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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

Symplectic Affine Action and Momentum with Cocycle

verfasst von : Augustin Batubenge, Wallace Haziyu

Erschienen in: Mathematical Structures and Applications

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

Let G be a Lie group, \(\mathfrak {g}\) its Lie algebra, and \(\mathfrak {g^{*}}\) the dual of \(\mathfrak {g}\). Let Φ be the symplectic action of G on a symplectic manifold (M, ω). If the momentum mapping \(\mu :M\rightarrow \mathfrak {g^{*}}\) is not Ad -equivariant, it is a fact that one can modify the coadjoint action of G on \(\mathfrak {g^{*}}\) in order to make the momentum mapping equivariant with respect to the new G-structure in \(\mathfrak {g^{*}}\), and the orbit of the coadjoint action is a symplectic manifold. With the help of a two cocycle \(\sum :\mathfrak {g}\times \mathfrak {g}\rightarrow \mathbf {R}\), \((\xi ,\eta )\mapsto \sum (\xi ,\eta )=d\hat {\sigma }_{\eta }(e)\cdot \xi \) associated with one cocycle \(\sigma :G\rightarrow \mathfrak {g^{*}};~~\sigma (g)=\mu (\phi _g(m))-Ad^*_g\mu (m)\), we show that a symplectic structure can be defined on the orbit of the affine action \(\Psi (g,\beta ):=Ad_{g}^{*}\beta +\sigma (g)\) of G on \(\mathfrak {g^{*}}\), the orbit of which is a symplectic manifold with the symplectic structure \(\omega _{\beta }(\xi _{\mathfrak {g^{*}}}(v),\eta _{\mathfrak {g^{*}}}(v))=-\beta ([\xi ,\eta ])+\sum (\eta ,\xi )\).
Furthermore, we introduce a deformed Poisson bracket on (M, ω) with which some classical results of conservative mechanics still hold true in a new setting.

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Literatur
1.
Zurück zum Zitat A. Kirillov, Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Department of Mathematics (Suny at Stony Brook, New York, 2008) A. Kirillov, Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Department of Mathematics (Suny at Stony Brook, New York, 2008)
2.
Zurück zum Zitat R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, 2nd edn. (The Benjamin/Cummings Publishing Company, Reading, MA, 1978)MATH R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, 2nd edn. (The Benjamin/Cummings Publishing Company, Reading, MA, 1978)MATH
3.
Zurück zum Zitat R. Berndt, An Introduction to Symplectic Geometry, vol. 26 (American Mathematical Society, Rhodes Island, 2001)MATH R. Berndt, An Introduction to Symplectic Geometry, vol. 26 (American Mathematical Society, Rhodes Island, 2001)MATH
4.
Zurück zum Zitat P. Iglesias-Zemmour, Diffeology. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 185 (American Mathematical Society, Providence, RI, 2010) P. Iglesias-Zemmour, Diffeology. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 185 (American Mathematical Society, Providence, RI, 2010)
5.
Zurück zum Zitat F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups (Springer, New York, 1983)CrossRef F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups (Springer, New York, 1983)CrossRef
6.
Zurück zum Zitat J. Śniatycki, Differential Geometry of Singular Spaces and Reduction of Symmetry. New Mathematical Monographs, vol. 23 (Cambridge University Press, Cambridge, 2013) J. Śniatycki, Differential Geometry of Singular Spaces and Reduction of Symmetry. New Mathematical Monographs, vol. 23 (Cambridge University Press, Cambridge, 2013)
Metadaten
Titel
Symplectic Affine Action and Momentum with Cocycle
verfasst von
Augustin Batubenge
Wallace Haziyu
Copyright-Jahr
2018
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-97175-9_4