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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch behandelt schwingungsfähige Systeme und beschreibt Analyseverfahren sowie Algorithmen zur Aufstellung von Bewegungsdifferenzialgleichungen allgemeiner linearer Mehrkörpersysteme.

Zunächst werden diskrete schwingungsfähige Systeme von wenigen Freiheitsgraden bis hin zu komplexen Mehrkörpersystemen vorgestellt. Kontinuierliche Schwinger und numerische Verfahren zu ihrer Diskretisierung sind weitere Schwerpunkte des Buches. Berechnungsverfahren, wie FEM, Übertragungsmatrizen und die modale Behandlung, werden eingehend erläutert. In der Industrie gängige Substrukturtechniken sind mit zahlreichen Beispielen vertreten. Breiter als bisher werden stabilitätsgefährdete, selbsterregungsfähige Systeme beschrieben. Das Buch eignet sich sowohl als Lehrbuch für Hoch- und Fachhochschulen als auch zum Selbststudium für Ingenieure in Forschungseinrichtungen und in der Industrie.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung
Die Strukturdynamik (engl. „structural dynamics“), ist ein Teilgebiet der Mechanik, das sich im Allgemeinen mit der Dynamik, also den Schwingungsvorgängen, von Strukturen befasst. Dazu gehören sowohl Bauwerke, wie Brücken, aber auch komplexere technische Systeme wie zum Beispiel Flugzeuge, Fahrzeuge, Windenergieanlagen und Turbomaschinen. Eine strukturdynamische Analyse beinhaltet die mathematisch-mechanische Beschreibung der technischen Struktur als schwingungsfähiges System anhand eines – mehr oder weniger – vereinfachenden Modells, dessen analytische, numerische oder auch experimentelle Behandlung und die Interpretation der Ergebnisse.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

Diskrete Systeme

Frontmatter

2. Das System von einem Freiheitsgrad

Zusammenfassung
Viele technische Systeme sind Schwinger von einem Freiheitsgrad. Auch recht komplizierte Strukturen lassen sich oft auf Systeme von einem Freiheitsgrad zurückführen, wenn Symmetrien ausgenutzt werden. Darüber hinaus besteht die Bedeutung des Ein-Freiheitsgradsystems darin, dass an ihm alle wesentlichen Phänomene des Eigenverhaltens linearer Systeme erläutert werden können (Abschn. 2.3). Noch wichtiger wird das Ein-Freiheitsgradsystem schließlich dadurch, dass sich Schwinger von n Freiheitsgraden immer auf n Schwinger von einem Freiheitsgrad zurückführen lassen. Ein Schwingungssystem mag noch so kompliziert sein, es mag stark gedämpft, schwach gedämpft oder angefacht sein, die modale oder bimodale Zerlegung (Kap. 5 und 6), erlaubt den Übergang zum System von einem Freiheitsgrad.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

3. Bewegungsdifferentialgleichungen für Systeme von zwei oder mehr Freiheitsgraden

Zusammenfassung
Im ersten Kapitel hatten wir die Bewegungsgleichungen mit Hilfe des zweiten Newton’schen Gesetzes aufgestellt. Auch bei Mehr-Freiheitsgradsystemen kann man diesen Weg benutzen, wobei neben den Newton-Gleichungen (dem Impulssatz oder Schwerpunktsatz für den starren Körper) auch noch die Euler-Gleichungen (der Drallsatz für den starren Körper) angewendet werden müssen, sobald rotatorische Freiheitsgrade auftreten.
Durch Kombination von Schwerpunkt- und Drallsatz mit dem Superpositionsprinzip zur Erfassung der Rückstellkräfte linear elastischer Strukturen gewinnt man das Verfahren der Steifigkeitszahlen (Abschn. 3.1). Im Abschn. 3.2 wird das dynamische Problem durch Einführung von d’Alembert’schen Trägheitskräften auf ein statisches Problem zurückgeführt, das dann mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen behandelt wird. Beide Verfahren eignen sich zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen auch für sehr komplizierte Strukturen. Um die entstehenden Bewegungsgleichungen übersichtlich zu ordnen, werden wir die Matrizenschreibweise einführen. Im abschließenden Abschn. 3.3 wollen wir uns mit mathematischen Struktureigenschaften befassen, in denen sich mechanische Struktureigenschaften widerspiegeln.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

4. Freie und erzwungene Schwingungen von Zwei- und Mehr-Freiheitsgradsystemen – Behandlung als gekoppeltes System

Zusammenfassung
In Kap. 3 haben wir zwei Möglichkeiten kennen gelernt, die Bewegungsdifferentialgleichungen von Systemen mit mehr als einem Freiheitsgrad aufzustellen. Diese Gleichungen wollen wir jetzt lösen. Wie in Kap. 2 wollen wir uns zunächst mit freien Schwingungen, d. h. mit der Schwingungsantwort des homogenen Systems bei vorgegebenen Anfangsauslenkungen und Anfangsgeschwindigkeiten beschäftigen, wozu wir uns wieder die Eigenwerte, d. h. die Eigenfrequenzen und die Dämpfungs- bzw. Anfachungsbeiwerte sowie die Eigenschwingungsformen beschaffen müssen (Abschn. 4.1).
Bei der Behandlung von erzwungenen Schwingungen werden wir in diesem Kapitel stets das gekoppelte System von Bewegungsdifferentialgleichungen zugrunde legen. Beschränkt man sich auf periodisch erzwungene Schwingungen, liegt die Behandlung im Frequenzbereich nahe, wobei zu jeder Erregerfrequenz Amplituden- und Phasenlage ermittelt werden (Abschn. 4.2). Interessiert man sich hingegen für die Systemantwort bei beliebiger, transienter Erregung, so empfiehlt sich eine Behandlung im Zeitbereich (Abschn. 4.3).
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

5. Die modale Analyse bei ungedämpften Strukturen und Strukturen mit Proportionaldämpfung

Zusammenfassung
Bei der Analyse der freien Schwingungen zeigte sich beim ungedämpften System, dass sich die Schwingungsantwort unabhängig von den Anfangsbedingungen stets aus den reellen Eigenvektoren uk zusammensetzt, die mit ihren zugeordneten Eigenkreisfrequenzen harmonische Schwingungen ausführen, vgl. (4.26) und Abb. 4.2, für das behandelte Beispiel sowie (4.23). Es liegt daher der Verdacht nahe, dass auch bei erzwungenen Schwingungen ein Ansatz erfolgreich sein kann, der die Antwort des Systems aus den Beiträgen der einzelnen Eigenformen aufbaut.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

6. Die modale Analyse bei Systemen mit starker Dämpfung oder Neigung zur Selbsterregung

Zusammenfassung
Am Anfang von Abschn. 5.2 hatten wir versucht, mit den reellen Eigenvektoren des verkürzten, konservativen Problems (Typ I, Ds = 0) die Bewegungsgleichungen des stark gedämpften Systems, bei dem alle Matrizen symmetrisch sind, die Dämpfungsmatrix aber keine Proportionaleigenschaften mehr aufweist, modal zu entkoppeln. Dies war nicht möglich. Die transformierte Dämpfungsmatrix D* war im Allgemeinen voll besetzt, vgl. (5.23). Nur bei ganz speziellen Annahmen, wie beispielsweise der Proportionalität von Ds zur Massenmatrix Ms oder zur Steifigkeitsmatrix Ss, ließen sich die Bewegungsgleichungen entkoppeln.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

7. Algorithmus zum formalisierten Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichungen von Mehrkörpersystemen

Zusammenfassung
Für wenige Freiheitsgrade stellt man, wie in Kap. 3 für mehrere Beispiele gezeigt wurde, die Bewegungsgleichungen mit Papier und Bleistift auf. Wenn aber mehrere Körper durch Feder- und Dämpferelemente räumlich miteinander verknüpft sind und dadurch die Zahl der Freiheitsgrade größer wird, wird das „von-Hand-Aufstellen“ mühsam und fehleranfällig. Will man beispielsweise das schrägliegende Feder-Dämpfer-Bein der Vorderradaufhängung eines Pkw (Abb. 7.1) berücksichtigen, so verkompliziert dieses das Aufstellen der Bewegungsgleichungen erheblich, auch wenn man sich nur auf Bewegungen in der Ebene beschränkt.Mittlerweile bieten die sogenannten MKS-Softwarelösungen vielfältige Möglichkeiten zur Erzeugung und Lösung von Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen (MKS), einige frühere Ansätze hierzu liefern [1–5].
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

8. Die Elementmatrizen von Rotoren, Gyrostaten, vorgespannten Federn und die Behandlung von Zwangsbedingungen

Zusammenfassung
Bisher haben wir uns auf die Angabe der Massenmatrizen von starren Körpern beschränkt. Um die Massenmatrizen von einfachen Rotoren oder von starren Rotoren mit Gehäuse (Gyrostaten) angeben zu können (Abschn. 8.3) müssen wir relativ weit in die nichtlineare Dynamik einsteigen (Abschn. 8.1 und 8.2). Nur dann gelingt die korrekte Linearisierung der Bewegungsgleichungen. Ein ähnlich hoher Aufwand ist notwendig um Zwangsbedingungen und Federvorspannungen (beispielsweise als Folge von Eigengewicht) korrekt in die Bewegungsgleichungen einzuführen (Abschn. 8.4). Wer nur mit den Ergebnissen dieser Abschnitte arbeiten will, kann die ausführlichen Herleitungen überschlagen.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

9. Anmerkungen zur numerischen Lösung

Zusammenfassung
Bei der Behandlung strukturdynamischer Probleme treten bestimmte Standardaufgaben der Numerik wiederholt auf:
• Superposition in Form von Matrizenmultiplikationen,
• Auflösung linearer Gleichungssysteme,
• Eigenwert- und Eigenvektorberechnung und
• numerische Integration linearer Differentialgleichungssysteme.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

Kontinua und ihre Diskretisierung

Frontmatter

10. Analytische Lösungen einfacher schwingender Kontinua

Zusammenfassung
Nur in ganz wenigen Fällen ist die Lösung der ort- und zeitabhängigen partiellen Bewegungsdifferentialgleichungen von Kontinua in analytischer Form möglich, d. h. in Form einer unendlichen Einfach- oder Doppelreihe, deren Koeffizienten sich in geschlossener Form angeben lassen. Mechanische Systeme, für die derartige analytische Lösungen möglich sind, sind in Abb. 10.1a bis c wiedergegeben. Hierbei muss praktisch immer vorausgesetzt werden, dass die Steifigkeits- und Massenverteilung konstant oder zumindest bereichsweise konstant sind. Dies ist schon beim Windenergieanlagenflügel von Abb. 10.1d nicht mehr der Fall, sodass hier Näherungslösungen erforderlich sind. Bei Flächentragwerken sind analytische Lösungen zudem nur bei ganz speziellen Formen und Randbedingungen möglich. Für eine gepfeilte Kragplatte als Modell für einen Flugzeugflügel (Abb. 10.1e) gibt es bereits keine analytische Lösung mehr. Für die Untersuchung realer technischer Systeme ist man zumeist auf numerische Lösungen angewiesen.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

11. Geschlossene Lösung einfacher schwingender Kontinua

Zusammenfassung
In Kap. 5 wurde gezeigt, dass sich das ungedämpfte oder proportional gedämpfte N-Freiheitsgradsystem durch modale Entkopplung in N entkoppelte Ein-Freiheitsgradsysteme überführen lässt. Diese fiktiven, generalisierten Ein-Freiheitsgradsysteme (5.25) beschreiben den zeitlichen Verlauf des Teilbetrags eines jeden Eigenvektors uj zur Gesamtantwort u des Systems. Oft schafft die modale Behandlung erst die für den Praktiker nötige physikalische Transparenz. Wir gehen in diesem Kapitel von der Erwartung aus, dass sich auch schwingende Kontinua, die ungedämpft oder proportional gedämpft sind, modal zerlegen und in entkoppelte Ein-Freiheitsgradsysteme überführen lassen. Das Beispiel, an dem wir diese Erwartung überprüfen wollen, ist der Biegebalken aus Kap. 10, der durch die partielle Differentialgleichung, siehe (10.6), beschrieben wird.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

12. Das Verfahren der Übertragungsmatrizen

Zusammenfassung
Das Übertragungsmatrizenverfahren wurde in den 20er Jahren für die Berechnung von Drehschwingungen von Kolbenmaschinen entwickelt [1]. Große Verbreitung fand es mit dem Aufkommen der ersten, noch relativ kleinen Rechenautomaten in den 50er Jahren, für die es in idealer Weise zugeschnitten ist [2, 3]. Noch heute wird es für zahllose technische Probleme eingesetzt, obwohl die Methode der finiten Elemente sich zu einem oft überlegenen Konkurrenten entwickelt hat. Das Übertragungsverfahren eignet sich besonders für unverzweigte Strukturen wie den skizzierten Fernsehturm Abb.(12.1). Hier ist es der Methode der Finiten Elemente in Eleganz der Formulierung und Rechenökonomie überlegen. Der Grundgedanke des Verfahrens ist folgender:
• Die Struktur wird in Teilabschnitte zerlegt (hier Balkenelemente), für die die Schwingungsgleichungen durch Ansätze für die Orts- und Zeitabhängigkeit vorab gelöst werden.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

13. Energieformulierungen als Grundlage für Näherungsverfahren

Zusammenfassung
In den Kap.(10 und 12) wurden zwei Möglichkeiten dargestellt, mit denen sich Bewegungsvorgänge von Kontinua untersuchen lassen:
• Für einfache Tragwerke ist eine analytische Lösung der partiellen Bewegungsdifferentialgleichungen durch unendliche Reihen, deren Koeffizienten sich mit geschlossenen Formeln beschreiben lassen, möglich.
• Das Verfahren der Übertragungsmatrizen lässt sich dann vorteilhaft einsetzen, wenn das Tragwerk eine stabzugförmige Struktur besitzt.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

14. Der Rayleigh-Quotient und das Ritz’sche Verfahren

Zusammenfassung
Das Prinzip der virtuellen Verrückungen ist hervorragend zur Entwicklung von Näherungsverfahren zur Eigenschwingungsberechnung geeignet. Wirklicher und virtueller Verschiebungszustand müssen hierzu durch geeignete Funktionen angenähert werden. Beim Brückenträger mit veränderlichemQuerschnitt von Abb. 14.1 besteht z. B. die Möglichkeit, w(x) durch die Eigenschwingungsformen eines Balkens mit konstanten Querschnittswerten zu approximieren.
Die einfachste Möglichkeit, die unterste Eigenfrequenz !1 eines Tragwerks grob abzuschätzen oder die Ergebnisse aufwändigerer Rechnungen zu kontrollieren, bietet der Rayleigh-Quotient [1]. Er ergibt sich, wenn man im PdvV nur eine Ansatzfunktion berücksichtigt (Abschn. 14.1). Bei Berücksichtigung mehrerer Ansatzfunktionen kommt man zum Ritz’schen Verfahren [2, 3] (Abschn. 14.2).
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

15. Die Methode der finiten Elemente

Zusammenfassung
Das Verfahren der Übertragungsmatrizen von Kap. 12, aber auch das Ritz’sche Verfahren mit globalen Ansatzfunktionen (Abschn. 14.2) sind immer nur begrenzt einsetzbar. Die Methode der finiten Elemente (FEM) hingegen ist keinen Einschränkungen unterworfen. Mit ihr lassen sich beliebige Tragwerkstypen, Rahmentragwerke genauso wie Flächentragwerke oder dreidimensionale Kontinua behandeln. Rahmentragwerke dürfen beliebig verzweigt sein, Flächentragwerke können Löcher besitzen. Auch bei den Randbedingungen oder beim Verlauf von Steifigkeiten undMassenbelegungen ist alles zugelassen. Diese generelle Einsetzbarkeit erklärt die Beliebtheit der Methode der finiten Elemente.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

16. Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften

Zusammenfassung
Behandelt man reale Konstruktionen mit der Methode der finiten Elemente, so ist man häufig gezwungen, Tausende von Freiheitsgraden einzuführen. Für die Untersuchung der Eigenschwingungen des Eisenbahn-Radsatzes von Abb. 16.1 bei Verwendung eines dreidimensionalen FEM-Modells wären beispielsweise ca. 35.000 Unbekannte erforderlich gewesen. Um den Rechenaufwand in Grenzen zu halten, ist man bestrebt die Anzahl der Freiheitsgrade drastisch zu reduzieren. Die einfachste Möglichkeit ist hierbei die Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften. Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen des Modells bleiben hierbei unverändert.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

17. Reduktion der Zahl der Freiheitsgrade

Zusammenfassung
Zur genauen Erfassung des Schwingungsverhaltens von Strukturen müssen oft sehr viele Freiheitsgrade eingeführt werden, obwohl nur die ersten Eigenfrequenzen und Eigenformen interessieren. Beispielsweise wurde in Abb.(17.1) die Welle eines dreistufigen Radialverdichters als ebenes, biegeelastisches System von 28 Freiheitsgraden (14 FEM-Abschnitte) modelliert. Tatsächlich interessierten aber nur zwei oder drei Eigenformen und Eigenfrequenzen des Systems. Naheliegend ist es, grober zu modellieren, aber die vielen Durchmessersprünge in der Welle schreiben die feine Elementierung praktisch vor. Sie ist zur genauen Steifigkeitserfassung notwendig. Deshalb modelliert man zwar sorgfältig, überlegt aber vor dem Einstieg in die Berechnung, wie man Freiheitsgrade wieder abschütteln kann.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

18. Substrukturtechniken

Zusammenfassung
Bei sehr komplizierten Tragwerken oder Maschinen, für deren Beschreibung man viele hundert oder mehrere tausend Freiheitsgrade benötigt, ist man natürlich erst recht darauf angewiesen, Verfahren zur Reduktion der Freiheitsgrade (Kap. 17) oder zur Ausnutzung von Symmetrien (Kap. 16) einzusetzen. Da der für das unverkürzte Gesamtgleichungssystem erforderliche Speicherplatzbedarf viel zu groß ist, muss man hierbei organisatorisch geschickt vorgehen, sodass das komplizierte Tragwerk in physikalisch leicht zu interpretierende, einfacher zu behandelnde Substrukturen zerfällt.
Zur Einführung wollen wir an zwei Beispielen verdeutlichen, wie die Unterteilung in Substrukturen praktisch erfolgt.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

19. Bewegungsgleichungen von rotierenden elastischen Strukturen

Zusammenfassung
In der Technik treten gelegentlich elastische Strukturen auf, die um eine mehr oder minder feste Achse rotieren Abb.(19.1). Beispiele dafür sind spinstabilisierte Satelliten, Rotoren von Hubschraubern, Propeller, Blätter von Gas-, Dampf- oder Windturbinen sowie Räder von Schienenfahrzeugen oder Straßenfahrzeugen. Die üblichen FE-Programme setzen voraus, dass die zu berechnende Struktur im Bezugszustand stillsteht oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Verzichtet man auf Dämpfungseffekte, dann liefern derartige Programme für die nichtrotierende Struktur Bewegungsgleichungen vom Typ I.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

20. Stabilität von periodisch zeitvarianten Systemen – Parametererregung

Zusammenfassung
Im Rahmen des Buchs Strukturdynamik wollten wir uns ursprünglich auf die Behandlung linearer zeitinvarianter Probleme beschränken. Parametererregte Systeme gehörten bislang mehr oder minder ins Raritätenkabinett der Mechanik. In der Strukturdynamik spielten sie, wennman vom Hubschrauberbau absieht, keine große Rolle.
Dies hat sich in letzter Zeit sehr geändert. Beispiele für stark zeitvariante, periodische Systeme lieferten
• im Turbomaschinenbau die unrundeWelle und die rotierendeWelle mit Riss,
• im Windturbinenbau die 1- und 2-flügeligenWindturbinen mit starren oder elastischen Flügeln,
• die Magnetschwebebahn.
Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich

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