bei jeder beliebigen Form des Volumens, das von der betrachteten Flüssigkeit eingenommen wird, d. h. bei jeder beliebigen Wahl des Integrationsbereichs (V). Nun ließe sich zwar (2.1) u. U. auch für nicht verschwindenden Integranden erfüllen, nicht aber bei beliebiger Wahl des Integrationsbereichs. Wir schließen also, daß der stetige Integrand selbst verschwindet, und werden so auf die lokale bzw. differentielle Form des Erhaltungssatzes der Masse geführt:
$$ \frac{{\partial \varrho }}{\partial } + \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\varrho {u_i}} \right) = 0 $$
(2.2)
Joseph H. Spurk

3. Materialgleichungen

Zusammenfassung
Wie bereits im vorangegangenen Kapitel über die Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik erläutert, verhalten sich Körper erfahrungsgemäß so, daß die universellen Bilanzgesetze der Masse, des Impulses, der Energie und der Entropie erfüllt sind. Aber nur in wenigen Ausnahmefällen, z. B. beim Massenpunkt oder beim starren Körper ohne Wärmeleitung, reichen diese Gesetze alleine aus, um das Verhalten zu beschreiben. In diesen Ausnahmefällen sind die allen Körpern eigenen Kennzeichen „Masse“ und „Masseverteilung“ die allein wichtigen Merkmale. Für die Beschreibung eines deformierbaren Mediums muß jedoch das Material, aus dem es besteht, charakterisiert sein, denn es ist offensichtlich, daß die Deformation oder die Deformationsgeschwindigkeit bei vorgegebener Belastung vom Material abhängt. Auch den Bilanzsätzen selbst entnimmt man, daß im allgemeinen eine Spezifizierung des Materials durch Beziehungen, die die Abhängigkeit des Spannungs- und Wärmestromvektors von anderen Feldgrößen beschreiben, notwendig ist. Die Bilanzsätze enthalten nämlich mehr Unbekannte als unabhängige Gleichungen.
Joseph H. Spurk

4. Bewegungsgleichungen für spezielle Materialgesetze

Zusammenfassung
Wir spezialisieren nun die universell gültigen Cauchyschen Gleichungen (2.38) und die Energiegleichung (2.119) auf die beiden technisch wichtigsten Fälle: Newtonsche Flüssigkeiten und reibungsfreie Flüssigkeiten. Die Kontinuitätsgleichung (2.2) (Massenbilanz) und die Symmetrie des Spannungstensors (2.53) (Drehimpulsbilanz) bleiben von der Wahl der Materialgleichung unbeeinflußt.
Joseph H. Spurk

Ausgewählte Kapitel der Strömungslehre

5. Hydrostatik

Zusammenfassung
Die Hydrostatik ist die Lehre vom Verhalten der ruhenden Flüssigkeit. Ruhe ist die schärfste kinematische Einschränkung und der einfachste Sonderfall des allgemeinen Strömungsproblems.
Joseph H. Spurk

6. Laminare Schichtenströmungen

Zusammenfassung
Für die Klasse der Schichtenströmungen ergeben sich ganz bedeutende Vereinfachungen in den Bewegungsgleichungen, die selbst für Nicht-Newtonsche Flüssigkeiten einfache Lösungen zulassen. Wie schon in Abschnitt 4.4 diskutiert wurde, beruht diese Lösbarkeit auf der besonders einfachen Kinematik dieser Strömungen.
Joseph H. Spurk

7. Grundzüge turbulenter Strömungen

Zusammenfassung
Wir schließen an die Diskussion der laminaren Rohrströmung an. Dort hatten wir festgestellt, daß der Druckabfall proportional dem Volumenstrom ist, ein Ergebnis, das mit den Experimenten nur bei Reynoldsschen Zahlen übereinstimmt, die kleiner sind als die kritische Reynolds-Zahl. Beim Überschreiten dieser kritischen Reynolds-Zahl steigt der Druckabfall stark an und wird schließlich proportional zum Quadrat des Durchflusses. Gleichzeitig tritt eine auffällige Änderung der Strömungsform auf.
Joseph H. Spurk

8. Hydrodynamische Schmierung

Zusammenfassung
Geometrisch kennzeichnendes Merkmal der im Kapitel 6 besprochenen Schichtenströmungen ist ihre unendliche Ausdehnung in Strömungsrichtung und die Tatsache, daß der Strömungsquerschnitt in Strömungsrichtung unveränderlich ist. Aufgrund dieser kinematischen Einschränkungen verschwinden die nichtlinearen Glieder in den Bewegungsgleichungen, was die mathematische Behandlung stark vereinfacht. Schichtenströmungen treten in der Natur zwar nie wirklich auf, sie sind aber gute Modelle für Strömungen, deren Abmessungen in Strömungsrichtung viel größer sind als in Querrichtung, welche oft in den Anwendungen angetroffen werden. Häufig ist aber der Querschnitt nicht konstant, sondern ändert sich, wenn auch nur schwach, in Strömungsrichtung. Neben den Kanal- und Rohrströmungen mit schwach veränderlichem Querschnitt ist das typische Beispiel die Gleitlagerströmung der Abb. 6.3, wo durch Verlagerung des Zapfens ein Strömungskanal mit leicht veränderlichem Querschnitt entsteht.
Joseph H. Spurk

9. Stromfadentheorie

Zusammenfassung
Wir schließen an die frühere Feststellung an, daß sich für eine Reihe von technisch interessanten Problemen das ganze Strömungsgebiet als eine einzige Stromröhre darstellen läßt, und daß das Verhalten der Strömung durch ihr Verhalten auf einer mittleren Stromlinie charakterisiert ist. Die Strömungsgrößen sind in dieser Beschreibungsweise nur Funktionen der Bogenlänge s und unter Umständen der Zeit t. Es wird also angenommen, daß die Strömungsgrößen über den Querschnitt der Stromröhre konstant sind. Diese Annahme muß aber nicht für die gesamte Stromröhre erfüllt sein (jedenfalls nicht bei stationärer Strömung), sondern nur für die Abschnitte der Stromröhre, die man in der angegebenen Weise als quasi-eindimensionale Strömung berechnen will. Die Strömung muß also wenigstens stückweise ausgeglichen, d. h. praktisch konstant über den Querschnitt sein und darf sich auch in Stromlinienrichtung nicht zu stark ändern, was voraussetzt, daß der Querschnitt eine langsam veränderliche Funktion ist. Zwischen diesen ausgeglichenen Abschnitten kann die Strömung durchaus dreidimensionalen Charakter aufweisen, sie läßt sich dort aber nicht mit den hier zu besprechenden Methoden berechnen.
Joseph H. Spurk

10. Potentialströmungen

Zusammenfassung
Wie die Diskussion der Abschnitte 4.1 und 4.3 bereits gezeigt hat, stellen feste Wände und Unstetigkeiten in der Tangentialgeschwindigkeit Flächen dar, von denen aus die Winkelgeschwindigkeit \(\vec \omega = rot\vec u/2\) ins Strömungsfeld diffundiert. Da die Querabmessungen der entstehenden Gebiete (Grenzschichten) im Grenzfall Re → ∞ gegen null gehen, kann die Strömung im Rahmen der Potentialtheorie behandelt werden. Wegen der kinematischen Einschränkung der Rotationsfreiheit ist dann aber meist nur noch die kinematische Randbedingung, nicht aber die Haftbedingung erfüllbar. Potentialströmungen können daher, obwohl sie im inkompressiblen Falle exakte Lösungen der Navier-Stokesschen Gleichungen sind, in der Regel nur das Strömungsfeld einer reibungsfreien Flüssigkeit beschreiben (mit Ausnahmen, z. B. des Potentialwirbels für den rotierenden Zylinder). Die Ergebnisse einer Rechnung für reibungsfreie Flüssigkeit können aber auf reale Strömungen übertragen werden, wenn die Strömung nicht ablöst. Bei Ablösung sind die Grenzen des Ablösungsgebietes im allgemeinen nicht bekannt. In den Fällen mit bekannter oder vernünftig abschätzbarer Form dieser Grenzen kann eine Theorie auf Basis reibungsfreier Strömung ebenfalls zum Ziel führen.
Joseph H. Spurk

11. Überschallströmungen

Zusammenfassung
In einer Überschallströmung macht sich die von einem Körper verursachte Störung nur in einem begrenzten Einflußgebiet bemerkbar. Dies steht in völliger Analogie zur instationären kompressiblen Strömung, die ebenfalls durch hyperbolische Differentialgleichungen beschrieben wird; dort ist der beschriebene Sachverhalt aber unabhängig davon, ob die Mach-Zahl größer oder kleiner als eins ist.
Joseph H. Spurk

12. Grenzschichttheorie

Zusammenfassung
Wir haben bereits festgestellt, daß die unter der Annahme der Reibungsfreiheit gewonnene Lösung eines Umströmungsproblems als Näherungslösung einer reibungsbehafteten Strömung für große Reynolds-Zahlen gelten kann. Diese Lösung ist aber nicht im gesamten Feld gleichmäßig gültig, denn sie versagt völlig an festen Wänden, an denen reale Flüssigkeit haftet, während die Theorie der reibungsfreien Strömung im allgemeinen eine von null verschiedene Tangentialgeschwindigkeit vorhersagt.
Joseph H. Spurk

Backmatter

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