Technische Schwingungslehre

Zur sicheren Auslegung schwingender Bauteile sind Kenntnisse einer anwendungsorientierten Schwingungslehre grundlegend. Was ist eine Schwingung? Beispiele aus der Kraftfahrzeugtechnik und dem Maschinenbau werden aufgeführt. Die vielfältigen Schwingungssysteme werden mit Hilfe unterschiedlicher Merkmale klassifiziert. So etwa nach dem zeitlichen Verlauf, womit man beispielsweise zu periodischen oder harmonischen Schwingungen gelangt. Weitere Merkmale werden erläutert und ebenso die Typen von Schwingungen, die sich daraus ergeben: autonome oder heteronome, freie oder erzwungene, ungedämpfte oder gedämpfte, lineare oder nichtlineare, diskrete oder kontinuierliche Schwingungen. Abschließend werden Grundbegriffe für periodische Funktionen behandelt, die bei der mathematischen Beschreibung eine große Rolle spielen.

Die allgemeine mathematische Beschreibung harmonischer Bewegungen oder Kraftwirkungen über harmonische Funktionen mit Amplituden und Phasen, auch komplexwertig, sowie die zeitlichen Merkmale wie Schwingungsdauer, Kreisfrequenz, Frequenz und zeitliche Phasenverschiebung werden erklärt. Die „Zeiger-Darstellung“ mit Amplitude und Nullphase erleichtert und veranschaulicht insbesondere die Überlagerung harmonischer Schwingungen. Die harmonischen Zeitfunktionen sind als Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung ungedämpfter Systeme mit einem Bewegungsfreiheitsgrad ungemein wichtig. Die Darstellung periodischer Funktionen über eine „Fourier“-Reihe aus harmonischen Funktionen, spektrale Darstellung genannt, enthält die jeweiligen Amplituden bei Vielfachen der periodischen Grundfrequenz. Eine Aufgabe zur Überlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen und zwei Aufgaben zur Ermittlung der spektralen Amplituden periodischer Funktionen schließen das zweite Kapitel ab. Die Lösung (ohne Lösungsschritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.

Einfache Pendel sowie Körperpendel dienen der Einführung in die mechanische und mathematische Modellbildung und Analyse der Bewegungen. Linearisierung der nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichung für die Winkelbewegung und deren zeitliche „Lösung“ mit der charakteristischen „System“-Kenngröße Eigenkreisfrequenz für unterschiedliche Systemparameter wie Pendellänge, Massenträgheitsmoment, Exzentrizität werden diskutiert und an Beispielen wie dem Ausschwingen einer hängenden Last, dem Rollpendel oder dem Zykloidenpendel (lineare Schwingung auch für große Auslenkungen) erläutert. Praktische Aufgaben zur Ermittlung der Schwingungsdauer verschiedener Pendel wie z. B. des Metronoms schließen das dritte Kapitel ab. Die Lösung (ohne Lösungsschritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.

Eine Vielfalt von Beispielen und Aufgaben für dieses grundlegende Kapitel linearer Schwingungssysteme mit nur einem Bewegungsfreiheitsgrad zeigt die Wichtigkeit dieser einführenden Darstellung ungedämpfter Schwingungen. Am Grundmodell des „Feder-Masse-Schwingers“ mit Längsschwingungen wird die Eigenkreisfrequenz in Abhängigkeit von den mechanischen Modellparametern „Masse“ und „Steifigkeit“ hergeleitet und gedeutet. Für praktische Fragestellungen werden „Ersatzmassen“ und „Ersatzsteifigkeiten“ für die jeweilige beschreibende Bewegungskoordinate angegeben. Als Beispiele werden Rollschwinger, Schwingungen unter Fliehkrafteinfluss mit Instabilitäten, linearisierte nichtlineare Systeme mit Federvorspannungen, Reibschwinger, Fliehkraftpendel und Hubschwingungen infolge einer rückstellenden Auftriebskraft erläutert. Eine erste Erweiterung hinsichtlich der Biege- und Torsionsschwingungen mit rückstellenden Wirkungen von Balkenmodellen dient auch als Voraussetzung zur Ermittlung biege- und torsionskritischer Drehzahlen scheibenbesetzter elastischer Wellen. Der federgefesselte Drehschwinger wird ausführlich behandelt (auch bei mehreren vorgespannten Federn) einschließlich des Gewichtseinflusses auf die Eigenkreisfrequenz. Besonderheiten der Wirkung zusammengesetzter oder progressiver Federn werden aufgezeigt, auch anhand zahlreicher Beispiele und einer großen Anzahl abschließender Aufgaben. Die Lösung (meist ohne Schritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.

Die vielfältigen Erscheinungsformen von Energieverlusten in Form von mechanischer Dämpfung werden anhand von Merkmalen wie Materialdämpfung, Systemdämpfung, Lagerdämpfung und anderen charakterisiert. Mathematisch und schwingungstechnisch wird hauptsächlich die lineare, sogenannte viskose Dämpfung ausführlich behandelt. Während die „Amplitudenabnahme“ beim viskosen Schwinger exponentiell erfolgt, ist diese beim Coulombschen Reibschwinger linear, wie in einem Beispiel mit stückweise linearem Verhalten gezeigt wird. Aufgaben zur gedämpften Hubschwingung der Starrachse eines Lkws und eines Maschinenfundaments auf Stützen, für die Drehschwingungen einer federgefesselten Pendelachse sowie eines Drehschwingungssensors und weitere dienen der stetigen Erweiterung des praktischen Wissens schwingungstechnischer Problemstellungen bezüglich Modellbildung und Lösungsmöglichkeiten. Die Lösung (ohne Lösungsschritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.

Die erzwungenen Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad ohne Dämpfung werden je nach Zeitverlauf der ursächlichen Kraft- oder Momentenwirkung unterschiedlich ermittelt. Mathematisch stellen sie die partikulären Lösungsanteile der inhomogenen Schwingungsdifferentialgleichung dar und werden im allgemeinen Fall mit dem „Faltungsintegral“ ermittelt, wie ein Beispiel einer kurzzeitigen Stoßerregung zeigt. Die stationären erzwungenen Schwingungen im wichtigsten Fall einer harmonischen Krafterregung werden frequenztechnisch mit dem „Frequenzgang“ gedeutet und im Falle der Resonanz wird das „Ansteigen der Schwingungsamplituden“ mit der Zeit aufgezeigt. Die Wirksamkeit der Frequenzgang-Darstellung wird anhand der Gewichtung der spektralen Erreger-Amplituden dargestellt. Besonderheiten der Erregung durch Unwucht oder Erregung über die Bewegung von Federfußpunkten sowie die Wirkung umlaufender Unwuchten bei Wellen mit einem Zahnrad werden beispielhaft behandelt. Ergänzend gibt es abschließend wieder viele praktische Aufgaben (z. B. Modelle für Zentrifuge, aufgesetzten Schwingungstilger, fußpunkterregten Drehschwinger, Einachsanhänger) zum selbstständigen Lösen. Die Lösung (ohne Lösungsschritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.

Die quasistationären, erzwungenen Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad mit Dämpfung sind im Falle harmonischer Anregung durch Amplitude und Phasenlage bezüglich des Erregers eindeutig bestimmt und werden über den (komplexen) Frequenzgang in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ermittelt. Die Vergrößerungsfunktion als Betrag des komplexen Frequenzganges sowie die Phasenfunktion werden mit dem dimensionslosen Parameter „Dämpfungsmaß“ umfänglich diskutiert, wobei sowohl die regelungstechnisch übliche „Ortskurve“ wie auch der Zeitverlauf dargestellt und Besonderheiten bei kleiner Dämpfung hervorgehoben werden. Schließlich werden Beispiele aus dem Bereich der Drehschwingungen in einem Antriebsstrang sowie der mechanischen Isolierung (Immissions–, Emissionsschutz) aufgezeigt und Aufgaben zu Modellen für eine Maschinenaufstellung, einen Gelenkwellenprüfstand, eine Motoraufhängung, einen Bodenverdichter und eine Schwingförderrinne gestellt. Die Lösung (ohne Lösungsschritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.

Die wesentlichen Methoden und Analysen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden lassen sich zunächst noch übersichtlich am ungedämpften System mit zwei Freiheitsgraden, den gefesselten Massepunkten einer Schwingerkette, aufzeigen. Die charakteristischen Merkmale für solche Systeme ohne Dämpfung, nämlich zwei Eigenkreisfrequenzen und zwei Eigenschwingungsformen, werden ermittelt in Abhängigkeit von den Systemparametern, die Masse und Steifigkeit kennzeichnen. Eigenschwingungen und freie Schwingungen werden anschaulich interpretiert. Für mehrere Freiheitsgrade ist die Darstellung in Matrix-Schreibweise unverzichtbar. Die Aufstellung der Massenmatrix und der Steifigkeitsmatrix wird über die das System beschreibenden Differentialgleichungen erläutert. Die Bedingungen für die Aufstellung der „Eigenfrequenz-Gleichung“ und der „Eigenvektoren“ werden hergeleitet und am Beispiel einer Welle mit drei Drehmassen durchgerechnet. Weitere exemplarische Beispiele mit translatorischen und rotatorischen Schwingungen eines Starrkörpermodells (Hub- und Drehschwingungen eines federgefesselten Starrkörpers sowie Starrkörper am Biegebalken) zeigen mögliche Kopplungen in Form von Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrizen. Aufgaben, auch zur Ermittlung biegekritischer Drehzahlen einer Welle mit zwei exzentrischen Scheiben, schließen die Ausführungen dieses Kapitels. Die Lösung (ohne Lösungsschritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.

Für die erzwungenen harmonischen Schwingungen von linearen Systemen mit mehreren Freiheitsgraden ohne Dämpfung wird zunächst die federgefesselte Schwingerkette mit zwei Massepunkten in jeweils einer Richtung exemplarisch behandelt. Die beiden Amplitudenfrequenzgänge eines entsprechenden Modells einer Rüttelwalze zeigen die charakteristischen Merkmale für die stationären erzwungenen Schwingungen der beiden Massenpunkte. Neben den „Resonanzfrequenzen“ werden die „Tilgerfrequenz“ sowie positive wie negative Amplituden identifiziert. Die formale Erweiterung bei Systemen mit linearer (viskoser) Dämpfung erfolgt durch die Einführung von Dämpfermatrizen und der komplexen Darstellung der erzwungenen Schwingung. Die systemtheoretische Eingangs-Ausgangs-Beziehung wird über die komplexwertige Frequenzgangmatrix dargestellt. Als Beispiel werden die Matrizen für Masse, Dämpfung und Steifigkeit einer Drehschwingerkette mit drei Freiheitsgraden der Torsion hergeleitet. Abschließende Aufgaben behandeln Modelle zur Analyse von Getriebeschwingungen sowie zur Tilgung von Längsschwingungen und Drehschwingungen bei Unwuchtanregung. Die Lösung (ohne Lösungsschritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.

Der Übergang von einer Schwingerkette mit n Freiheitsgraden, n Eigenschwingungsformen und n Eigenkreisfrequenzen auf ein mechanisches Modell mit „kontinuierlicher“ Massen- und Steifigkeitsverteilung führt von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu partiellen Differentialgleichungen. Zusätzlich zur Zeitabhängigkeit kommt die Abhängigkeit vom Ort hinzu. Fasst man die Bewegung eines kleinen Massepunktes als Freiheitsgrad auf, so besitzt ein kontinuierliches System unendlich viele Freiheitsgrade mit unendlich vielen Eigenschwingungsformen und Eigenkreisfrequenzen. Im Gegensatz zu den nicht einzeln zählbaren Freiheitsgraden des Kontinuums sind aber deren Eigenformen und -frequenzen abzählbar. Dies wird für einfachste eindimensionale Verschiebungsfelder einer querschwingenden vorgespannten Saite, eines längsschwingenden Stabes und eines querschwingenden Balkens aufgezeigt. Die Abhängigkeit der Eigenwerte (Eigenformen) und Eigenkreisfrequenzen von den Lagerungsbedingungen sowie von den typischen Parametern wie Massendichte, Elastizitätsmodul und Querschnittsdaten wie Fläche oder Flächenträgheitsmoment werden hergeleitet und tabellarisch aufgelistet. Diese können auch zur Lösung der abschließenden, einfachen Aufgaben benutzt werden. Die Lösung (ohne Lösungsschritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.