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2020 | Buch

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Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.

Rechenmethoden für Studierende der Physik

verfasst von: Prof. Dr. Andreas Engel

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die wichtigsten mathematischen Methoden, die Studierende der Physik in den ersten Semestern benötigen. Der Fokus liegt auf der Anwendung dieser Methoden, nicht auf ihrer Begründung. Mit zahlreichen Übungsaufgaben am Ende der Kapitel können Leserinnen und Leser ihre Fähigkeiten überprüfen.

Computeralgebrasysteme bilden ein unverzichtbares Hilfsmittel bei der Lösung von Problemen der angewandten Mathematik. Die Entwicklung der mathematischen Methoden wird daher durch spezielle MapleTM-Worksheets ergänzt, die den Einstieg in die Nutzung solcher Systeme erleichtern. Auch eine Reihe der Übungsaufgaben erfordert einen entsprechenden Einsatz von MapleTM. Die Worksheets stehen im Buch sowie online zur Verfügung.

Zielgruppe sind in erster Linie Studierende der Physik in den ersten Semestern an deutschsprachigen Universitäten und Hochschulen. Das Buch baut auf einem Kenntnisstand in Mathematik auf, wie er mit dem Abitur erreicht wird.

Aus dem Inhalt

Differentiation und IntegrationDifferentielle ModellbildungLineare Räume und lineare AbbildungenMehrdimensionale Differentiation und Integration, krummlinige KoordinatensystemeGewöhnliche Differentialgleichungen, Newton’sche MechanikPartielle Differentialgleichungen, Green’sche Funktion, Fourier-Transformation

Der Autor

Andreas Engel ist Professor für theoretische Physik an der Universität Oldenburg. Das Buch basiert auf seiner Vorlesung „Einführung in die theoretische Physik“, die er mehrfach gehalten hat. Sein Arbeitsgebiet liegt in der statistischen Physik.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Unendlich kleine Größen

Frontmatter

1. Differentiation

Zusammenfassung

Unendlich kleine Größen ermöglichen ein intuitives Verständnis von

Ableitungen und Differentialen. Dabei ist entscheidend, dass es verschiedene Arten von „unendlich klein“ gibt: Eine unendlich kleine Größe x kann durchaus viel größer sein als eine andere unendlich kleine Größe y. Die mathematisch exakte Beschreibung dieses Umstands geschieht mithilfe des Grenzwertbegriffs. In konkreten Rechnungen bieten die Landau’schen Größenordnungssymbole O und o nützliche Orientierungen. Sie präzisieren die Bedeutung und Gültigkeit der notwendigen, anfangs aber mitunter verwirrenden Näherungen in der differentiellen Modellbildung.

Andreas Engel

2. Integration

Zusammenfassung

Unendlich kleine Größen erlauben ein anschauliches Verständnis des Integralbegriffs und der grundlegenden Integrationsregeln. Im vorliegenden Kapitel werden einige dieser Regeln für Funktionen einer Veränderlichen unter diesem Blickwinkel zusammengestellt. Auch der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung, der den engen Zusammenhang zwischen Differential- und Integralrechnung dokumentiert, findet eine intuitive Begründung.

Andreas Engel

3. Differentielle Modellbildung

Zusammenfassung

Bei der Analyse experimenteller Situationen ist es oft einfacher, die Änderung einer gesuchten Funktion bei Änderungen ihrer Argumente zu charakterisieren, als diese Funktion selbst direkt zu bestimmen. Für ganzzahlige Veränderliche führt dieses Vorgehen auf Rekursionsbeziehungen, die in vielen Fällen durch Iteration gelöst werden können. Bei Funktionen kontinuierlicher Veränderlicher kann die Differenz zwischen den beiden Argumentwerten beliebig klein werden. Kleine Größen höherer Ordnung lassen sich dann in konsistenter Weise vernachlässigen, was das Verfahren sehr leistungsfähig macht. Viele Grundgleichungen der Physik können auf diese Weise hergeleitet werden. Ergibt sich dabei ein expliziter Ausdruck für die Ableitung der gesuchten Funktion, so kann diese durch direkte Integration berechnet werden. Das ist jedoch nur selten der Fall. Typischerweise wird der gewonnene Ausdruck für die Ableitung auch die gesuchte Funktion selbst enthalten. Die differentielle Modellbildung führt dann auf eine Differentialgleichung – eine Beziehung zwischen der gesuchten Funktion und ihrer Ableitung. Im zweiten Schritt des Verfahrens muss diese Gleichung gelöst werden.

Andreas Engel

Lineare Räume

Frontmatter

4. Dreidimensionale Vektoren

Zusammenfassung

Physikalische Größen wie Kräfte und Geschwindigkeiten sind erst nach Angabe ihrer Richtung eindeutig festgelegt. Wird für die Geschwindigkeit eines Körpers zum Beispiel 10 m/s gemessen, so sagt dies zunächst nur etwas über ihren Betrag aus, die Richtung, in die sich der Körper bewegt, bleibt noch vollkommen unbestimmt. Viele solcher Größen lassen sich auf Verschiebungen im Raum zurückführen, für die Geschwindigkeit ist das offensichtlich. Richtungsabhängige Größen dieser Art werden (dreidimensionale) Vektoren genannt. In diesem Kapitel werden die wichtigsten Eigenschaften dreidimensionaler Vektoren kurz besprochen.

Andreas Engel

5. Allgemeine Vektorräume

Zusammenfassung

Lineare Räume sind über die Beschreibung von verschiebungsbasierten Vektoren in zwei oder drei Dimensionen hinaus bedeutsam und stellen ihre Nützlichkeit in vielen verschiedenen Zusammenhängen unter Beweis. Das vorliegende Kapitel ist daher verallgemeinerten Vektorräumen gewidmet.

Andreas Engel

6. Lineare Abbildungen

Zusammenfassung

Zwischen den Elementen eines Vektorraums kann es verschiedene Beziehungen geben. So ist die Beschleunigung eines Körpers der wirkenden Kraft proportional, die elektrischen und magnetischen Felder einer elektromagnetischen Welle müssen in einer bestimmten Beziehung zueinander stehen, und die Ableitung einer konvergenten Potenzreihe ist eine andere konvergente Potenzreihe. Oft können solche Zusammenhänge durch Abbildungen des Vektorraums auf sich selbst beschrieben werden. Lineare Abbildungen harmonieren perfekt mit der linearen Struktur von Vektorräumen und sind daher besonders wichtig.

Andreas Engel

Mehrdimensionale Differentiation und Integration

Frontmatter

7. Mehrdimensionale Differentiation

Zusammenfassung

Der Begriff der Ableitung einer Funktion hat verschiedene Verallgemeinerungen auf mehrdimensionale Situationen. Die einfachste betrifft die Differentiation vektorwertiger Funktionen einer Variable. Der komplementäre Fall einer skalaren Funktion mehrerer Veränderlicher führt auf den Begriff der partiellen Ableitung. Für die Ableitung vektorwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher gibt es verschiedene Kombinationen, deren Behandlung Gegenstand der Vektoranalysis sind. Sicherer Umgang mit dem Nabla-Operator, der Summenkonvention und dem Levi-Civita-Symbol ebnet denWeg für die Berechnung mehrfacher oder zusammengesetzter Ableitungen. Die meisten neu auftretenden Konzepte werden an zwei- oder dreidimensionalen Beispielen erläutert. Am Ende des Kapitels wird kurz die Verallgemeinerung auf N-dimensionale Räume besprochen.

Andreas Engel

8. Mehrdimensionale Integration

Zusammenfassung

Ähnlich wie im Fall der Ableitung kann auch der Integralbegriff aus Kap. 2 in verschiedener Weise auf mehrdimensionale Situationen verallgemeinert werden. Es gibt Integrale vektorwertiger Funktionen, Integrale über Funktionen mehrerer Veränderlicher, Flüsse, Oberflächen- und Linienintegrale. Allen ist gemeinsam, dass sie sich als unendliche Summen infinitesimaler Beiträge verstehen lassen – die verschiedenen Typen von Integralen unterscheiden sich nur durch die Art und Weise, wie diese Beiträge aus den Vektorkomponenten der zu integrierenden Funktionen und den Differentialen der Integrationsvariablen zusammengesetzt werden. Dadurch lassen sich alle mehrdimensionalen Integrale letztendlich auf Integrale von skalaren Funktionen einer Veränderlichen zurückführen. Das gelingt oft am besten unter Benutzung krummliniger Koordinaten, sodass einige Eigenschaften mehrdimensionaler Integrale erst in Kap. 9 besprochen werden.

Andreas Engel

9. Krummlinige Koordinatensysteme

Zusammenfassung

Kartesische Koordinatensysteme haben viele Vorteile und werden zu Recht sehr häufig verwendet. Trotzdem sind sie nicht immer die optimale Wahl. Viele Probleme weisen Symmetrien auf, die den Gebrauch anderer Koordinatensysteme nahelegen. So empfehlen sich Kugelkoordinaten für Systeme mit Rotationssymmetrie: Das Potential eines Zentralfeldes hängt nicht von jeder der kartesischen Koordinaten einzeln ab, sondern nur vom Betrag des Ortsvektors – statt einer Funktion von drei Variablen ist also nur eine von einer Variablen zu analysieren. Weniger Variablen bedeuten weniger Ableitungen und weniger Integrale, also weniger Arbeit und weniger Fehlerquellen. Aus diesem Grund ist die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems der erste und oft entscheidende Schritt bei der Lösung eines konkreten Problems. Der Preis für diese Vereinfachungen sind kompliziertere Ausdrücke für Ableitungen und Integrale in allgemeinen Koordinatensystemen. Ihre Herkunft und genaue Gestalt wird in diesem Kapitel besprochen. Wie zuvor starten wir wieder mit zweidimensionalen Situationen, da diese bereits die wesentlichen Komplikationen zeigen, dabei aber anschaulich und übersichtlich bleiben. Nach einer kurzen Betrachtung des allgemeines Falles krummliniger Koordinaten werden wir uns auf lokal orthogonale Koordinatensysteme beschränken. Spezielle Aufmerksamkeit verdienen Zylinder- und Kugelkoordinaten in drei Dimensionen, da sie sehr häufig in Anwendungen vorkommen.

Andreas Engel

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Frontmatter

10. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen ist eine der häufigsten Aufgaben in der angewandten Analysis. Wegen der Fülle möglicher Differentialgleichungen umfasst das Repertoire von Lösungsstrategien eine unüberschaubare Vielfalt von Konzepten und Methoden. Im vorliegenden Kapitel werden einfache und grundlegende Methoden zusammengestellt, mit deren Hilfe insbesondere einige in der Physik auftretende gewöhnliche Differentialgleichungen analysiert und gelöst werden können.Ähnlich wie die Integration ist das Lösen von Differentialgleichungen keine „Geradeaus“- Rechnung, sondern erfordert neben der Methodenkenntnis auch Originalität und Findigkeit. Dem sinnvollen Einsatz einer Computeralgebra kommt eine wichtige Rolle zu.

Andreas Engel

11. Newton’sche Mechanik

Zusammenfassung

Analytische Mechanik und Infinitesimalrechnung wurden etwa zur gleichen Zeit und zum Teil in Personalunion entwickelt. Schon aus diesem Grunde gibt es viele wichtige Verbindungen zwischen beiden Gebieten. Die Grundgleichung der klassischen Mechanik ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung; ihre Lösung beschreibt die Bahnkurve eines Massenpunkts in einem gegebenen Kraftfeld. Im vorliegenden Kapitel werden ausgewählte Aspekte und einfache Beispiele aus der klassischen Mechanik besprochen, um die im vorigen Kapitel eingeführten Lösungsstrategien für gewöhnliche Differentialgleichungen zu illustrieren.

Andreas Engel

12. Extrema

Zusammenfassung

Am schnellsten, am besten, am schönsten, am günstigsten – die Suche nach optimalen Lösungen ist in unserer Zeit allgegenwärtig. Auch in der angewandten Mathematik spielen Extremwerte eine wichtige Rolle. In diesem Kapitel wird die Bestimmung von Extrema in verschiedenen Situationen ansteigender Schwierigkeit unter einem gemeinsamen Gesichtspunkt besprochen. Während hinreichende Kriterien für Minima und Maxima mit wachsender Komplexität des Problems immer aufwendiger werden, ist das zentrale notwendige Kriterium immer das gleiche: Eine Größe kann für bestimmte Werte ihrer Argumente nur dann extremal sein, wenn sie sich bei einer kleinen Modifikation dieser Argumente in linearer Ordnung nicht ändert.

Andreas Engel

Partielle Differentialgleichungen

Frontmatter

13. Wichtige Beispiele

Zusammenfassung

Elektrodynamik, Kontinuumsmechanik und Hydrodynamik sind Beispiele für klassische Feldtheorien, in denen die zentralen Größen Funktionen von Ort und Zeit sind. Bei der theoretischen Analyse experimenteller Situationen ist es durch Betrachtung infinitesimaler Raum- und Zeitintervalle im Allgemeinen wieder deutlich einfacher, Relationen für die Ableitungen dieser Funktionen zu finden, als die Funktionen direkt zu bestimmen. Dabei ergeben sich in der Regel Beziehungen zwischen den gesuchten Funktionen und ihren Ableitungen nach den verschiedenen Variablen, also partielle Differentialgleichungen.

Andreas Engel

14. Separationsansätze

Zusammenfassung

Eine effektiveMethode zur Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung nutzt ihre Reduktion auf mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen mithilfe von Separationsansätzen. Dabei wird die gesuchte Funktion als Produkt von Funktionen disjunkter Untergruppen von Variablen angesetzt. Im einfachsten Fall ist das ein Produkt aus Funktionen von jeweils nur einer Variablen. Auf den ersten Blick scheint das eine sehr spezielle Form von Lösungen zu sein, so dass dieser Ansatz nur selten Erfolg haben sollte. In Kombination mit dem Superpositionsprinzip führt er jedoch in sehr vielen Fällen zum Ziel.

Andreas Engel

15. Die Green’sche Funktion

Zusammenfassung

Auch bei der Lösung inhomogener linearer partieller Differentialgleichungen kommt dem Superpositionsprinzip eine Schlüsselrolle zu. In diesem Kapitel wird das generelle Vorgehen zunächst qualitativ am Beispiel der Berechnung des elektrostatischen Potentials einer Ladungsverteilung durch Lösen der Poisson-Gleichung erläutert. Danach kann das Verfahren mit wenigen Modifikationen auf andere lineare Differentialgleichungen verallgemeinert werden.

Andreas Engel

16. Die Fourier-Transformation

Zusammenfassung

Lineare partielle Differentialgleichungen lassen sich mithilfe von Integraltransformationen umformen, was ihre Lösung oft erleichtert. Von den verschiedenen nützlichen Transformationen dieser Art erwähnen wir hier nur die Fourier-Transformation, die sehr häufig verwendet wird. Sie kann als Verallgemeinerung der Fourier-Reihe auf nichtperiodische Funktionen verstanden werden.

Andreas Engel

Backmatter

Titel: Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.
verfasst von: Prof. Dr. Andreas Engel
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-59752-1
Print ISBN: 978-3-662-59751-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-59752-1

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