Technische Mechanik 4

Dieses Kapitel führt in die Grundlagen der Hydrostatik und Hydrodynamik ein. Behandelt wird nach den Eigenschaften von Flüssigkeiten zunächst die Druckverteilung in schweren, ruhenden Flüssigkeiten konstanter Dichte. Es wird gezeigt, wie man daraus die resultierenden Kräfte auf ebne und gekrümmte Flächen sowie auf schwimmende Körper berechnet, wobei auch auf den Auftrieb eingegangen wird. Anschließend werden wichtige kinematische Begriffe, wie Geschwindigkeit, Beschleunigung und Stromlinie eingeführt. Im Rahmen der Stromfadentheorie wird für stationäre Strömungen gezeigt, dass aus den drei Grundgleichungen, d.h. Kontinuitätsgleichung, Bernoullische Gleichung und Impulssatz alle interessieren Größen wie Geschwindigkeit oder Druck berechnet werden können. Zahlreiche Beispiele zeigen, wie die Gleichungen angewendet werden.

Bei zahlreichen Bauteilen sind die Abmessungen der Querschnitte klein gegen die Länge. Sie können dann näherungsweise als linienhafte Körper betrachtet werden. Zwei solcher Tragwerke haben wir schon kennengelernt, nämlich Stäbe (gerade Achse, Last in Richtung der Stabachse, vgl. Band 1, Kap. 6) und Balken (gerade Achse, Last senkrecht zur Balkenachse, vgl. Band 1, Kap. 7). Weitere Linientragwerke sind Seile (gekrümmte Achse, nehmen nur Zugkräfte auf) und Bögen (gekrümmte Achse, Last beliebig). Darüber hinaus gibt es flächenförmige Tragwerke, bei denen die Dicke klein ist gegenüber den Abmessungen in der Fläche. Nach der Art der Belastung und der Geometrie solcher Flächentragwerke unterscheidet man Scheiben (ebene Mittelfläche, Last in der Mittelfläche, vgl. Abschnitt 2.5), Platten (ebene Mittelfläche, Last senkrecht zur Mittelfläche) und Schalen (gekrümmte Mittelfläche, Last beliebig). Bei den genannten Tragwerken können die Spannungszustände in guter Näherung bei Linientragwerken auf eindimensionale, bei Flächentragwerken auf zweidimensionale Probleme zurückgeführt werden. In diesem Kapitel werden wir zeigen, wie man bei den verschiedenen Tragwerken vorgeht und durch welche Beziehungen die bei ihnen auftretenden Spannungen und Verformungen beschrieben werden.

In Band 3 haben wir freie und erzwungene Schwingungen von mechanischen Systemen mit einem bzw. mit zwei Freiheitsgraden behandelt. Solche Systeme mit endlicher Zahl von Freiheitsgraden nennt man auch diskrete Systeme. Die Beschreibung ihrer Schwingungsbewegung führt auf gewöhnliche Differentialgleichungen. In diesem Kapitel wollen wir nun Schwingungen kontinuierlicher Systeme untersuchen. Hierzu gehören unter anderem die Saite, der Balken und die Platte. Bei ihnen sind die für die Schwingung maßgeblichen physikalischen Größen, wie die Masse und die Steifigkeit, kontinuierlich verteilt. Man kann solche Systeme auch als Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden auffassen. Ihre Bewegung wird mittels partieller Differentialgleichungen beschrieben. Wir werden zeigen, dass es freien Schwingungen unendlich viele Eigenfrequenzen und zugehörige Schwingungsformen gibt.

Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit der statischen Stabilität elastischer Tragwerke. Hierunter wollen wir die Untersuchung von Gleichgewichtslagen auf deren Stabilität verstehen (vgl. Band 1, Abschnitt 8.5). Die Betrachtungen werden zunächst an einfachen Stab-Feder-Modellen durchgeführt, an denen man viele wesentliche Phänomene erkennen kann, welche das Stabilitätsverhalten von Tragwerken kennzeichnen. Anschließend wenden wir uns dem elastischen Druckstab zu, bei dem es bei einer kritischen Last zu einer Verzweigung der Gleichgewichtslagen kommen kann. Bei größeren Lasten existieren neben der Ausgangslage weitere Gleichgewichtslagen, die mit seitlichen Auslenkungen verbunden sind. Wir werden zeigen, dass bei bestimmten Strukturen auch diese Lagen auf ihre Stabilität hin untersucht werden müssen. Anschließend werden wir die Lösungsmethoden, die wir bei den Modellen kennengelernt haben, auf linear elastische Kontinua unter konservativen Lasten übertragen. Dabei beschränken wir uns auf Stäbe und Platten. Beim Stab nennt man das seitliche Ausweichen oberhalb der kritischen Last Knicken, bei der Platte (und der Schale) heißt es Beulen.

Bisher haben wir bei der Untersuchung des Verhaltens von festen Körpern ein linear elastisches Verhalten angenommen. Viele Materialien, wie Metalle, zeigen jedoch bei höheren Spannungen ein plastisches Verhalten, was nach einer Entlastung durch das Auftreten bleibender (plastischer) Verformungen gekennzeichnet ist. Anderen Werkstoffe, wie Polymere, zeigen unter einer festen Spannung eine zeitabhängige Dehnung: das Material verhält sich viskoelastisch. Dieses Kapitel ist dem viskoeleatischen und dem plastischen Verhalten von Körpern gewidmet, wobei zuerst Stabsysteme im Vordergrund stehen, später dann aber auch Balken und zweidimensionale Probleme behandelt werden. Schließlich werden im Rahmen der klassischen Plastizität auch die dreidimensionalen Prandtl-Reuss Gleichungen hergeleitet, die bei der Behandlung technischer Probleme sehr häufig verwendet werden. Zahlreiche Beispiele tragen zum Verständnis bei und zeigen, wie die entsprechenden Gleichungen anzuwenden sind.

Die Formulierung mechanischer Probleme führt auf Gleichungen, die für konkrete Aufgabenstellungen gelöst werden müssen. Diese Gleichungen können je nach Fragestellung algebraische Beziehungen, Differentialgleichungen oder Variationsgleichungen sein. Beispiele dafür finden sich in den Bänden 1 – 3 und in den vorangegangenen Kapiteln dieses Buches. Algebraische Gleichungen sind zum Beispiel die Gleichgewichtsbedingungen in der Statik starrer Körper, während die Gleichung der Biegelinie eines Balkens eine gewöhnliche Differentialgleichung ist. Die Gleichungen für die Scheibe in Kapitel 2 oder für die Membran in Kapitel 3 stellen dagegen partielle Differentialgleichungen dar. In diesem Kapitel wollen wir uns auf die Lösung von Differential- und Variationsgleichungen beschränken und dafür numerische Näherungsmethoden verwenden. In den vorangegangenen Abschnitten wurden die entsprechenden Gleichungen mittels analytischer Verfahren gelöst, was aber oft nur für spezielle Geometrien und Randbedingungen gelingt. Da bei vielen praktischen Problemstellungen entweder komplizierte Geometrien oder Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten vorliegen, ist ein rein analytisches Vorgehen häufig nicht möglich. Dies gilt sowohl für lineare als auch in besonderem Maße für nichtlineare Differentialgleichungen, bei denen geschlossene Lösungen nur selten gelingen. Dann wird zur Bestimmung der Lösung bzw. zur guten Approximation der Lösung der Einsatz von numerischen Verfahren erforderlich. Entsprechende Methoden sollen in den folgenden Abschnitten vorgestellt werden.