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09.11.2017 | Ausgabe 3/2018

Journal of Dynamical and Control Systems 3/2018

Symmetric Riemannian Problem on the Group of Proper Isometries of Hyperbolic Plane

Zeitschrift:
Journal of Dynamical and Control Systems > Ausgabe 3/2018
Autoren:
A. V. Podobryaev, Yu. L. Sachkov

Abstract

We consider the Lie group \(\text {PSL}_{2}(\mathbb {R})\) (the group of orientation-preserving isometries of the hyperbolic plane) and a left-invariant Riemannian metric on this group with two equal eigenvalues that correspond to space-like eigenvectors (with respect to the Killing form). For such metrics, we find a parametrization of geodesics, the conjugate time, the cut time, and the cut locus. The injectivity radius is computed. We show that the cut time and the cut locus in such Riemannian problem converge to the cut time and the cut locus in the corresponding sub-Riemannian problem as the third eigenvalue of the metric tends to infinity. Similar results are also obtained for \(\text {SL}_{2}(\mathbb {R})\).

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