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Über dieses Buch

Diese Absicht wurde verstärkt durch den äußeren Umstand, daß in zunehmendem Maße Mathematikstudenten der Münchner Universität bei mir Logik als Nebenfach wählten. Da diese Kandidaten meist keine Zeit und Gelegenheit hatten, meine Veranstaltungen zu besuchen, kam der verständliche Wunsch auf, ich möge "etwas Schriftliches verfassen", das man mit nach Hause nehmen könne. Hinzu kam schließlich noch das Wissen um didaktische Nachteile vieler Logik-Bücher. In den meisten von ihnen werden nur spezielle syntaktische und semantische Verfahren behandelt. Wenn z. B. in einem Werk ausschließlich die axiomatische Methode, in einem weiteren allein das natürliche Schließen und in einem dritten nur der Kalkül der PositivfNegativ-Teile vorgeführt wird, so fällt es selbst einem routinier­ ten Mathematiker schwer, die Gleichwertigkeit dieser Kalkülisierungen einzusehen. Weichen dann auch noch die Systematisierungen der Se­ mantik erheblich voneinander ab, so wird ein Nichtmathematiker ver­ mutlich sogar den Eindruck gewinnen, die fraglichen Bücher handelten von verschiedenen Gegenständen. Doch dies ist nur die eine Seite der Medaille. In immer mehr Bücher, die das Wort ,Logik' im Titel tragen, werden nämlich umgekehrt mehr oder weniger ausführlich Bereiche einbezogen, die zwar für Untersuchungen zur Logik von Wichtigkeit sind, die jedoch weit über den Rahmen der Logik hinausführen, wie z. B. Rekursionstheorie, axiomatische Mengenlehre oder Hilbertsche Beweis­ theorie. Zieht man die Grenze einmal so weit, so ist nicht zu erkennen, warum nicht noch viel mehr einbezogen werden sollte. In zunehmendem Maße spielen z. B. algebraische Begriffe eine wichtige Rolle bei logischen Untersuchungen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung: Inhaltsübersicht

Einleitung: Inhaltsübersicht

Zusammenfassung
Im ersten Teil dieses Buches wird versucht, alle wichtigen bekannten Kalkülisierungen der modernen Logik sowie im wesentlichen alle semantischen Deutungen von Logiksystemen systematisch zu behandeln. Der zweite Teil des Buches ist einer Darstellung aller bedeutsamen, auf Logiksysteme bezogenen metatheoretischen Resultate gewidmet. Diese Unterscheidung zwischen Logik und Metalogik gilt nur cum grano salis. Denn alle grundlegenden metalogischen Begriffe, wie die Begriffe der logischen Gültigkeit, der Erfüllbarkeit und der logischen Folgerung, werden bereits im ersten Teil eingeführt. Ebenso wird das auf die sechs Typen von Logikkalkülen bezogene Resultat ihrer semantischen Adäquatheit, nämlich deren semantische Korrektheit und semantische Vollständigkeit, bereits im ersten Teil bewiesen. Im zweiten Teil werden also nur die darüber hinausgehenden metalogischen Ergebnisse aufgezeigt und diskutiert.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Vorbereitungen

Kapitel 1. Vorbereitungen

Zusammenfassung
Wir werden im folgenden bestimmte formale Sprachen der klassischen Logik aufbauen und untersuchen. Da diese Sprachen den Gegen­stand der Betrachtungen bilden, werden sie auch Objektsprachen genannt. Diejenige Sprache, in der wir über die Objektsprachen reden, heißt Metasprache. Die Metasprache ist hier die deutsche Sprache, die gele­gentlich um gewisse technische Begriffe und Symbole erweitert wird. Sie enthält implizit dieselbe Logik, die in bezug auf die Objektsprachen explizit dargestellt werden soll. Darin liegt nichts Problematisches und insbesondere, trotz gegenteiliger Auffassungen1, keinerlei „Zirkularität“; vielmehr kommt darin nur die Tatsache zur Geltung, daß man für die Darstellung und Beschreibung eines präzisen Instrumentes bereits ein ähnliches Instrument benötigt.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Logik

Frontmatter

Kapitel 2. Junktoren

Zusammenfassung
In diesem Kapitel behandeln wir die Logik der Aussagenverknüpfungen oder Junktoren. Dabei beziehen wir uns nicht auf natürliche Aussagesätze, sondern auf die Sätze einer sehr einfachen formalen Sprache J, die wir später verfeinern werden.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 3. Quantoren

Zusammenfassung
Mit Hilfe der Junktoren läßt sich die natiirliche Sprache des Alltags und der Wissenschaften nur auf wahrheitsfunktionale Satzverkniipfungen hin analysieren; weitere Strukturen werden nicht erfaßt. Zum Zweck einer tiefergehenden Analyse wollen wir die formale Sprache J des letzten Kapitels nun zu einer formalen Sprache Q erweitern. Q enthalte als logische Zeichen neben den durch,¬‘,,∧‘,,∨‘,→‘,,↔‘ mitgeteilten Junktorensymbolen die durch,∧‘ (Allquantor) und, ∨‘ (Existenzquantor) mitgeteilten Quantorensymbole. Ferner sollen in Q die folgenden Zeichen vorkommen:
(a)
abzählbar unendlich viele Objektvariable (Mitteilungszeichen: x,y,Z);1
 
(b)
für jedes n≧0 abzählbar unendlich viele n-stellige Prädikatparameter (P n , Qn, R n );2 die 0-stelligen heißen auch Satzparameter (p, q, r);
 
(c)
für jedes n≧0 abzählbar unendlich viele n-stellige Funktionsparameter (f n , g n , h n ); die 0-stelligen heißen auch Objektparameter (a, b, c);
 
(d)
als Hilfszeichen wieder die Klammern, mitgeteilt durch,(‘,,)‘.
 
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 4. Kalküle

Zusammenfassung
Daß die Quantorenlogik (und als Teil davon die Junktorenlogik) kalkülisiert werden kann, ist eine relativ späte Entdeckung. Sie gründet sich auf die Erkenntnis, daß die Begriffe der Ableitung aus Prämissen und des Beweises vollständig formalisierbar sind. Darunter ist die Tatsache zu verstehen, daß formale Ableitungen und Beweise nur auf die äußere, rein syntaktisch beschreibbare Gestalt der beteiligten Sätze Bezug nehmen. Darüber hinaus wird allgemein vorausgesetzt, daß es sich bei Ableitungen und Beweisen um entscheidbare Eigenschaften von Ausdrucksfolgen handelt, so daß man es prinzipiell einer Maschine überlassen könnte, festzustellen, ob eine angebliche Ableitung auch eine tatsächliche Ableitung bzw. ein angeblicher Beweis auch ein tatsächlicher Beweis ist. Die Entscheidbarkeit wird dadurch gewährleistet, daß Ableitungen bzw. Beweise sich aus elementaren Schritten zusammensetzen, wobei jeder dieser Schritt ein Anwendungsfall einer formalen Regel ist. ,Formale Regel‘ ist hierbei gleichbedeutend mit ,syntaktische Regel‘; denn eine derartige Regel hat stets die allgemeine Gestalt ,von Ausdrücken solcher und solcher syntaktischer Struktur darf man zu einem Ausdruck von der und der syntaktischen Struktur übergehen‘.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 5. Semantiken: Spielarten der denotationellen und nicht-denotationellen Semantik

Zusammenfassung
In diesem Kapitel verzichten wir - zum Unterschied von allen anderen Kapiteln dieses Buches - auf Kursivdruck für lateinische Symbole der betrachteten formalen Sprachen. (Gelegentliche Formalisierungen intuitiver Aussagen dagegen sollen weiterhin in Kursivdruck gesetzt werden.) Der Grund dafür liegt in der in Abschn. 5.3 gewählten einfachen Methode, den Übergang von Objekten des Grundbereiches zu Namen dieser Objekte zu charakterisieren: Ist d ein Objekt, so wird dort der entsprechende Objektname durch Kursivdruck, also mittels, d‘, wiedergegeben. Dieses Verfahren hätte Konfusionen im Gefolge, würde man auch andere lateinische Symbole außer Namen kursiv drucken.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 6. Normalformen

Zusammenfassung
Bei der Untersuchung bestimmter Fragestellungen, wie z. B. des Informationsgehaltes oder der Gültigkeit von Sätzen A der formalen Sprache Q, erweist es sich als zweckmäßig, Formeln in eine dem untersuchten Aspekt besonders angemessene normierte Gestalt zu transformieren. Das Transformat A’ eines Satzes A wird als eine Normalform von A bezeichnet werden. Die wichtigsten und bekanntesten Normalformbildungen stellen wir hier kurz zusammen. Wir beschränken uns dabei auf die Bildung von Normalformen geschlossener Formeln, also von Sätzen. Das Transformat A’ wird dabei jeweils, unabhängig von der Art der betrachteten Normalformbildung, mit A logisch äquivalent sein. Wie die angegebenen Beweise zeigen, sind die Transformationen in allen angegebenen Fällen effektiv: Zu jedem A läßt sich das Transformat A’ mechanisch erzeugen (vgl. auch Kap. 12).
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 7. Identität

Zusammenfassung
In der reinen Quantorenlogik erster Stufe haben nur die Junktoren und Quantoren eine konstante, durch die semantischen Regeln (Rj) und (Rq) festgelegte Bedeutung, während die Parameter bei verschiedenen Bewertungen und Interpretationen ganz verschieden gedeutet werden können. Im folgenden betrachten wir einige stärkere Theorien, die sich in der formalen Sprache Q ausdrücken lassen. In ihnen erhalten bestimmte Parameter (denen wir zur besseren Erkennbarkeit eine besondere Gestalt geben), eine feste Bedeutung; wir nennen sie die Konstanten der Theorie.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 8. Theorien

Zusammenfassung
In der Metatheorie von Theorien spielen die gelegentlich schon verwendeten Begriffe der Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit eine wichtige Rolle. Wir wollen sie kurz und informell erläutern; ihre präzise formale Explikation geschieht in der Rekursionstheorie, auf die wir erst in Kap. 12 eingehen werden.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Metalogische Ergebnisse

Frontmatter

Kapitel 9. Kompaktheit

Zusammenfassung
In den folgenden drei Kapiteln werden wir an Gedanken von Smullyan anknüpfen und diese zu verdeutlichen versuchen. Dabei wird nur die reine Quantorenlogik, ohne Identitäts- und Kennzeichnungstheorie, eine Rolle spielen, d. h. wir werden uns auf die Sprache Q beschränken. Für diesen Fall hat Smullyan ein elegantes Verfahren entwickelt, um die Gleichwertigkeit von Bewertungs- und Interpretationssemantik zu zeigen. Dieses Verfahren soll hier kurz geschildert werden. Smullyan identifiziert überdies die betrachteten Objekte mit ihren eigenen Namen. Zwecks größerer Klarheit machen wir diese weitergehende Vereinfachung in der Darstellung nicht mit, sondern wählen für jeden gegebenen Objektbereich als neue außersystematische Zeichen Namen für die zu diesem Bereich gehörenden Objekte.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 10. Das Fundamentaltheorem der Quantorenlogik

Zusammenfassung
Für viele der folgenden überlegungen spielen zwei Arten von Formelmengen eine zentrale Rolle. Wir beginnen daher mit einer Charakterisierung dieser Mengen.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 11. Analytische und synthetische Konsistenz. Zwei Typen von Vollständigkeitsbeweisen: solche vom Gödel-Gentzen-Typ und solche vom Henkin-Typ

Zusammenfassung
,Menge‘ soll wieder stets gleichbedeutend sein mit ,Menge von Sätzen‘. Unter den Mengeneigenschaften spielen die analytischen Konsistenzeigenschaften, die wir jetzt definieren werden, eine wichtige Rolle. Zum Zwecke größerer Übersichtlichkeit formulieren wir die Definition, und zwar in zwei verschiedenen gleichwertigen Varianten, in der formalen Metasprache. (Analoges gilt für die später folgende Definition des Begriffs der synthetischen Konsistenzeigenschaft.) Da wir den Ausdruck ,Eigenschaft‘, wie immer, rein extensional verstehen, läuft in der nun folgenden Definition die Eigenschaftsvariable ,ℜ‘ über die Mengen von Formelmengen.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 12. Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit

Zusammenfassung
Im vorliegenden Kapitel wird die Unentscheidbarkeit (im Sinne von Church ) und die Unvollständigkeit (im Sinne von Gödel ) für eine bestimmte Theorie erster Stufe, nämlich für ein Fragment der Zahlentheorie N, gezeigt. Diese Theorie N wurde erstmals von Shoenfield in [1], Kap. 6, zur Grundlage für den Nachweis der Theoreme von Gödel und Church verwendet.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 13. Selbstreferenz, Tarski-Sätze und die Undefinierbarkeit der Wahrheit

Zusammenfassung
Ein Tarski-Satz für eine Menge M ist ein Satz, der aussagt:
1.
,ich bin ein Element von M‘, der also von sich selbst behauptet, ein Element von M zu sein. Wenn wir einen solchen Satz in einer formalen Sprache wiederzugeben versuchen, müssen wir seinen Gehalt in einer indikatorenfreien Weise ausdrücken; denn Indikatoren - d. h. Ausdrücke, deren Bedeutung nicht unabhängig vom (schriftlichen oder Sprech-)Kontext feststeht-, wie,ich‘, ,hier‘, jetzt‘ u.a., kommen in einer derartigen Sprache nicht vor.
 
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 14. Abstrakte Semantik: Semantische Strukturen und ihre Isomorphie-Arten

Zusammenfassung
Dieses Kapitel dient einem doppelten Zweck. Erstens enthält es verschiedene Details, die sich nur im Rahmen der abstrakten Semantik präzise darstellen lassen, wie z. B. die Definitionslehre und gewisse Aspekte der algebraischen Behandlungsweise der Logik. Zweitens wird darin ein groβer Teil desjenigen Materials zusammengestellt, das wir für den Beweis der beiden (in Kap. 15 behandelten) Sätze von Lindström benötigen. Dadurch wird der Inhalt dieses Kapitels zwangsläufig etwas heterogen und es gewinnt mehr oder weniger den Charakter eines „Nachschlageteils“.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

Kapitel 15. Auszeichnung der Logik erster Stufe: Die Sätze von Lindström

Zusammenfassung
Die Quantorenlogik erster Stufe nimmt seit langem eine vorrangige Stellung ein gegenüber anderen logischen Systemen, wie z. B. Logiken höherer Stufen; Typenlogiken; abgeschwächten Teilsystemen der Quantorenlogik; Junktorenlogiken mit Quantifikationen über Satzvariablen; Logiken mit zusätzlichen Satzoperatoren, wie die (meisten) Modallogiken, etc. Und zwar ist dies sowohl dann der Fall, wenn die Logik den Gegenstand der Untersuchung bildet, als auch überall dort, wo sie als Hilfsmittel zur Formulierung von Theorien, insbesondere mathematischer Theorien, dient. Das eine findet seinen Niederschlag darin, daß die Quantorenlogik erster Stufe in fast allen Logikbüchern bevorzugt behandelt wird, insbesondere in solchen mit Lehrbuchcharakter. Das andere äußert sich vor allem in der Tatsache, daß an der Formalisierung mathematischer Theorien, wie auch der Mengenlehre, interessierte Logiker immer häufiger versuchen, die betreffenden Theorien als Theorien erster Stufe zu rekonstruieren.
Wolfgang Stegmüller, Matthias Varga von Kibéd

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