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01.08.2016 | Ausgabe 2/2016

Designs, Codes and Cryptography 2/2016

Switchings of semifield multiplications

Zeitschrift:
Designs, Codes and Cryptography > Ausgabe 2/2016
Autoren:
Xiang-dong Hou, Ferruh Özbudak, Yue Zhou
Wichtige Hinweise
Communicated by S. Ball.

Abstract

Let \(B(X,Y)\) be a polynomial over \(\mathbb {F}_{q^n}\) which defines an \(\mathbb {F}_q\)-bilinear form on the vector space \(\mathbb {F}_{q^n}\), and let \(\xi \) be a nonzero element in \(\mathbb {F}_{q^n}\). In this paper, we consider for which \(B(X,Y)\), the binary operation \(xy+B(x,y)\xi \) defines a (pre)semifield multiplication on \({\mathbb {F}}_{q^n}\). We prove that this question is equivalent to finding \(q\)-linearized polynomials \(L(X)\in \mathbb {F}_{q^n}[X]\) such that \( {\mathrm {Tr}}_{q^n/q}(L(x)/x)\ne 0\) for all \(x\in \mathbb {F}_{q^n}^*\). For \(n\le 4\), we present several families of \(L(X)\) and we investigate the derived (pre)semifields. When \(q\) equals a prime \(p\), we show that if \(n>\frac{1}{2}(p-1)(p^2-p+4)\), \(L(X)\) must be \(a_0 X\) for some \(a_0\in \mathbb {F}_{p^n}\) satisfying \( {\mathrm {Tr}}_{q^n/q}(a_0)\ne 0\). Finally, we include a natural connection with certain cyclic codes over finite fields, and we apply the Hasse–Weil–Serre bound for algebraic curves to prove several necessary conditions for such kind of \(L(X)\).

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Literatur
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