Strömungsmechanik nichtnewtonscher Fluide

Strömungen reibungsbehafteter Fluide werden in der Regel unter Verwendung der Navier-Stokesschen Differentialgleichungen theoretisch analysiert. Viele wichtige Erkenntnisse über deren Eigenschaften und über geeignete Lösungsmethoden sowie zahllose Ergebnisse, die daraus erzeugt wurden, sind in der Literatur dokumentiert. Dabei wird leicht übersehen, daß die Navier-Stokes-Gleichungen recht spezielle Annahmen über die Stoffeigenschaften des strömenden Fluids beinhalten. Sie beruhen nämlich auf der Hypothese, daß der Tensor der Reibungsspannungen T am Ort r im Fluid zur Zeit t isotrop und linear mit dem Tensor der Verzerrungsgeschwindigkeiten D am gleichen Ort zur gleichen Zeit verknüpft ist. Bei volumenbeständigen Flüssigkeiten lautet das Stoffgesetz einfach T(r,t) = 2μD(r,t), wobei die dynamische Viskosität μ der Flüssigkeit voraussetzungsgemäß unabhängig von den Verzerrungsgeschwindigkeiten ist. Viele in Natur und Technik vorkommende niedermolekulare Flüssigkeiten wie Wasser, Mineralöle, Alkohole oder einfache Kohlenwasserstoffverbindungen genügen diesem newtonschen Reibungsansatz unter „normalen“ Prozeßbedingungen weitgehend.

Die Strömungsmechanik ist in weiten Bereichen eine Kontinuumstheorie. Sie beschreibt die beobachteten Erscheinungen phänomenologisch aus makroskopischer Sicht, wobei die fluide Materie als Kontinuum angesehen wird; ihr realer atomarer Aufbau bleibt außer Betracht. Diese Modellbildung setzt voraus, daß der molekulare Längenmaßstab klein gegen die makroskopischen Abmessungen bleibt. Bei realen Strömungsvorgängen in Natur und Technik ist die Voraussetzung in der Regel gut erfüllt. Zwei Zahlenwerte sollen das verdeutlichen: Der mittlere Abstand von Wassermolekülen (bei 20° C) beträgt etwa 3 · 10^-10 m, die mittlere freie Weglänge von Luftmolekülen unter Normalbedingungen etwa 5 · 10^-8 m. Dagegen sind die makroskopisch relevanten Abmessungen (z. B. die Spaltweite eines durchströmten Kanals oder die Grenzschichtdicke an einem umströmten Körper) im allgemeinen vergleichsweise sehr groß. Unter solchen Bedingungen ist ein Kontinuumsmodell zur Beschreibung der Vorgänge angemessen. Es wird in diesem Buch durchgängig verwendet.

Die bisherigen Ausführungen galten der Kinematik fluider Kontinua. Um Strömungsmechanik betreiben zu können, werden außer den kinematischen noch weitere Zustandsgrößen benötigt, die im Sinne der Kontinuumshypothese lokal definiert sind. Zur Beschreibung der Masseverteilung benötigt man eine skalare Feldfunktion. Üblicherweise verwendet man die Massendichte ρ (kurz: „Dichte“) mit der Eigenschaft, daß ρ dV die in einem Volumenelement der Größe dV enthaltene Masse angibt. Was die Kräfte betrifft, die auf ein Kontinuum einwirken, so hat man zwischen Volumenkräften und Oberflächenkräften zu unterscheiden. Volumenkräfte greifen im Inneren des Körpers an, Oberflächenkräfte wirken an der Grenzfläche zwischen dem Kontinuum und seiner Umgebung. Zu ihrer Beschreibung führt man zweckmäßigerweise den Vektor der Volumenkraftdichte f und den Spannungsvektor t ein, so daß f dV die auf ein Volumenelement der Größe dV einwirkende Kraft und t dA die an einem Oberflächenelement der Größe dA übertragene Kraft angeben (Abb. 2.1).

In Abschnitt 3.1 wurde erläutert, daß bei stationären Schichtenströmungen einfacher Fluide die Normalspannungen in verschiedenen Richtungen im allgemeinen unterschiedlich groß sind. Die Normalspannungsdifferenzen beeinflussen zwar nicht das Geschwindigkeitsfeld einer viskosimetrischen Strömung, sie äußern sich aber z. B. in Form von Kräften auf angrenzende Wände und verursachen darüber hinaus andere bemerkenswerte nichtnewtonsche Erscheinungen. Einige ausgewählte Normalspannungseffekte werden im folgenden analysiert. Die betrachteten Strömungen sind teilweise mehrdimensional, teilweise spielt neben den Normalspannungsdifferenzen auch die Trägheit der Flüssigkeit eine Rolle.

In diesem Kapitel geht es darum aufzuzeigen, daß ein Gedächtnis der Flüssigkeit für vergangene Deformationszustände den Ablauf von Strömungsprozessen erheblich beeinflussen kann. Das wird schon bei Strömungen mit eingeschränkter Kinematik im Grenzbereich linearen Stoffverhaltens deutlich. Die Wechselwirkung zwischen Viskoelastizität und Trägheit ist insbesondere für Schwingungsvorgänge bedeutsam. Bemerkenswerte Effekte resultieren auch aus der Überlagerung nichtlinearer Fließeigenschaften mit einem Gedächtnis der Flüssigkeit.

Viele technische Geräte werden um- oder durchströmt, und die Strömungsvorgänge spielen für ihre Funktionsfähigkeit oft eine zentrale Rolle. Es besteht deshalb ein großes Interesse daran, auch komplexe Strömungsprozesse im Detail zu durchleuchten. Dabei spielen einerseits moderne Meßtechniken, z. B. die Laser-Doppler-Anemometrie oder die Particle-Image-Velocimetry eine wichtige Rolle, mit denen mehrdimensionale Strömungsfelder unter gewissen Voraussetzungen experimentell analysiert werden können. Andererseits geht man mehr und mehr dazu über, reale Strömungsvorgänge mit Hilfe digitaler Rechenanlagen numerisch zu simulieren.